2024年北京某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

北京市第一^L一中學(xué)2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期

高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中調(diào)研試題

(時(shí)長：120分鐘總分值：150分)

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，

選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.直線X+y-V3=0的傾斜角為()

A.45°B.60°C.120°0.135°

2.已知圓C的方程為爐+產(chǎn)―2%—4=0,則該圓的圓心坐標(biāo)及半徑分別是()

A.(1,0)與5B.(1,0)與百C.(-1,0)與5D.(-1,0)與斯

3.圓弓：f+丁=2與圓Cz：(x—2)2+(y—2『=2的位置關(guān)系是()

A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)切

4.圓f+(y+2)2=4與直線3x+4y+2=0相交于A、B兩點(diǎn),則線段AB的垂直平分線

的方程是()

A.4%—3丁一6=0B,3x+4y+8=0

C.4x+3y+6=0D.4x—3y+6=0

5.(ia=-l"是"直線4:ax+4y—3=0與直線A：x+(a—3)y+2=0平行的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.為了弘揚(yáng)體育精神，學(xué)校組織秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，在一項(xiàng)比賽中，學(xué)生甲進(jìn)行了8組投籃，得

分分別為10,8,a,8,7,9,6,8,如果學(xué)生甲的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的

第75百分位數(shù)為()

A.8B.9C.8.5D.9.5

22

7.已知尸為橢圓C：j+與=l（a〉心＞0）上的點(diǎn)，點(diǎn)尸到橢圓焦點(diǎn)的距離的最小值為2，

ab

最大值為18,則橢圓的離心率為()

3455

A.-B.-C.-D.-

5543

8.如圖，在平行六面體ABCD—44G2中，A&=AD=AB=2,

冗71

ZBAD=~,ZBAA.=ZAiAD=-,則A4人2=()

A.12B.8C.6D.4

9.設(shè)直線/與圓（x+l）2+y2=5交于43兩點(diǎn).若弦長既存在最大值又存在最小值,

則在下列所給的方程中，直線/的方程可以是（）

A.x+ay-aB.ax+y-2a

Cax+y=2D.x+2y=a

10曲線C：_?+y3=l.給出下列結(jié)論：

①曲線。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線。上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1；

③曲線C只經(jīng)過2個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.②B.③C.①②D.②③

二、填空題：本大題共5小題，共25分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.

11.直線4：2%-丁+1=0與直線/2：2%-丁一1=0之間的距離為.

12.已知空間a=（2,3,1）,6=（-4,2,尤），若213,則忖=-

13.在正方體A3C?！狝'3'CD'中，E是的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的

余弦值為.

14.由直線y=x+l上的一點(diǎn)向圓（%—3）2+_/=1引切線，則切線長的最小值為.

15.如圖，正方體ABC。-A4G2的棱長為2,點(diǎn)。為底面ABCD的中心，點(diǎn)尸在側(cè)面

BBgC的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若A。，。尸，則△AGP面積的

最大值為.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證

明過程，并把答案寫在答題紙中相應(yīng)位置上.

16.某市統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入調(diào)查了1000。人，他們的月收入均在

［1000.4000）內(nèi).現(xiàn)根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了該樣本的頻率分布直方圖如下.（每個(gè)分

組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在“000,1500）內(nèi)）

（1）求某居民月收入在［3000,4000）內(nèi)的頻率；

（2）根據(jù)該頻率分布直方圖估計(jì)居民的月收入的中位數(shù)；

（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，需再從這10000人中利

用分層抽樣的方法抽取10。人作進(jìn)一步分析，則應(yīng)從月收入在［3000,3500）

內(nèi)的居民中抽取多少人？

17.如圖，在邊長為2的正方體ABCD—A4CR中，E為線段84的中點(diǎn).

(1)求證：Bq〃平面AER；

(2)求點(diǎn)A到平面AED］的距離；

(3)直線與平面AER所成角的正弦值.

18.已知圓C的圓心在直線2x—y=0上，且與x軸相切于點(diǎn)(1,0).

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線/：x—y+m=0交于A,B兩點(diǎn)，,求根的值.

從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：

條件①：圓C被直線/分成兩段圓弧，其弧長比為2:1；

條件②：|4因=2夜；

條件③：ZACB=90°.

22

19.已知耳,工分別是橢圓C：「+上=1(。>人〉0)的的左、右焦點(diǎn)，￡(2,0),點(diǎn)p在

ab

橢圓C上且滿足IPFl\+\PF2\=2>j6.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過橢圓右焦點(diǎn)尸2的直線/與橢圓C相交于A3兩點(diǎn)，若三角形AOB的面積為6,

求直線/的方程.

D

20.如圖，四棱錐P—ABC。中，AD，平面A3P，

BC〃AD,ZPAB=pPA=AB=2,AD=3,BC=m

E是P8的中點(diǎn).

(1)證明：AEL平面PBC；

(2)若二面角C-AE-。的余弦值是立，求〃?的值;

3

(3)若m=2,在線段4D上是否存在一點(diǎn)尸，使得PFLCE.若存在，確定廠點(diǎn)的位

置；若不存在，說明理由.

21.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn).對(duì)任意的點(diǎn)P(x,y),定義||OP||=]x|+|y|.任取

點(diǎn)A5,%),5(%,%)，記40,%)，8'(尤2，%)，若此時(shí)II(M||2+1|OB||2>||CM'||2+||OB'||2

成立，則稱點(diǎn)A,B相關(guān).

(1)分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說明理由；

①A(-2,1),8(3,2)；②C(4,-3),D(2,4).

(2)給定〃eN*,n>3,點(diǎn)集O“={(x,y)|-〃VywZ}.

①求集合Q"中與點(diǎn)41,1)相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

②若S[O“，且對(duì)于任意的A,8eS,點(diǎn)AB相關(guān)，求S中元素個(gè)數(shù)的最大值.

北京市第一^t一中學(xué)2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期

高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中調(diào)研試題答案

一選擇題

1-5DBCAA6-10CBBAD

二填空題

11.—12.2V613.—14.V715.V5

510

三.解答題

16.1)由頻率分布直方圖可知，居民月收入在［3000,4000)內(nèi)的頻率為

(0.0002+0.0003)x500=0.25

(2)由頻率分布直方圖可知，0.0001x500=0.05,0.0004x500=0.20,

0.0005x500=0.25,

從而有0.00。1x500+0.0004x500+0.0005x500=0.5,

所以可以估計(jì)居民的月收入的中位數(shù)為2500元.

(3)由頻率分布直方圖可知，居民月收入在［3000,3500)內(nèi)的頻率為

0.0003x500=0.15,

所以這10000人月收入在［3000,3500)內(nèi)的人數(shù)為0.15x10000=1500，再從這

10000人中利用分層抽樣的方法抽取100人，

1500

則應(yīng)從月收入在［3000,3500)內(nèi)居民中抽取l0°x同面=15人

17.證明：在正方體ABCD-4用。12中，AB//CR且AB=GR,

故四邊形ABQD,為平行四邊形，則BCJ!AD\,

因?yàn)槠矫鍭ER,ARu平面AER,因此，〃平面AER.

【小問2詳解】

解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD>AB、所在直線分別為X、V、z軸建立如下圖所示的

空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,0）、4（。，。，2）、￡（0,2,1）,0（2,0,2）,

所以，M=（0,0,2）,AR=（2,0,2）,AE=（0,2,1）,

/、n-AD.=2x+2z=0

設(shè)平面人￡。1的法向量為〃=（匹％2）,貝叫

[〃?AE=2y+z=0

取z=—2,可得〃=（2,1,—2）,

|相.44

所以，點(diǎn)4到平面AED]的距離為d=—i-n—=—.

H3

【小問3詳解】

-J-J—AA.?n42

解：因?yàn)閏os<AA“w>=||=亍/=可,

AA[?川2x35

2

因此，直線AA與平面AED1所成角的正弦值為

18設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a,b）,半徑為r.

由圓C的圓心在直線2x-y=0上，知：2a=b.

又二圓C與x軸相切于點(diǎn)（1,0）,

:.a=l,b=2,則r=忸-0|=2.

...圓C圓心坐標(biāo)為(1,2),則圓c的方程為(X-1)2+(>-2)2=4

【小問2詳解】

如果選擇條件口：ZACB=120°,ffo|CA|=|CB|=2,

...圓心C到直線/的距離"=|C4|xcos60=1,

11-2+ml

則d=—=1,

V/i+i

解得m=V2+1或-亞+1-

如果選擇條件」和□：|AB|=20,W|G4|=|CB|=2,

...圓心C到直線/的距離"==0，

11—2+ml/—

則d=—[-----=A/2,

V1+1

解得加二一1或3.

如果選擇條件□:ZAC6=90°,W|CA|=|CB|=2,

圓心。到直線/的距離d=|G4|xcos45=V2,

1-2+m

則d=LI=V2,

Vl+1

解得機(jī)=一1或3.

19(1)由題意，c=2,2a=2y[6a=y/6,所以b=J/c2=J5,所以橢圓c的方

r2y2

程為---1---=1.

62

(2)

若直線斜率不存在，易得不合題意設(shè)直線/的方程為y=k(x2),4(%,%),3(%2，%)，由

'近4■”=1

6T2-,得：(1+3k2)/一12k2X+12k2-6=0,

y=k(x-2)

12fc212fc2-6

%+工2=尚,對(duì)"2=1+3/c2

144H_/112k2—6

則二

|AB|WTF(l+3fc2)2l+3fc2

。到直線/的距離為d=^j

Vl+fcz

所以4AOB的面積為工vrm迎殍器=vs

2l+3fc2Vl+fc2

解得省-21+1=0得片±1

所以直線/的方程x+y-2=0或％-'-2=0.

20.【小問1詳解】

證明：因?yàn)锳Q_L平面PAB，BC//AD,

所以平面243,

又因?yàn)锳Eu平面PAB,所以AE_L8c.

在APAB中，PA=AB,E是PB的中點(diǎn)，

所以AE1PB.

又因?yàn)锽CPB=B,BC,PBu平面PBC,

所以AE_L平面尸8C.

【小問2詳解】

因?yàn)锳D_L平面FAB,AB,PAu平面pas,

所以AD_LA2,A￡）_LPA,

又因?yàn)镻ALAB,

所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

則A（0,0,0）,8（0,2,0）,C（0,2,m）,E（1,1,0）,尸（2,0,0）,。（0,0,3）,

則AC=（0,2,m），A￡=（1,1,0）,

設(shè)平面AEC的法向量為元=（x,y,z）.

ACn=0[2y+mz=Q

則_即C，

AE-n=0〔x+y二°

2

令1=1,貝=z=一,

m

故〃.

因?yàn)锳DJ_平面尸AB,PBu平面尸AB，

所以AD_LPB,

又AEJ_P8,AOcAE=A,A￡>,AEu平面AEE),

所以PB_L平面AED.

又因?yàn)槭?=(-2,2,0),

所以取平面A￡D的法向量為尸2=(-2,2,0)

,?\n-PB\73

所以|cos",PB\=L-_=—,

11\n\\PB\3

|-2-2|_V3

則"3'解得"=1.

Vm2

又因?yàn)闄C(jī)＞0,所以m=1；

【小問3詳解】

結(jié)論：不存在.理由如下：

證明：設(shè)P(0,0j)(0W3).

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，C(0,0,2),PF=(-2,0,t),CE=(1,-1,-2),

由"_LCE知尸戶.C宜=0,-2-2/=0,/=-1,這與0W/W3矛盾,

所以在線段AD上不存在點(diǎn)尸，使得PFLCE.

21.解：(I)①由題知A'(-2⑵,B'(3,l),進(jìn)而有

||OA||2+1|OB『=(2+1)2+(3+2)2=34,

||04『+||08'『=(2+2>+(3+lf=32,

所以||OA『+||。8『卻OA'『

所以A,8兩點(diǎn)相關(guān)；

②由題知。(4,4),。(2,-3),進(jìn)而有

||OC\\2+1|OD||2=(4+3)2+(2+4>=85,

IIOC'll2+||OD'||2=(4+4)2+(2+3)2=89,

所以||OC『+1|00||2<||0C||2+||OD'||2,

所以C,￡＞兩點(diǎn)不相關(guān).

(II)

(i)設(shè)A(l,l)的相關(guān)點(diǎn)為B(x,y),x,jeZ,-n<x<n,-n<y<n,

由題意，A'(l,y),

因?yàn)辄c(diǎn)A,B相關(guān)，則4+x?++21x||y1+J+21y|+1+尤~+21x].

所以|My|-|x|_|y|+120.

所以(|x|-1)(3-1)20.

當(dāng)x=0時(shí)，Iy|e{0,1},則A(l,l)相關(guān)點(diǎn)的個(gè)數(shù)共3個(gè)；

當(dāng)Ix|=1時(shí)，則A(l,1)相關(guān)點(diǎn)的個(gè)數(shù)共4〃+2個(gè)；

當(dāng)|x|22時(shí)，|y|Nl,則A(l,l)相關(guān)點(diǎn)的個(gè)數(shù)共4〃(〃一1)個(gè).

所以滿足條件點(diǎn)B共有4〃(〃一1)+4〃+2+3=4/+5(個(gè)).

(ii)集