2024屆廣東省廣州市海珠區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬測試試題（附答案）

2024屆廣東省廣州市海珠區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬測試試題

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共三大題25小題，共6頁，滿分120分，考試時間120

分鐘，不可以使用計算器.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必在答題卡第1面、第3面、第5面上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫自

己的學(xué)校、班級、姓名、座位號、考號；再用2B鉛筆把對應(yīng)號碼的標(biāo)號涂黑.

2,選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題號的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖.答案

必須寫在答題卡各題指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上

新的答案；改動的答案也不能超出指定的區(qū)域.不準(zhǔn)使用鉛筆、圓珠筆和涂改液，不按以上

要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.下列幾何體中，圓錐是（

,AJB,@?卬

2.點P（4,—2）位于第（）1臭限

A.一B.二C.三D.四

3.若—2/^與4B艮是同類項，則加等于（）

A.-2B.2C.3D.4

4.如圖，ABHDE,若NCDE=40°,則的度數(shù)是（）

<F

BDC

A.60°B.50°C.40°D.30°

5.下列運(yùn)算正確的是()

A.3a+a=4?2B.3a3-2a2=6abC.(/)+/=1

D.(—2a)3=—8a3

f2x+l>3

6.不等式組4的解集在數(shù)軸上表示正確的是().

x<6-x

-------1__I__1_~~?j>1>

A.-2-10234

——1111

B.-2-101234

—J-I~I~~*—I~6-L->

-2-101234

7.在RtZXZBC中，AB=90°,AB=12,AC=13,則sinZ的值為（）.

,512

A.—B.—C.D.—

13135

8.關(guān)于一次函數(shù)y=-3x+2,下列說法正確的是（）.

A.圖象過點（1,1）

B.其圖象可由y=-3x的圖象向下平移2個單位長度得到

C.y隨著x的增大而增大

D.圖象經(jīng)過第一、二、四象限

9.在△ZBC中，AB=20,BC=18,8。是AC邊上的中線，若△28。的周長為45,

△BCD的周長是（），

A.47B.43C.38D.25

10.如圖，小樂和小靜一起從點Z出發(fā)去拍攝木棉樹FH.小樂沿著水平面步行17m到達(dá)點8

時拍到樹頂點F,仰角為63。；小靜沿著坡度z=5:12的斜坡步行13m到達(dá)點C時拍到樹頂

點F,仰角為45。，那么這棵木棉樹的高度約（）m.（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：

sin63°?0.9,cos63°?0.5,tan63°?2.0)

."隧.

：5:12

I63。4

HBA

A.22B.21C.20D.19

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.寫出命題“如果"二〃，那么。二b"的逆命題.

12.因式分解：3ay-4a=.

13.在口48?！?gt;中，已知N8=120°,則NZ=°.

14.某班同學(xué)完成了10道選擇題后，班長將答對題數(shù)的情況繪制成條形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信

息，該班同學(xué)答對題數(shù)的平均數(shù)為道.（保留1位小數(shù)點）

15.刺繡是我國獨(dú)有的一門傳統(tǒng)藝術(shù)，它承載著大量中國民族文化的意義.圓形刺繡作品展

示木架的設(shè)計簡圖如圖所示，已知AB、BC、CD分別與圓相交于點A、點E、點D,ABLBC,

CD1BC,AB=CD=2cm,8C=12cm,則圓形刺繡作品的半徑為cm.

16.如圖，在邊長為8的正方形48CD中，對角線AC、BD交于點O,折疊正方形紙片，使

AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點E、G,

連接GF,給出下列結(jié)論，①NZE￡>=67.5°；②四邊形/EEG是菱形；③ER=8—2后;

^DGDA

④——=——其中正確的是

DEDB

DC

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分）

17.（本小題滿分4分）

3x-2y=4①

解方程組《

x+2y=4②

18.（本小題滿分4分）如圖，已知AB=CD,AE=DF.求證：ZB=ZC.

19.（本小題滿分6分）甲同學(xué)從一副撲克中抽出兩張撲克，分別是梅花5和紅桃Q.

（1）甲同學(xué)混合兩張撲克后讓乙同學(xué)隨機(jī)抽取一張，乙同學(xué)抽到紅桃Q的概率為.

（2）甲同學(xué)將兩張撲克，從中間剪斷得到四張形狀相同的紙片，混合后讓乙同學(xué)隨機(jī)摸取一

張，不放回接著再隨機(jī)摸取一張，請用列表法或畫樹狀圖法，求這兩張紙片恰好合成一張完

整撲克的概率.

20.（本小題滿分6分）

先化簡，再求值：——+其中。的值為芥形48C。的面積，已知菱形

Q—2Q+1Ici—1）

ABCD,NZ=60°,AB=2.

B

21.（本小題滿分8分）

如圖，AB是。。的直徑，點C、D在圓上，ZCDB=3ZABC,CD平分NZC8,與AB相

交于點E.

（1）在CA的延長線上找一點F,使CR=CD,連接FD（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保

留作圖痕跡）；

（2）求證：FD是。。的切線.

22.（本小題滿分10分）

今年年初一美麗的白鵝潭江而進(jìn)行了以“活力灣區(qū)，新彩廣州”為主題的煙花匯演，甲、乙

兩人從各自家前往最佳觀賞點之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當(dāng)晚該公園附近路段實

施了交通管制，甲先將車開到距離自己家20千米的停車場后，再步行2千米到達(dá)目的地，共

花了1小時.此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的10倍.

（1）求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？

（2）乙是騎車前往與他家相距8千米的目的地，若乙騎車的平均速度比甲步行的平均速度快

8a千米/小時（a>0）,乙騎車時間比甲開車時間多a小時，求a的值.

23.（本小題滿分10分）

已知一次函數(shù)y=+6的圖象直線與反比例函數(shù)y二—的圖象雙曲線相交于點4（-2,-3）

和點5（1.）,且直線與x軸、y軸相交于點C、點。.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

(2)點P(p,q)為直線AB上的動點，過尸作x軸垂線，交雙曲線于點E,交x軸于點

請選擇下面其中一題完成解答(若兩題均選擇，則只批改第①題)

PF

①連接DE,若5加=6548,求”的值：

PF

②點尸在點E上方時，判斷關(guān)于x的方程(r+1)/+(0—l)x—三=0的解的個數(shù).

24.(本小題滿分12分)

我們定義：過三角形的一個頂點的線段將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角

形相似，且相似比為1：2,則原三角形叫做“友好三角形”；

(1)如圖1,已知在△NBC中，AB=2,求證：△ZBC是“友好三角形”;

4

(2)如圖2,在5x5的網(wǎng)格圖中，點A、B在格點上，請在圖中畫出一個符合條件的“友好

三角形"△4BC,要求點C在格點上;

(3)如圖3,在(1)的條件中，作的外接圓。0,點E是。。上的一點，CE=CA,

連接DE；

①設(shè)4D=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

②當(dāng)CE〃Z8時，求。。的半徑.

25.(本小題滿分12分)

已知一次函數(shù)^=依+1的圖像經(jīng)過點8(1,3),與x軸相交于點。，與y軸相交于點E,點

C(2,0),記NDEO=a,

（1）求）的值;

（2）點Z在直線y=Ax+l上，且在點3的下方，以AB為直徑的。尸與線段CD有交點，

求。尸的面積的取值范圍.

（3）在（2）的條件下，將線段AB繞點Z按逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段48',再將線段AB繞

點5按順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段BA,再將線段8%繞點H按逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段4B”,

若拋物線＞=^2+瓜+。經(jīng)過A、B、Z'、8"四點，求該拋物線頂點的縱坐標(biāo)的最大值與最

小值的差.

答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1-5：ADBCD6-10：CADBC

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.如果a=6,那么12.tz（3j-4）13.60

14.8.615.1016.①②④

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分）

17.（本小題滿分4分）

解：①+②，得：4x=8,x=2③

③代入②，得：2+2y=4,y=l.

x=2

：.\（沒寫正確結(jié)論倒扣1分）

卜=1

18.（本小題滿分4分）

證明：???AS"。。，ZA=ZD,

?：AE=DF,AE+EF=DF+EF,

即AF=DE,???AB=CD,AABF絲ADCE,ZB=ZC.

19.（本小題滿分6分）

解：⑴-

2

（2）設(shè)剪斷梅花5得到的紙片是A,B；剪斷紅桃。得到的紙片是C,D.

根據(jù)題意，畫出如下的樹狀圖:

第一張ABCD

小小/K/K

第二張BCDACDABDABC

由樹狀圖可知，共有12種等可能得結(jié)果,其中恰好合成一張完整撲克的有4種，即AB,BA,

CD,DC.

41

：.P（恰好合成一張完整撲克）=—=-

123

20.（本小題滿分6分）

aQ—11aaaQ—11

解：原式=-----2+-----—1J(fl—I)2Q-[(Q-])?

(Q-1)--1Q_11--d--aa-\

過B作于點￡,

???菱形ABCD中，/.48=4D,N4=60°,/.AABD為等邊三角形，AB=BD=AD=2,

RtaZBE中，BE=AB-sinA=y/3,

1273+1

=2G.原式=

2V3-1-11

解答：（1）如圖FA、FD為所求.

(2)證明：連接OD.

,.?。。中,AB為直徑，.?.NNCB=90°,

?.?。。平分/2。8,，/1=/2=4/2。8=45。，

2

■：BD=BD,ZBOD=2Z2=90°,

?：CF=CD,ZCFD=ZCDF=^(180°-Zl)=67.5°.

■：CB=CB,ZCAB=ZCDB

■：ZCDB=3NABC,ZCAB=3NABC,

ZCAB+ZABC=90°,3NABC+ZABC=90°.

ZABC=22.5°,ZCAB=67.5°,ZCFD=ZCAE,ABUFD,

:.ZFDO=Z3=90°,:.FDLOD.又為半徑，，依是。。切線

22.（本小題滿分10分）

解（1）設(shè)甲步行的平均速度是x千米/小時，則甲開車的平均速度是10x千米/小時,

202

—+-=1,解得x=4.

10xx

經(jīng)檢驗，X=4是原方程的解，且符合題意.

10x=10x4=40,

答：甲開車的平均速度是40千米/小時，步行的平均速度是4千米/小時；

（2）由題意可知，乙騎車的平均速度為（4+8。）千米/小時.

時間為+a]小時，（4+8a）[g+a]=8,

13

解得：?[=-,?2=--（不符合題意，舍去）,

22

答：。的值為4.

2

23.（本小題滿分10分）

mmm

解：(1)把點4-2,—3)、5(1,〃)代入丁=—,得—3=—,n=—,

x-21

解得加=6,〃=6,.?.反比例函數(shù)解析式為y=9.

x

"-3=-2k+b[k=3

把點Z(—2,—3)、8(1,6)代入^=履+6,得<解得1

6=k+b[6=3

一次函數(shù)解析式為y=3x+3.

(2)①?.?y=3x+3與x軸、y軸相交于點C、點。，求得C(—1,0),￡>(0,3),

SADCO=-CO-DO=—,..s4PDE=6sADCO=9,

.?.S“?電”q=3.

?:P(p,q),:.Ep,—,連接EO,

IP)

（若直接使用k的幾何意義,沒有適當(dāng)?shù)倪^程，本步驟不得分）

."DEPEPE9.

—?一二3,PE=3EF.

}EF

S^EOF-\p\.EFEF3

.?.尸￡〉所，點戶在線段EF外，如圖,

.PE_PE_3EF_3

"PF~PE+EF~4EF—4-

②由圖象可知，點。在點E上方時，，一2<?<0或p〉l,

當(dāng)夕=—1時，方程(夕+1)/+(2一l)x—*^=0為一元一次方程一2x+l=0,

方程有一個實數(shù)根.

當(dāng)夕7―1時，方程(夕+1上2+(夕一1)》—平=0為一元二次方程，

△=(p—l)2+4(p+l>y=3p2—2p—l=(3p+l)(p—1).

.?.當(dāng)夕〉1時，A>0,方程有2個實數(shù)解，

當(dāng)一2<)<一；，且夕1時，(3。+1)(2—1)〉0,即A〉。，方程有2個實數(shù)解,

當(dāng)—g<p<0時，(3p+l)(p—1)<0,即△<(),方程無實數(shù)解，

當(dāng)一時，(3p+l)(p—1)=0,方程有兩個相等實數(shù)解，

當(dāng)夕=-1時，方程有一個實數(shù)解.

AB_BC

4BD\AB2BD一AB

?/ZB=ZB,:.AABDsMBA,△48C是友好三角形；

(1)答案不唯一

/C

V

4

B、B

(3)①/\ABDs/\CBA,ZACB=ZBAD=NAED,

AQJR

—=——=2,:.AC=2AD=2x,CE=CA=2x,ZCEA=NCAE,

ADBD

v四邊形ADCE內(nèi)接于QO,ZADC+ACEA=ZADC+NADB=180°,

ZBDA=ZAEC=NEAC,AABDs/\EFA,

ADBDx1.?y

AEAFyAFx

ZBAD=ZBCA,ZADB=ZCAE=ZCDE,/.ADABsADCF,

CDCF3CF“6

ADABx2x

:.AC=AF+CF=^-+-=2x,

XX

與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x2-6；

②連接OA、OC,-/CE//AB,ZCEA=ZCAE=ZCDE=ACAB=ZACE,

.,.A4CE是等邊三角形，y=2x,:.2X=2X2-6,

+y,%=匕］3(不合題意，舍去)，j=2x=l+V13,

???AC=AE=CE,AC=l+y/13,ZAOC=120°,

?/OA=OC,過點。作O/f。于點笈，AH=CH=-AC,ZOCH=ZOAH=30°,

2

CH彳2°

在RtZkOC/f中cos/OS=—,cos30°=^——

OCr

??，=W/C,二。。的半徑為V3_V3+V39

----AC=---------------

333

EC

25.(本小題滿分12分)

解：（1）?.,直線^=丘+1經(jīng)過點8（1,3）,:.k+l=3,:.k=2.

(2)方法一；由圖像動態(tài)分析可得,

（i）當(dāng)QF經(jīng)過點C時，???28為直徑，

ZACB=90°,過點A,B分別作x軸的垂線，垂足為K,H,

ZBHC=ZCKA=9（r,ZHBC=ZACK,/\BHC^CKA,:=吧.

CKAK

31

設(shè)點Z（加,2加+1）,——-—,解得加=—1,

2-m12m+11

.-.^(-1,-1),AB=2小,

當(dāng)。廠與線段DC相切于點經(jīng)過點R時，連接FR,因AB為直徑，所以圓心/必在直線

歹=丘+1上，

設(shè)幺(私2加+1),則點尸［呼■，冽+2),則《然■,()),

連接AR,BR,過點A,B分別作x軸的垂線，垂足為K,H,則點，

同理可得旭=皿，一之一=----2—,得到方程加2—26加—11=0,

MAK…加2〃?+1

解得叫=13—6”，=13+（舍去*）,

/.F(7-3V5,15-675),^5=30-1275.

?.?8圓=兀r2,...(15—6君『兀<5<(石)2兀，即(405—i8o?)兀<s<5兀，

.-.OF的面積的取值范圍是：(405—180石)兀48<5兀.

方法二：?.?點/在直線y=2x+l上，設(shè)點Z的橫坐標(biāo)為加，

A(m,2m+1),以AB為直徑的圓與線段CD有交點.

設(shè)圓心為E,圓的半徑為r,過點F作用，x軸于點R,

當(dāng)。/與x軸相切時，半徑最小，

此時28=2網(wǎng)，尸(已口，2加；+1,4片=(2FR)2,

(m-l)2+(2m+l-3)2=^2x2ffl^1+3^]?

解得加1=13—66，77?2=13+6y(舍去)，

:.r>FR=2m^1^3,/.r>15-6V5,

2

過點B作BH±x軸于點H,

,;NBHD=90。,當(dāng)點/與點。重合時，此時。廠經(jīng)過點H,FC>FH,點。在圓外,

.?.當(dāng)。廠經(jīng)過點C時，其半徑最大，

此時43=2bC,AB?=QFC)2,

/I、2/CIC、2/(加+1cY(2加+1+3丫w|

(m-1)2+(2m+1-3)2=4xI-------2I+I-----------I,解得加二一1.

：.YFC工在3Q…

22

r<45,:.FR<r<FC,/.15-675<r<75,/.30-1275<^5<275.

?.?8圓=兀7,2,...(15—66)2兀〈8?(6)2兀，即(405—180后)?！碨<5兀.

.-.OF的面積的取值范圍是：(405—180石)兀48<5兀.

(3)方法一：設(shè)5(凡2〃+1),A(m,2m+l),

?.?15-6V5<r<V5,即30—12后<ASK2后，而/8=6(〃一加)，

6A/5-12<n-m<2.

線段AB繞點/按逆時鐘方向旋轉(zhuǎn)2a。得到線段AB',B'(2m-n,2n+1),

依題意得48〃4H,AB=A'B',AB'//A'B",AB'=A'B",

四邊形/88'Z'和四邊形ZB'B'W都是平行四邊形.

.?.點3、/關(guān)于點夕對稱,

拋物線^=以2+瓜+。經(jīng)過A、B、Z'、8"四點，即對稱軸經(jīng)過5、8"的中點，B',

.?.拋物線的對稱軸為x=2加-〃，

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2加+〃)2+p,

圖像經(jīng)過A(m,2m+1)和B(n,2〃+1),

a(-m+n)2+p=2m+l”好一/口，/?、》

.I、,化間可得3。(加一〃/二2(〃一加)，「.3a(z〃一加)=2

a(2n-2m)2-^p=2n+l

a(2n-2m)2+p=2n+l,4a(n-mf+7?=2n+1,

28

:.4x-(n-m)+0=2+1,/.p=3-—(n-m),

v6A/5-12<n-m<2,P-35-165/5.

拋物線的頂點的最大值為35-16石，最小值為-2，最大值與最小值得差為“2—48石.

3