2024年高二第一次月考模擬數(shù)學(xué)測試卷（范圍：空間向量與立體幾何+直線與圓的方程）（解析版）

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|高二第一次月考模擬測試卷!

|范圍：空間向量與立體幾何+直線與圓的方程i

i（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）|

i注意事項：|

\1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本，

|試卷上無效。|

i3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。|

1一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

|是符合題目要求的。|

1.（23-24高二上?吉林長春?階段練習(xí)）直線百工-了+1=0的傾斜角是（）.

A.60°B.30°C.135°D.120°

【答案】A

【分析】把直線方程化簡為斜截式，根據(jù)傾斜角的定義，可得答案.

【詳解】把直線方程化簡為斜截式，得到＞=岳+1,設(shè)傾斜角為。，得到tand=6,根據(jù)傾斜角的定義，|

I可得。=60。

i故選：A

2.（23-24高二上?天津河西?階段練習(xí)）以下各組向量中的三個向量，不能構(gòu)成空間基底的是（）

A.?=（1,0,0）,B=（0,2,0）,c=（1,-V2,0）

B.5=（1,0,0）,K=（0,1,0）,c=（0,0,2）

C.?=（1,0,1）,ft=（0,1,1）,c=（2,1,2）

D.a=（1,1,1）,3=（0,1,0）,c=（l,0,2）

【答案】A

【分析】結(jié)合空間三個向量b,1能構(gòu)成空間的基底，則向量1,b,1不共面，逐一檢驗即可.

【詳解】若空間三個向量b,1能構(gòu)成空間的基底，則向量b,?不共面，反之亦然，

r

對于A,由2=(1,0,0),5=(0,2,0),5=(1,-V2,0),得己=勺差B,即向量a,b,。共面，不能構(gòu)成

空間基底；

對于B,^c=xa+yb,貝lj(0,0,2)=(尤/,0),不成立，即落彼忑不共面，可構(gòu)成基底；

x=2

對于C,^c=xa+yb,貝lj(2,l,2)=(x/,x+y),即，y=l無解，即落友［不共面，可構(gòu)成基底；

x+y-2

x=1

對于D,^-c=xa+yb,則(l,0,2)=(x,x+y,x),即■x+y=l無解，即2瓦1不共面，可構(gòu)成基底.

x=2

故選：A

3.(23-24高二上?河南?階段練習(xí))若直線ox+2y=0與直線x+(a+l)y+(/-l)=0平行，則。的值是()

A.1或-2B.-1C.-2D.2或-1

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件，列出方程組，即可求解.

【詳解】由直線辦+2>=0與直線工+(a+1方+(/-1)=0平行，

fa(a+1)=2x1

可得2,n，解得”-2,所以實數(shù)。的值為-2?

故選：C.

4.(23-24高二下?江蘇南京?階段練習(xí))由四個棱長為1的正方體組合成的正四棱柱/8CO-&BG2(如圖

所示)，點尸是正方形的中心，則函?萬=()

【答案】C

【分析】用而、怒、刀分別表示函、AP，結(jié)合空間向量數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】因為函=而+數(shù)，=

所以期.靜=(石+石)(;布+石+g翔)

=-AD-AB+AD-AA.+-Ai52+-AB-AA,+AA.2+-Ai5-AA,=-AD2+AA,2=-x22+l2=3.

21221121212

故選：C.

5.(22-23高二上,江蘇無錫?期中)給出下列命題，其中是真命題個數(shù)的是()

①若直線/的方向向量3=(0,LT),平面口的法向量萬=(1,T,T),貝心，々；

②若平面a,力的法向量分別為*=(0,1,3),《=(1,6,-2),則

③若平面心經(jīng)過三點4(1,0,-1),5(0,1,0),C(-l,2,0),向量拓=(L"J)是平面a的法向量,則〃+=1；

④若點4(1,2,3),3(1,-1,4),點C是/關(guān)于平面yOz的對稱點，則點B與C的距離為舊

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用空間向量判斷空間線面位置關(guān)系即，共線向量定理，面面垂直轉(zhuǎn)為法向量垂直，空間兩點間

距離公式即可判斷正誤.

【詳解】解：①.??不存在實數(shù)彳，使得六而，

??.I與萬不共線，因此/_La是假命題；

②w1n2=0+6—6=0,

%-Ln2,則a_L/?,因此是真命題；

(3)^5=(-1,1,1),就=(-2,2,1),

?.?向量拓=(I,",。是平面a的法向量，

n-AB=ii-AC=0,

—1+M+/=—2+2〃+1=0,角軍彳導(dǎo)〃=1,t=0f

則+Z=因此是真命題；

④若點4(1,2,3),8(1,-1,4),點C是/關(guān)于平面yOz的對稱點，則C(-l,2,3),

???點B與C的距離d=+(2+1)2+(3-4)2=J值，因此是真命題.

綜上可得：真命題個數(shù)的是3.

故選：C.

r

6.(24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí))已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=9,直線/：mx+y-2m-3=0.則直

線/被圓C截得的弦長的最小值為()

A.277B.V10C.2A/2D.任

【答案】A

【分析】由題意可證直線/恒過的定點「僅,3)在圓內(nèi)，當(dāng)CPJL/時直線/被圓。截得的弦長最小，結(jié)合勾股

定理計算即可求解.

［詳解］直線I：mx+y-2m-3=m^x-2)+y-3=Q,

fx—2=0［x=2

令，3=0,解得y=3'所以直線/恒過定點尸(2,3)，

圓C：(x—3『+(y-4)2=9的圓心為C(3,4),半徑為r=3,

且|PCf=(2-3p+(3-4)2=2<9,即尸在圓內(nèi)，

當(dāng)CP，/時，圓心C到直線I的距離最大為d=\PC\=72,

此時，直線/被圓C截得的弦長最小，最小值為2Jr2-=2療.

故選：A.

PA

7.(22-23高二上?廣東肇慶?階段練習(xí))已知0(0,0),4(3,0),動點尸(xj)滿足記=2,則動點尸的軌跡

方程為()

A.(x-l)~+y2=4B.x2+(j^+l)2=4

C.(x+l)2+y2=4D.(x+l)2+(j+l)2=4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出等式并化簡即可.

【詳解】由題可知同「=4怛。匕

所以(X-3)2+/=41+/)，

化簡得(x+1)"=4,

r

故選：c,

8.(24-25高二上?山東?開學(xué)考試)己知曲線蚱1+F?與直線尸M尤-2)+4有兩個相異的交點，那么實

數(shù)人的取值范圍是()

a1，口

-號)B.[Hu生口D.612)

【答案】B

【分析】先得到曲線y=1+67軌跡為以(0,1)為圓心，2為半徑的上半圓，求出y=k(x-2)+4恒過定點

(2,4),把半圓和直線畫出，數(shù)形結(jié)合得到有兩個相異的交點時實數(shù)人的取值范圍.

【詳解】了=1+6^21，變形得到一+3-1『=4,

故曲線y=1+67軌跡為以(0,1)為圓心，2為半徑的上半圓,

曠=兀。一2)+4恒過定點(2,4),把半圓和直線畫出，如下：

當(dāng)y=-2)+4過點(-2,1)時，滿足兩個相異的交點，

4-13

且此時上取得最小值，最小值為4]=^，

當(dāng)y=-2)+4與y=i+“Z^相切時，由(0,1)到直線距離等于半徑可得

-2A+4-l|=2,解得左毛

J1+/

故要想曲線夕=1+6？與直線丁=左(％-2)+4有兩個相異的交點，

-

則nl,此<仁513

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（21-22高二上?湖北隨州,期中）已知平面上一點河（4,0）,若直線上存在點P,使I尸W|=3,則稱該直線為

"點〃相關(guān)直線"，下列直線中是"點M相關(guān)直線"的是（）

A.歹=2B.4%-3》=0C.3x+4y-5=0D.2x-j?+l=0

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意可得出點M到直線的/的距離人3時，該直線上存在點尸，設(shè)1加|=3,此時該直線為“點〃

相關(guān)直線”；然后根據(jù)點到直線的距離公式逐項進行判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，可得當(dāng)點M到直線的/的距離dW3時，該直線上存在點尸，設(shè)1尸河1=3,此時該直線為“點

M相關(guān)直線”.

選項A：點/到直線>=2的距離為2,滿足題意；

選項B：點M到直線4x-3y=0的距離為第=">3,不滿足題意；

V42+325

112+0-517

選項C：點M到直線3x+4y_5=0的距離為d"」=工<3,滿足題意；

V32+425

,|8+0+1|975,

選項D：點M至I］直線2x_y+l=0的距離為d==<>3,不滿足題意.

V,2+（-025

故選：AC.

10.（21-22高二下?河北邢臺?開學(xué)考試）如圖，在邊長為2的正方體力BCD-4片G2中，E,F,G分別為

CR,44，的中點，則（）

A.8Gli平面力所

B.&G_L平面4E77

C.異面直線4尸與GC所成角的余弦值為:

D.點8到平面/E尸的距離為述

5

【答案】CD

r

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，通過空間向量運算依次判斷4個選項.

【詳解】以。為原點，DA,DC,。，所在直線分別為無，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖，則/（2,0,0）,4（2,0,2）,尸（2,1,2）,E（0,l,2）,G（2,l,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,C,（0,2,2）,

^￡=（-2,1,2）,言=（0,1,2）,GG=（-2,1,0）,=（-2,0,2）,4^=（0,1,-2）.

對于選項A,B：

設(shè)平面4EF的法向量為〃=（x,%z）,

.\n-AE=0,f—2x+y+2z=0

則《一，即,

[n-AF=0,[y+2z=0

令了=-2,則x=0,z=l,得"=（0,-2,1）,

所以南與平面/E尸不平行，4G與平面NE尸不垂直，即A,B錯誤.

對于選項C：

|cos^,GC）|=|-^=|=|,則異面直線AF與GC所成角的余弦值為（，即C正確.

對于選項D：

AB-n=[,即D正確.

又9=（0,2,0）,所以點8到平面NEF的距離為一

故選：CD.

11.（24-25高三上?遼寧鞍山?開學(xué)考試）已知直線/：丘-7+左=0,圓。:/+/-6彳+5=0,尸優(yōu),為）為圓。

上任意一點，則下列說法正確的是（）

A.的最大值為5

B.總的最大值為Hl

無。5

C.直線/與圓C相切時，k^±—

3

D.圓心C到直線/的距離最大為4

【答案】BC

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、點和圓的位置關(guān)系等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】圓C的方程可化為（尤-3丫+/=22,所以圓C的圓心為C（3,0）,半徑r=2.

|。。|=3,「（而,?。┦菆A上的點，

所以焉+說的最大值為（3+2『=25,A選項錯誤.

如圖所示，當(dāng)直線。尸的斜率大于零且與圓相切時，風(fēng)最大，

%

此時[01=3,|尸。=2,[0尸|=石，旦％=1211/尸0。=木=與，B選項正確.

直線/:日一了+左=0,即y=左（尤+1）,過定點（-1,0）,

若直線/與圓C相切，則圓心C（3,0）到直線/的距離為2,

\3k+k\

即17T=2,解得左=土"，所以C選項正確.

J1+左23

|3左+左I|4用

圓心c。,0）到直線I的距離d=y=,

71+k\1+左

當(dāng)左二o時，d=0,

M4

當(dāng)kwo時，d=Ji+左2=r—1~<4,所以D選項錯誤.

VF

故選：BC

-7I/拉

r1

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(19-20高二下?黑龍江哈爾濱?期中)經(jīng)過兩直線llx+3y-7=0和12x+y-19=0的交點，且與/(3,-2),

8(-1,6)等距離的直線的方程是.

【答案】7x+y-9=0或2x+y+l=0

【分析】直接求兩直線的交點，與43,-2),5(-1,6)等距離的直線，一條過AB的中點，一條平行A8.

【詳解】兩直線1卜+3y一7=0和12%+〉一19=0的交點為(2,-5),

4(3,-2),3(-1,6)的中點為(1,2),

因為所求直線過(2,-5)且與4(3,-2),8(-1,6)等距離，

故所求直線過AB的中點或與直線AB平行，

當(dāng)直線過N2的中點時，左=與與&=-7,

1—2

直線方程為y-2=-7(x-l),即7x+y-9=0,

-2-6-8

當(dāng)直線與直線平行時，k=---=--=-2,

4

直線方程為N+5=-2(x-2),即2x+y+l=0.

故答案為：7x+y-9=0或2x+y+l=0

【點睛】本題主要考查了直線交點，直線的平行，直線的斜率，直線方程，屬于中檔題.

13.(23-24高二上?福建龍巖,階段練習(xí))平面直角坐標(biāo)系上有41,1),8(3,0)兩點，直線/的方程為

x+2y-8=0,直線/上有一點P,1PH+|P即最短，則尸點的坐標(biāo)為.

【答案】㈢

【分析】根據(jù)題意，先求點A關(guān)于直線/的對稱點H的坐標(biāo)，再求直線48的方程，最后列方程組求點P的

坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點41,1)關(guān)于直線I的對稱點?'(/〃),

貝IJ44U/,線段ZH中點(生廠，號)在直線/上，

2L±(__L)=_1

m_i9n=2m-1

所以,，整理得、八，

m+1八n+\小八\m+2n-\5=0

------+2x----------8=0l

m=3,

解得一即?(3,5).

n-5

因為點A',P,B在一條直線上時|^|+1必|最短,

所以點P的坐標(biāo)是直線48與直線1的交點,

由A'(3,5),B(3,0)得直線43的方程為x=3,

x=3(

x=35

所以x+2尸83解得5,即尸3,

故答案為：［3,1

14.（24-25高二上?吉林?階段練習(xí)）正三棱柱48C-481G的側(cè)棱長為2,底面邊長為1,加■是的中

點.在直線CG上求一點N,當(dāng)CN的長為時，使MNJL/月.

【答案】1/0.125

O

【分析】根據(jù)正三柱性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.

【詳解】取用G的中點為/一連接必必,/河，由正三棱柱性質(zhì)可得

因此以〃為坐標(biāo)原點，以九〃皆所在直線分別為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所

o,1,2LAI(0,0,0),設(shè)CN的長為。，JiLa>0,可得N［。,-］,，；

r

——?—?111

若則JWZB]=―-x—+2Q=0,解得〃=—,

228

所以當(dāng)CN的長為:時，使MNJL/4.

O

故答案為：:

O

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(24-25高二上?河南漠河期中)已知空間三點工(-2,0,2),C(-3,0,4),設(shè)1而,

b=BC.

⑴求￡和B的夾角e的余弦值；

(2)若向量歷+刃于場-25互相垂直,求無的值.

【答案】⑴-農(nóng)

2

-3-3V17-3+3V17

(2)k=------一或卜=.....-

44

【分析】(1)利用向量的坐標(biāo)公式和向量的夾角公式即可得出；

(2)根據(jù)向量垂直時數(shù)量積為0,結(jié)合向量的平方即為模的平方，計算即可得到心

【詳解】(1)因為“(一2,0,2),5(-1,1,2),。(一3,0,4),

所以￡=存=(1,1,0),S=SC=(-2,-l,2)

八a-b-2-1+0亞

所以麗，1+1+屋“+1+4=一工

即Z和5夾角。的余弦值為-交；

2

(2)因為向量后+B與后-2否互相垂直，

所以(左4+4.(左4一2可=左2/一左〃不一2片=0,

r

因為〃=2,a?b=-3，b=9,

所以2左2+3左一18=0,

解得％=土亞或仁士巫.

44

16.(24-25高二上?吉林?階段練習(xí))已知直線4：辦一2了+2=0,直線：x-(a-l)y-2=0.

⑴若〃4,求噌4之間的距離;

(2)若求4，4及X軸圍成的三角形的面積.

【答案】⑴逑

2

【分析】(1)由“4求出。的值，再由平行線間的距離求解即可.

(2)由4-L4求出。的值，再求出直線4，4的交點，及4，4與X軸的交點，由三角形的面積公式求解即

可.

【詳解】(1)因為〃〃2,所以-q(a-l)-(-2)xl=0,

整理得Q?-Q-2=(Q+1)(Q-2)=0,解得Q=-1或Q=2.

當(dāng)a=—1時，lx—x—2y+2=0,/2:x+2y—2=0,lx,4重合；

當(dāng)〃=2時，4：2x-2>+2=0,12:x—y—2=0,符合題意.故Q=2,

則4,4之間的距離為卜日=逑.

V22

2

(2)因為所以axl+2x(a_l)=0,解得a=§.

4，4的方程分另I為彳_3>+3=0,3x+i=0.

3

X=

x-3y+3=021

聯(lián)立方程組3x+y-6=0,得‘

3,

y=

2-

因為4，4與x軸的交點分別為(TO),(2,0),

所以4，4及工軸圍成的三角形的面積為:x5x|=7.

17.（23-24高二下?山西長治?期末）如圖，直四棱柱48cA的底面是正方形，AAt=2AB,E,F

分別為CG，4區(qū)的中點.

（1）證明：G尸//平面43E；

⑵求二面角A-BE-F的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵反

9

【分析】（1）根據(jù)線面平行的空間向量法證明即可；

（2）根據(jù)空間向量法求二面角余弦，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解.

如圖建系，設(shè)44]=2/8=4,

則G（2,2,4）,下（1,0,4）,4（0,0,4）,3（2,0,0）,￡（2,2,2）,

于=（-1,-2,0）,

設(shè)平面45E法向量為萬=（%）/）,

港=（2,0,-4）,赤=（0,2,2）,

A]B?元=2x-4z=0

<

BE-n=2y+2z=0

x=2

可得,V=-l

z=1

即得加=(2,-1,1),

因為萬?市=-2+2+0=0,所以彳〃萬，Gk不在平面48E內(nèi)，所以C1尸〃平面4BE.

(2)設(shè)平面AE尸法向量為應(yīng)=(a,8c),

屜=(0,2,2),前=(-1,0,4),

mBE=2b+2c=0

<

mBF=-Q+4。=0

a=4

可得"=T,

c=l

即得行=（4,-1,1）,

設(shè)二面角4—BE—尸為ee?o㈤,

則2篇二焉^.述

9

因為sin%+cos2^=1,所以sin6）=

9

18.（22-23高二上,山東荷澤,期末）某海面上有。,48三個小島（面積大小忽略不計），N島在。島的北偏

東45。方向20忘km處，8島在。島的正東方向10km處.以。為坐標(biāo)原點，。的正東方向為x軸正方向,

1km為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

⑴試寫出48的坐標(biāo)，并求43兩島之間的距離；

(2)已知在經(jīng)過。,48三個點的圓形區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一艘船〃在。島的南偏西30。方向距0島

20km處，正沿北偏東45。方向行駛，若不改變方向，該船有沒有觸礁的危險？

［答案］(1)420,20),5(10,0),10石(km)

⑵有觸礁的危險

【分析】(1)根據(jù)坐標(biāo)的表示方法和兩點間的距離公式求解；(2)利用點和直線的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】(1)在。的北偏東45。方向20后km,B在。的正東方向10km.

^(20,20),5(10,0),

由兩點間的距離公式知MB|=7(20-10)2+202=1oV5(km).

(2)設(shè)過。,48三點的圓的方程為/+/+.+4+尸=0.

將0(0,0),4(20,20),8(10,0)代入上式，得

尸=0。=-10

<202+202+20￡)+20￡,+F=0,解得<￡=-30.

102+10D+F=0|F=O

?1?圓的方程為x"+y"-10JC—30jv=0,

則該圓的圓心為(5,15),半徑廠=5瓦.

設(shè)船起初所在的點為M，則"(-10,-10百),

又該船航線所在直線的斜率為1,

該船航線所在的直線方程為x-y+10-106=0.