2024年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：立體幾何中球與幾何體的切接問題（學(xué)案+練習(xí)）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展24立體幾何中球與幾何體的切接問題（精講+精練）

一、知識點梳理

一、外接球

如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體

的外接球.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.并且還

要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起

到至關(guān)重要的作用.

二、內(nèi)切球

球的內(nèi)切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的

是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.當球與多面體的各個面相切時，注意球心到

各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐

的高，用體積法來求球的半徑.

【常用結(jié)論】

①外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直

角三角形模型，用構(gòu)造法（構(gòu)造長方體）解決.外接球的直徑等于長方體的體

對角線長（在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑

.____________+〃2+2

為R,則2R=后兩不？.）,秒殺公式：爛=—4—.可求出球的半

徑從而解決問題.有以下四種類型:

②外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型，一般用構(gòu)造法（構(gòu)造長方體）解決.外接球的直徑

等于長方體的體對角線長，即2RH+C?（長方體的長、寬、高分別為a、b、c）.秒殺公式：箸="+；+]

（三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z）.可求出球的半徑從而解決問題.

③外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法（多面體的外接球的球心是過多面體

的兩個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點.一般情況下只作出一個面的垂線，然后設(shè)出球心用算

術(shù)方法或代數(shù)方法即可解決問題.有時也作出兩條垂線，交點即為球心.）解決.以直三棱柱為例，模型如

下圖，由對稱性可知球心0的位置是4ABC的外心01與4A,BiCi的外心。2連線的中點，算出小圓01的半

力h2

徑A0i=r,OO\=-,/.R2=r2+一.

④外接球模型四：垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型,可補為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知

球心O的位置是仆CBD的外心01與AA&6的外心。2連線的中點，算出小圓01的半徑4。1=廠，。。尸-

⑤外接球模型五：有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面

A8CJ_平面BCD,如類型I,△ABC與△8。都是直角三角形，類型II,AABC是等邊三角形，△BCD是

直角三角形，類型m,AABC與ABCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與4BCD的外心作該三

角形所在平面的垂線，交點。即為球心.類型IV,△ABC與△8C。都一般三角形，解決方法是過△80的

外心。1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題.設(shè)三棱錐A—的高為加外接球的半

1氏2=3+機2,

徑為R,球心為O.△BCD的外心為01,01到BD的距離為d,0與01的距離為m,則J

[Rz=dz+（h—mY，

解得R.可用秒殺公式：R2=rJ+r22—!（其中ri、廠2為兩個面的外接圓的半徑，/為兩個面的交線的長）

AAA

BC

Q

D

類型ni

⑥外接球模型六：圓錐、頂點在底面的射影是底面外心的棱錐.秒殺公式：尺=^^（其中人為幾何體

的高，r為幾何體的底面半徑或底面外接圓的圓心）

⑦內(nèi)切球思路：以三棱錐尸一ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑.

方法：等體積法，三棱錐尸一ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和;

第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；

第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為廣，球心為O,建立等式：Vp-ABC^Vo-ABc+Vo-PAB+VO-PAC+VO-PBC^Vp-ABC

^Vp-ABC3V

第三步：解出廠1__________________________________________________________________——.

So-ABC~^~So-PAB~^~So-PAC~^~So-PBC5表.

、題型精講精練

【典例1】（2023?浙江?高三校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36兀的球面上，則該正

四面體的棱長是.

【答案】2加

【解析】如圖所示：

因為正四面體內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個正方體內(nèi)接球，設(shè)正方體為ABCD-ABCiA，

則正四面體為A-CA2，

設(shè)球的半徑為R,則4乃7?2=36萬，

解得R=3,

所以AG=6則正方體的棱長為2行,

所以正四面體的棱長為四=2而，

故答案為：2瓜

【典例2】（2023?河南?開封高中校考模擬預(yù)測）已知四面體ABC。中，AB=CD=2非，AC=BD=叵，

AD=BC=441>則四面體ABC。外接球的體積為（）

A.45KB.生叵C.竺叵D.24A/5TT

22

【答案】C

【解析】設(shè)四面體ABCD的外接球的半徑為火,

則四面體ABCD在一個長寬高為6,c的長方體中，如圖,

a2+b2=20,,,

貝！j<〃+0?=29,故R==漁，

a2+c2=41,22

故四面體ABCD外接球的體積為V='爐=士兀義竺巫=竺叵，

3382

故選：C

【典例3]（2023?黑龍江齊齊哈爾?高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)直三棱柱ABC-AB?的

所有頂點都在一個表面積是40%的球面上，且AB=AC=A\,ZBAC=120。，則此直三棱柱的表面積是（）

A.16+873B.8+1273C.8+166D.16+12A/3

【答案】D

【解析】設(shè)AB=AC="=2m，因為N54C=120。，所以NACB=30。.

于是T2m^二2,。是△ABC外接圓的半徑），r=2m.

sm30

又球心到平面ABC的距離等于側(cè)棱長AA的一半,

所以球的半徑為J（2m）2+m2=亞m-

所以球的表面積為4兀?（百〃）=40兀，解得利=&.

因此AB=AC=A4,=2厄BC=2底.

于是直三棱柱的表面積是

2x20x2夜+2限2&+2x、2@20sinl2O。=16+12技

2

【典例4]（2023?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱

孫，平面A8C,且m=4,則三棱錐尸-ABC的外接球表面積為

【答案】287t

【解析】根據(jù)已知，底面AABC是邊長為3的等邊三角形，平面ABC,

可得此三棱錐外接球，即以“BC為底面以％為高的正三棱柱的外接球.

設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為",N,則外接球的球心。為MN的中點,

B

△ABC的外接圓半徑為『=3=2、且x3=。，d=ON=-PA=2,

—322

所以球的半徑為R=OA=777^=4，

所以四面體尸-/lBC外接球的表面積為S=4TTR2=28兀，

故答案為：28兀,

【典例5】（2023?四川樂山?高三期末）已知正AASC邊長為1,將AABC繞BC旋轉(zhuǎn)至△D5C,使得平面

ABC4平面BCD,則三棱錐ABC的外接球表面積為.

【答案】+

【解析】如圖，

取8C中點G,連接AG,OG,則AG_L3C,DG1BC,

分別取AABC與ADBC的外心E,尸分別過作平面ABC與平面。BC的垂線，相交于O,則。為四面體

A—BCD的球心，

所以正方形OEG尸的邊長為!AG=^,貝IJOG=,M[+]回=更,

所以四面體A-3CD的外接球的半徑R=4OG2+BG2==德,

球。的表面積為47tx

571

故答案為：y.

【典例6】（2023?山東濱州?高三?？计谥校┮阎睦忮FP-ABCD的底面邊長為3VL側(cè)棱長為6,則

該四棱錐的外接球的體積為

【答案］32百兀

【解析】如圖，PO1是正四棱錐P-ASCD的高，而A8=3應(yīng)，尸A=6,貝!J=如=正竺=3,

122

PO\=JPT-AO；=36,顯然正四棱錐尸-ABCD的外接球的球心。在直線P&上,

令PO=AO=R,貝!JOQ434—R|,

在RSAQO中，ie=Ab2=AC^+OO^=32+（3A/3-7?）2,解得尺=2石，

44/—l

所以該四棱錐的外接球體積為V=-TtR3=-Ttx（2A）3=32g兀.

故答案為：32島

【典例7］（2023?高三課時練習(xí)）邊長為1的正四面體內(nèi)切球的體積為（）

A巫B.正C.-D.典

8126216

【答案】D

【解析】將棱長為1的正四面體補成正方體型則該正方體的棱長為冬

設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為,，正四面體ABCD每個面的面積均為如乂仔=@,

44

由等體積法可得VA_BCD=^=|r（+S/D+5AA+SABCD）=y八解得'=存，

因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為V=g兀x（杏）=京兀.

故選：D.

【題型訓(xùn)練1-刷真題】

一、單選題

1.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）己知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3g和4后，其頂點都在同

一球面上，則該球的表面積為（）

A.10071B.1287rC.144兀D.192K

2.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球。的球

面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.-B.；C.立D.受

3232

3.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為I,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，

且3V/V3石，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

D.[18,27]

A.B.7彳C.

4.（2021.全國?統(tǒng)考高考真題）已知42,C是半徑為1的球。的球面上的三個點，且AC_L3C,AC=3C=1,

則三棱錐O-ABC的體積為（）

B.B「V2

A.縣D.叵

121244

二、填空題

5.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知點S,A,8,C均在半徑為2的球面上，AABC是邊長為3的等邊三角形,

SA_L平面A3C,則&4=

【題型訓(xùn)練2-刷模擬】

一、單選題

1.（2023秋?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學(xué)考試）邊長為1的正方體的外接球表面積為

C.3c兀

A.兀B.3兀D.一

4

2.（2023秋?四川成都?高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）已知四面體ABCD滿足AB=CD=m，AD=BC=5

AC=BD=2,且該四面體A3CD的外接球的表面積是（）

A.2兀B.6兀

6兀

C.—D.4兀

11

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在直三棱柱ABC-ABC中,AB1.BC,SC=1,AB=6，M=2A/3,貝U該

直三棱柱的外接球的體積為（）

4.（2023秋?四川眉山?高三?？茧A段練習(xí)）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球

的球面上，則該圓柱的體積為（）

C兀一3兀一兀

A4.兀B.—C.——D.—

244

5.（2023?河南鄭州?校聯(lián)考二模）如圖，在三棱錐A—BCD中，AD=CD=2,48=8。=AC=2后，平面

平面4BC,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

D.____「

A.12KD.8兀

6.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）己知"1BC是邊長為4的等邊三角形，將它沿中線AD折起得四

面體A-BCD,使得此時8c=2后，則四面體A-BCD的外接球表面積為（）

A.1671B.187：C.2UD.28兀

7.（2023?山西呂梁?統(tǒng)考二模）在三棱錐P—ABC中，已知24,底面ABC,CA=CB=PA=2,AC1BC,

則三棱錐P-ABC外接球的體積為（）

A.16KB.4A/3KC.48KD.12后

8.（2023?四川成者B?校聯(lián)考二模）在三棱錐產(chǎn)一ABC中，PA=PC=2而,AC=4忘，ABC=90°,平面

PACL平面ABC,若三棱錐P-ABC的所有頂點都在球。的表面上，則球。的半徑為（）

A.2代'C.275

9.（2023秋?陜西西安?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在三棱錐尸-ABC中，AASC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱

24,平面ABC,且PA=26，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

A.32兀B.28兀C.267rD.24兀

10.（2023春?四川綿陽?高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）已知四棱錐尸-ABCD的體積是36如，

底面ABC。是正方形，AF4B是等邊三角形，平面平面A3CO,則四棱錐P-ABCD外接球表面積為

（）

A.8971B.8871C.847tD.81兀

11.（2023?江西南昌?南昌市八一中學(xué)校考三模）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，高為&,

AD=2娓,AB=2,ABLPD,PA=PD,則四棱錐P—ABCD的外接球的表面積為（）

256

A.12巫TiB.48&7iC.367tD.飛一兀

12.（2023秋?陜西西安?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知在三棱錐P-ABC中，B4+BC=4,AB1AC,PAL平

面ABC,則三棱錐尸-ABC的外接球表面積的最小值為（）

A.兀B.4兀C.8兀D.12n

13.（2023秋?湖南衡陽?高三衡陽市田家炳實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）球。內(nèi)接三棱錐BCD,AC,平面

BCD,BDLCD.若BD=1,球。表面積為97r.則三棱錐A-3C。體積最大值為（）

A.1B.-C.—D.一

322

14.（2023秋?四川成都?高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知四面體ABCD滿足AB=C￡）=6，=BC=6，

AC=3D=2,且該四面體ABC。的外接球的球半徑為與，四面體的內(nèi)切球的球半徑為凡，則5的值是（）

A.y/ilB.—C.yf6D.—y[6

33

7T

15.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）在三棱錐P—ABC中，PA=AB,PAABC,ZABC=-,AB+BC=6,

2

則三棱錐P-ABC外接球體積的最小值為（）

A.8瓜TIB.16A/6TIC.24巫nD.32A/6K

16.（2023?河南?統(tǒng)考三模）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1,高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)

它的體積為％,它的內(nèi)切球的體積為丫2,則匕：匕=（）

17.（2023.福建寧德.?？寄M預(yù)測）將一個半徑為2的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的

半徑為（）

A,反B,2（省+1）

33

C.2（G）D,4叩）

33

18.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知四棱錐尸-ABCD的各棱長均為2,則其內(nèi)切球表面積為（）

A.(8—26)兀B.(8-473)71

C.(8-6百)兀D.(8-3如)兀

19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若一個正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為

A.373:1B.5:1C.551D.6:1

20.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）已知直三棱柱ABC-4耳￡存在內(nèi)切球，若A5=3,BC=4,AB,則該三棱

柱外接球的表面積為（）

A.26TrB.27兀C.2871D.29兀

21.（2023春?貴州?高三校聯(lián)考期中）已知正三棱錐P—ABC的底面邊長為3,高為",則三棱錐P—ABC

的內(nèi)切球的表面積為（）

3兀

A.—B.3兀C.6兀D.1271

2

22.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，其內(nèi)切球的半徑為血，

則該圓臺的體積為（）

A7夜兀D14V57r「24y/2ji門250兀

3333

23.（2023?廣東深圳?高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知正三棱錐尸-ASC中，ZAPB=90°,其內(nèi)切

球半徑為廣，外接球半徑為R，則￡=（）

R

A

AV3-1R2（6+1）V6-V2N/6+V2

3966

24.（2023秋?浙江麗水?高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）將菱形ABCD沿對角線AC折起，當四面體

3-ACD體積最大時，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為（）

A.-B.-C.—D.—

351012

二、填空題

25.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在矩形A3CD中，AB=1,8C=0,上4,平面ABC。，PA=1,四棱錐

尸-ABCD的外接球的表面積為

26.（2023秋?四川眉山?高三?？奸_學(xué)考試）已知正三棱柱ABC-44G的底面邊長為6,三棱柱的高為2代,

則該三棱柱的外接球的表面積為.

27.（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）正三棱錐P-ABC底面邊長為2,"為48的中點，且PMLPC,則

正三棱錐P-ABC外接球的體積為.

28.（2023?河南.統(tǒng)考模擬預(yù)測）在菱形ABC。中，AB=5,AC=6,AC與3。的交點為G,點N分

別在線段ADCD上，且CN=；ND,將AMND沿MN折疊到△W。，使G〃=20，則三

棱錐D-ABC的外接球的表面積為.

29.（2023秋?河北秦皇島?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）三棱錐尸-ABC中，AB，3cp在底面的射影。為AABC

的內(nèi)心，若AB=4,8C=3,尸0=5,則四面體PASC的外接球表面積為.

30.（2023秋?湖北?高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）在“ABC中，AB=AC=ylW'3c=2,將AA6C繞著

兀

邊BC逆時針旋轉(zhuǎn)2號后得到ADBC,則三棱錐O-ABC的外接球的表面積為.

31.（2023春?江西南昌?高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為菱形，PDA.

TT

底面ABC。，ACC[BD=O,若PD=2,ZPAD^ZBAD^-,則三棱錐尸―COD的外接球表面積為.

32.（2023?四川綿陽?綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）在邊長為2的正方形ABCD中，分別為線

段AB,3C的中點，連接DE,DF,EF,將AADE,ACDF,A3￡F分別沿。瓦。REF折起，使A,8,C三點重合，

得到三棱錐0-。歷，則該三棱錐外接球的表面積為.

33.（2023秋?河南周口?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一個圓臺內(nèi)切球的半徑為0,圓臺的表面積為14兀,

則這個圓臺的體積為.

34.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2,高為4萬，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.

35.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知三棱錐尸-A5c的所有棱長都相等，現(xiàn)沿R4,PB,PC三條側(cè)棱剪開，

將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為2而，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的體積為

TT

36.（2023?湖南長沙?雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=3,AD=2,ZBAD=^,

現(xiàn)將△ABD沿直線8。翻折，得到三棱錐A-3CD,若4肥=近，則三棱錐A-3CD的內(nèi)切球表面積

為.

77

37.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知菱形ABCD的邊長為1,ZADC=-,將"DC沿AC翻折，當三棱

錐ABC表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為.

38.（2023?全國?河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）己知四棱錐的各個頂點都在同一個球面上.若該球的體積

為36萬，則該四棱錐體積的最大值是.

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展24立體幾何中球與幾何體的切接問題（精講+精練）

一、知識點梳理

一、外接球

如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體

的外接球.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.并且還

要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起

到至關(guān)重要的作用.

二、內(nèi)切球

球的內(nèi)切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的

是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.當球與多面體的各個面相切時，注意球心到

各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐

的高，用體積法來求球的半徑.

【常用結(jié)論】

①外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直

角三角形模型，用構(gòu)造法（構(gòu)造長方體）解決.外接球的直徑等于長方體的體

對角線長（在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑

.____________+〃2+2

為R,則2R=后兩不？.）,秒殺公式：爛=—4—.可求出球的半

徑從而解決問題.有以下四種類型:

②外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型，一般用構(gòu)造法（構(gòu)造長方體）解決.外接球的直徑

等于長方體的體對角線長，即2RH+C?（長方體的長、寬、高分別為a、b、c）.秒殺公式：箸="+；+]

（三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z）.可求出球的半徑從而解決問題.

③外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法（多面體的外接球的球心是過多面體

的兩個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點.一般情況下只作出一個面的垂線，然后設(shè)出球心用算

術(shù)方法或代數(shù)方法即可解決問題.有時也作出兩條垂線，交點即為球心.）解決.以直三棱柱為例，模型如

下圖，由對稱性可知球心0的位置是4ABC的外心01與4A,BiCi的外心。2連線的中點，算出小圓01的半

力h2

徑A0i=r,OO\=-,/.R2=r2+一.

④外接球模型四：垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型,可補為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知

球心O的位置是仆CBD的外心01與AA&6的外心。2連線的中點，算出小圓01的半徑4。1=廠，。。尸-

⑤外接球模型五：有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面

A8CJ_平面BCD,如類型I,△ABC與△8。都是直角三角形，類型II,AABC是等邊三角形，△BCD是

直角三角形，類型m,AABC與ABCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與4BCD的外心作該三

角形所在平面的垂線，交點。即為球心.類型IV,△ABC與△8C。都一般三角形，解決方法是過△80的

外心。1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題.設(shè)三棱錐A—的高為加外接球的半

1氏2=3+機2,

徑為R,球心為O.△BCD的外心為01,01到BD的距離為d,0與01的距離為m,則J

[Rz=dz+（h—mY，

解得R.可用秒殺公式：R2=rJ+r22—!（其中ri、廠2為兩個面的外接圓的半徑，/為兩個面的交線的長）

AAA

BC

Q

D

類型ni

⑥外接球模型六：圓錐、頂點在底面的射影是底面外心的棱錐.秒殺公式：尺=^^（其中人為幾何體

的高，r為幾何體的底面半徑或底面外接圓的圓心）

⑦內(nèi)切球思路：以三棱錐尸一ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑.

方法：等體積法，三棱錐尸一ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和;

第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；

第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為廣，球心為O,建立等式：Vp-ABC^Vo-ABc+Vo-PAB+VO-PAC+VO-PBC^Vp-ABC

^Vp-ABC3V

第三步：解出廠1__________________________________________________________________——.

So-ABC~^~So-PAB~^~So-PAC~^~So-PBC5表.

二、題型精講精練

【典例1】（2023?浙江?高三校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36%的球面上，則該正

四面體的棱長是.

【答案】2瓜

【解析】如圖所示：

因為正四面體內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個正方體內(nèi)接球，設(shè)正方體為耳，

則正四面體為A-CBI2，

設(shè)球的半徑為R,則4萬爐=361，

解得R=3,

所以AG=6則正方體的棱長為273,

所以正四面體的棱長為g=2",

故答案為：2瓜

【典例2】（2023?河南.開封高中?？寄M預(yù)測）已知四面體ABCZ）中，AB=CD=2也，AC=BD=回,

AD=BC=^＞則四面體A8CQ外接球的體積為（）

A.4571B.心反C.竺反D.24后

22

【答案】C

【解析】設(shè)四面體A5CD的外接球的半徑為凡

則四面體ABCD在一個長寬高為。，瓦c的長方體中，如圖,

a2+b2=2Q,,,

則L'+c?=29,故/=①+方+/=叵,

a2+c2-4122

CtIC—*"+

故四面體相。外接球的體積為八抑、加邛L吟,

故選：C

【典例3]（2023?黑龍江齊齊哈爾?高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)直三棱柱ABC-44G的

所有頂點都在一個表面積是40萬的球面上，且AB=AC=AAl,^BAC=120。，則此直三棱柱的表面積是（）

A.16+8^B.8+12^C.8+16若D.16+12括

【答案】D

【解析】設(shè)AB=AC=44]=2〃?，因為/B4C=120。，所以NAC3=30。.

2m

于是=。是外接圓的半徑），r=2m.

sin30

又球心到平面ABC的距離等于側(cè)棱長AA的一半,

所以球的半徑為厄示+m=y/5m

所以球的表面積為4兀?（百"）=40兀，解得機=0.

因此AB=AC=A4,=20,BC=2瓜

于是直三棱柱的表面積是

2x2夜x2血+2而x20+28、2@2缶inl20。=16+12技

2

【典例4】（2023?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）在三棱錐尸-ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱

B4,平面ABC,且叢=4,則三棱錐P-ABC的外接球表面積為.

【答案】28TI

【解析】根據(jù)已知，底面AABC是邊長為3的等邊三角形，PAL平面ABC,

可得此三棱錐外接球，即以U1BC為底面以24為高的正三棱柱的外接球.

設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為M,N,則外接球的球心。為的中點,

△ABC的外接圓半徑為r=AN=-3=6，d—ON=—PA—2,

一322

所以球的半徑為R=Q4==幣,

所以四面體P-ABC外接球的表面積為5=4成2=28兀，

故答案為：287t.

【典例5】（2023?四川樂山?高三期末）已知正"RC邊長為1,將AABC繞BC旋轉(zhuǎn)至△DBC,使得平面

ABC4平面BCD,則三棱錐￡>-ABC的外接球表面積為.

【答案】+

【解析】如圖,

取BC中點G,連接AGQG,則AGL3C,DG1BC,

分別取AABC與ADBC的外心瓦尸分別過E,尸作平面48c與平面。8c的垂線，相交于O,則。為四面體

A—BCD的球心,

由AB=AC=￡?=OC=3C=1,

所以正方形。的的邊長為孑，則。G=_7|

~~6~,

所以四面體A-3CD的外接球的半徑R=yl0G2+BG2=J洋j+仁：=日

球。的表面積為47tx

5兀

故答案為：y.

【典例6】（2023?山東濱州?高三校考期中）已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為3VL側(cè)棱長為6,則

該四棱錐的外接球的體積為

【答案】32百兀

【解析】如圖，PQ是正四棱錐尸―ABCD的高，而AB=30,PA=6,則4。=苧=，等=3,

POl=JPT-AO：=34,顯然正四棱錐尸-ABCD的外接球的球心O在直線PQ上,

令PO=AO=R,則OQ=|3g—R|,

在Rt^AOQ中，R2=AO2=AO^+OO^=32+（3A/3-7?）2,解得R=2^,

44/-1-

所以該四棱錐的外接球體積為丫=1位3=]兀X（2月）3=3267r.

故答案為：32石兀

【典例7]（2023?高三課時練習(xí)）邊長為1的正四面體內(nèi)切球的體積為（）

瓜71正D.典

~s~12216

【答案】D

【解析】將棱長為1的正四面體的）補成正方體血則該正方體的棱長為專,

設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為r,正四面體A3CD每個面的面積均為正x『=立,

44

r

由等體積法可得匕BCD=—=~（5AASC+SAACD+SAABD+SABCD）=—r9解得r=逅，

zi-O]23\/\nm>/\Ac/\f\mj/\r><,/f,312

因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為v=g兀x（系]=黑兀.

故選：D.

【題型訓(xùn)練1-刷真題】

一、單選題

1.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3g和4后，其頂點都在同

一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.128無C.144nD.192兀

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小4,再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半

徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小小所以2々=小區(qū),24=小生，即/=3,4=4,設(shè)球

sin60°sin60°

心到上下底面的距離分別為4,當，球的半徑為R,所以4=，*一9,〃2=J&-16,故|4-4|=1或

4+人=1,即|病萬一病叫=1或7F萬+VFJ=1，解得笈=25符合題意，所以球的表面積為

S=47tR2=1007t.

故選：A.

2.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。的球

面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.-B.；C.BD.—

3232

【答案】C

【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值

為2/,進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體

積最大時其高的值.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為二，

2

貝!1sAsco^-ACBDsina<-ACBD<-2r-2r=2r

（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）

即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為2r?

又設(shè)四棱錐的高為M則產(chǎn)+/=］,

當且僅當r2=2/12即6=4時等號成立.

故選:C

［方法二］：統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為。，底面所在圓的半徑為r,貝!Jr=走a,

2

所以該四棱錐的高

22A

（當且僅當卜g即"二時，等號成立）

所以該四棱錐的體積最大時，其高〃=

故選：C.

［方法三］:利用導(dǎo)