2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.5-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.5-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．若2x＝9,4y＝6，則4x－2y＝()A.eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C.eq\f(9,4) D．eq\f(4,9)2．函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為()A．4 B．3C．2 D．13．設(shè)y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，則()A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y24．已知函數(shù)f(x)＝4＋2ax－1(a>0且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(1,6) B．(1,5)C．(0,5) D．(5,0)5．函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)的圖象可能是()6．國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館．并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時(shí)間t的關(guān)系為N＝N0e－kt(N0為最初污染物數(shù)量)．如果前4小時(shí)消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要的時(shí)間為()A．3.6小時(shí) B．3.8小時(shí)C．4小時(shí) D．4.2小時(shí)7．若x滿足不等式2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2，則函數(shù)y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)8．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x，對于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命題中不正確的是()A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)C.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(fx1＋fx2,2)二、多選題9．下列函數(shù)中值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的是()A．y＝5x B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1－xC．y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1) D．y＝3|x|10．已知函數(shù)f(x)＝2－x－2x，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．f(0)＝0B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增D．對任意的實(shí)數(shù)a，方程f(x)－a＝0都有解11．已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a2－3)ax的圖象過點(diǎn)(b,2)，則函數(shù)g(x)＝a|x＋b|的圖象為()三、填空題12．已知函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，若eq\f(f1,f3)＝4，則f(－2)_________f(－3)．(用“>”“<”“＝”填空)13．函數(shù)f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2)的定義域是_________.14．函數(shù)f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]內(nèi)的最大值比最小值大eq\f(a,2)，則a的值為_________.15．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的非常數(shù)函數(shù)___________.①當(dāng)x1x2≥0時(shí)，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)為偶函數(shù)．四、解答題16．已知函數(shù)f(x)＝k·a－x(k，a為常數(shù)，a>0且a≠1)的圖象過點(diǎn)A(0,1)，B(3，8)．(1)求實(shí)數(shù)k，a的值；(2)若函數(shù)g(x)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，試判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明理由．17．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)＝a×3x＋3－x，a為常數(shù)．(1)求a的值；(2)用單調(diào)性定義證明f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)；(3)解不等式f(x－1)＋f(2x＋3)<0.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．設(shè)a，b滿足0<a<b<1，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)a<ab B．ba<bbC．a(chǎn)a<ba D．bb<ab2．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)，其中a，b均為實(shí)數(shù)．若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)，B(1,3)，則函數(shù)y＝eq\f(1,fx)的值域是()A．[0,2) B．(0,2)C．[0,1) D．(0,1)3．(多選題)關(guān)于函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的性質(zhì)，下列說法中正確的是()A．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一個(gè)實(shí)根D．函數(shù)f(x)的圖象是中心對稱圖形4．若函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,2x－a)是奇函數(shù)，則使f(x)>3成立的x的取值范圍為()A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)5．已知函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閇1，＋∞)，則a的取值范圍為_________，f(－4)與f(1)的大小關(guān)系是_________.6．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝eq\f(m－3x,3x＋n)是奇函數(shù)．(1)求m，n的值；(2)用定義法證明f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)；(3)若對于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．(C)[解析]2x＝9,22y＝6，則4x－2y＝22(x－2y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,22y)))2＝eq\f(9,4).2．(B)[解析]由指數(shù)函數(shù)的定義知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3，故選B.3．(D)[解析]y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在定義域內(nèi)為增函數(shù)，∴y1>y3>y2.4．(A)[解析]當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝6，與a無關(guān)，所以函數(shù)f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過點(diǎn)P(1,6)．故選A.5．(D)[解析]方法一：當(dāng)a>1時(shí)，0<eq\f(1,a)<1，將y＝ax的圖象向下平移eq\f(1,a)個(gè)單位長度得f(x)＝ax－eq\f(1,a)的圖象，A、B都不符合；當(dāng)0<a<1時(shí)，eq\f(1,a)>1，將y＝ax的圖象向下平移eq\f(1,a)個(gè)單位長度得f(x)＝ax－eq\f(1,a)的圖象，D符合，故選D.方法二：函數(shù)f(x)的圖象恒過點(diǎn)(－1,0)，只有選項(xiàng)D中的圖象符合．6．(C)[解析]由題意可得N0e－4k＝eq\f(4,5)N0，可得e－4k＝eq\f(4,5)，設(shè)N0e－kt＝0.64N0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2N0，可得e－kt＝(e－4k)2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64%還需要4小時(shí)，故選C.7．(B)[解析]將2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2化為x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1]，所以2－3≤2x≤21，所以函數(shù)y＝2x的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).8．(B)[解析]2x1·2x2＝2x1＋x2，所以A成立，2x1＋2x2≠2x1x2，所以B不成立，函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)，若x1>x2，則f(x1)>f(x2)，則eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若x1<x2，則f(x1)<f(x2)，則eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，故C正確．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(fx1＋fx2,2)說明函數(shù)是凹函數(shù)，可知f(x)＝2x的圖象滿足條件，故D正確．故選B.二、多選題9．(AB)[解析]A項(xiàng)中y>0，B項(xiàng)中y>0，C項(xiàng)中y≥0，D項(xiàng)中y≥1，只有AB項(xiàng)正確．故選AB.10．(ABD)[解析]f(x)＝2－x－2x，則f(0)＝eq\f(1,20)－20＝0，故A正確；f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，故B正確；f(x)＝eq\f(1,2x)－2x在R上是減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→＋∞；當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，即f(x)的值域是(－∞，＋∞)，它又是R上的減函數(shù)，因此對任意實(shí)數(shù)a，f(x)＝a都有解，故D正確．11．(A)[解析]由f(x)＝(a2－3)ax為指數(shù)函數(shù)，得a2－3＝1，又a>0且a≠1，所以a＝2，所以f(x)＝2x，則f(b)＝2b＝2，解得b＝1.此時(shí)g(x)＝2|x＋1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥－1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1，x<－1，))函數(shù)g(x)的圖象可以看作由函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x<0，))的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到．結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象及選項(xiàng)可知A正確．三、填空題12．[解析]利用待定系數(shù)法求出函數(shù)f(x)的解析式，再利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性即可比較大?。O(shè)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，∵eq\f(f1,f3)＝4，∴eq\f(a,a3)＝4，解得a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，在R上單調(diào)遞減，∵－2>－3，∴f(－2)<f(－3)．13．[解析]若使函數(shù)f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2)的解析式有意義，自變量x須滿足：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2≥0，解得x∈(－∞，－1]，故函數(shù)f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2)的定義域?yàn)?－∞，－1]．14．[解析]因?yàn)?<a<1，所以函數(shù)f(x)＝ax在[1,2]內(nèi)是減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]內(nèi)的最大值比最小值大eq\f(a,2)，所以f(1)－f(2)＝a－a2＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(1,2)，或a＝0(舍)．15．[解析]若滿足①對任意的x1x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，則對應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的形式；若滿足②f(x)為偶函數(shù)，只需要將x加絕對值即可，所以滿足①②兩個(gè)條件的函數(shù)滿足f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)即可．四、解答題16．[解析](1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k·a0＝1，,k·a－3＝8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,a＝\f(1,2).))(2)g(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，因此g(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(2－x－12x,2－x＋12x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－g(x)，所以g(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)為奇函數(shù)．17．[解析](1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1.(2)f(x)＝－3x＋3－x，設(shè)x1>x2≥0，則f(x1)－f(x2)＝3x2－3x1＋3－x1－3－x2，∵x1>x2≥0，∴－x1<－x2，∴3x2<3x1，3－x1<3－x2，即3x2－3x1<0,3－x1－3－x2<0∴f(x1)－f(x2)＝3x2－3x1＋3－x1－3－x2<0，∴f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)．(3)∵f(x)是奇函數(shù)且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)在R上是減函數(shù)．∵f(x－1)＋f(2x＋3)<0.∴f(2x＋3)<－f(x－1)＝f(1－x)，∴2x＋3>1－x，解得x>－eq\f(2,3).INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．(C)[解析]指數(shù)函數(shù)y＝ax(0<a<1)為減函數(shù)，因?yàn)閍<b所以aa>ab，A錯(cuò)誤；指數(shù)函數(shù)y＝bx(0<b<1)為減函數(shù)，因?yàn)閍<b，所以ba>bb，B錯(cuò)誤；冪函數(shù)y＝xa(0<a<1)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又a<b，所以aa<ba，C正確；由冪函數(shù)y＝xb(0<b<1)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又a<b，所以bb>ab，D錯(cuò)誤．2．(D)[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)，B(1，3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝2，,a＋b＝3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))∴函數(shù)f(x)＝2x＋1>1，函數(shù)y＝eq\f(1,fx)＝eq\f(1,2x＋1)<1.又eq\f(1,fx)＝eq\f(1,2x＋1)>0，故函數(shù)y＝eq\f(1,fx)的值域?yàn)?0,1)．3．(ACD)[解析]函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的定義域?yàn)镽，所以A正確；因?yàn)閥＝4x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋2)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以方程f(x)＝x只有一個(gè)實(shí)根，所以B不正確，C正確；因?yàn)閒(x＋1)＋f(－x)＝eq\f(1,4x＋1＋2)＋eq\f(1,4－x＋2)＝eq\f(1,4·4x＋2)＋eq\f(4x,2·4x＋1)＝eq\f(1,2)，所以f(x)關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))對稱，所以D正確．4．為(C)[解析]∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(2－x＋1,2－x－a)＝－eq\f(2x＋1,2x－a)，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a＝1，∴f(x)>3，即為eq\f(2x＋1,2x－1)>3，當(dāng)x>0時(shí)，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0<x<1；當(dāng)x<0時(shí)，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，無解．∴x的取值范圍為(0,1)．5．[解析]因?yàn)閨x＋1|≥0，函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閇1，＋∞)，所以a>1.由于函數(shù)f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，則函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是減函