2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.1-任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)-專項訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.1-任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)-專項訓(xùn)練模擬練習(xí)【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α2．2022年北京冬奧會開幕式倒計時環(huán)節(jié)把二十四節(jié)氣與古詩詞、古諺語融為一體，巧妙地呼應(yīng)了今年是第二十四屆冬奧會，更是把中國傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代美學(xué)完美地結(jié)合起來，彰顯了中華五千年的文化自信．地球繞太陽的軌道稱為黃道，而二十四節(jié)氣正是按照太陽在黃道上的位置來劃分的，當太陽垂直照射赤道時定為“黃經(jīng)零度”，即春分點，從這里出發(fā)，每前進15度就為一個節(jié)氣，從春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏等等．待運行一周后就又回到春分點，此為一回歸年，共360度，因此分為24個節(jié)氣，則今年高考前一天芒種為黃經(jīng)()A．60度 B．75度C．270度 D．285度3．已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知扇形的周長為100cm，則該扇形的面積S的最大值為()A．100cm2 B．625cm2C．1250cm2 D．2500cm25．已知角α的終邊經(jīng)過點(m，－2m)，其中m≠0，則sinα＋cosα＝()A．－eq\f(\r(5),5) B．±eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(3,5) D．±eq\f(3,5)6．設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角7．已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()A．eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(11π,6) D．eq\f(5π,3)8.達·芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名，畫中女子神秘的微笑數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷，某愛好者對《蒙娜麗莎》的同比例影像作品進行了測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角A，B處作圓弧所在圓的切線，兩條切線交于點C，測得AB＝12.6cm，∠ACB＝eq\f(2π,3)，則《蒙娜麗莎》中女子嘴唇的長度約為(單位：cm)()A．12.6 B．4πC．4.2π D．4.3π二、多選題9．下列各式中結(jié)果為正值的是()A．sin1125° B．taneq\f(37,12)π·sineq\f(37,12)πC．eq\f(sin5,tan5) D．sin|－1|10．若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線x＋y＝0上，則角α的取值集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,4)，或α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))11．在平面直角坐標系xOy中，角α以x的非負半軸為始邊，且終邊經(jīng)過點P(－1，m)(m>0)，則下列各式的值一定為負的是()A．sinα＋cosα B．sinα－cosαC．sinαcosα D．eq\f(sinα,tanα)三、填空題12．2025°角是第象限角，與2025°角終邊相同的最小正角是，最大負角是.13．已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為.14．如圖所示，角的終邊與單位圓交于第二象限的點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα，\f(3,5)))，則cosα－sinα＝.15.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式；弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中，“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑等于4m的弧田，則矢是m，所得弧田面積是m2.16．函數(shù)y＝eq\r(2sinx－1)的定義域為.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．(多選題)下列結(jié)論中正確的是()A．若角α的終邊過點P(3k,4k)(k≠0)，則sinα＝eq\f(4,5)B．若α是第一象限角，則eq\f(α,2)為第一或第三象限角C．若扇形的周長為6，半徑為2，則其圓心角的大小為1弧度D．若0<α<eq\f(π,2)，則sinα<tanα2．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))，那么()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?3．(多選題)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(tanx,|tanx|)的值可能為()A．1 B．－1C．3 D．－34．月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是△ABC的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若∠ACB＝eq\f(2π,3)，南北距離AB的長大約60eq\r(3)m，則該月牙泉的面積約為m2(精確到整數(shù)位)(參考數(shù)據(jù)：π≈3.14，eq\r(3)≈1.73)5．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意義．(1)試判斷角α所在的象限；(2)若角α的終邊上一點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，且OM＝1(O為坐標原點)，求m及sinα的值． 參考答案 【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．(C)[解析]由題意逐一考查所給選項即可求得最終結(jié)果．若α是第一象限角，則：90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限，故選C．2．(B)[解析]春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，所以芒種為黃經(jīng)15×5＝75度．故選B．3．(B)[解析]由題意知tanα<0，cosα<0，根據(jù)三角函數(shù)值的符號規(guī)律可知，角α的終邊在第二象限．故選B．4．(B)[解析]由扇形的周長和面積公式都和半徑和弧長有關(guān)，可設(shè)出半徑和弧長，表示出周長和面積公式，利用配方法即可求解，也可以應(yīng)用均值定理求解．方法一：設(shè)扇形半徑為r，弧長為l，則周長為2r＋l＝100，面積為S＝eq\f(1,2)lr，因為S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(100－2r)r＝－r2＋50r＝－(r－25)2＋625，所以當r＝25時，Smax＝625；方法二(應(yīng)用均值定理)：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(100－2r)r＝(50－r)r≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50－r＋r,2)))2＝625，當且僅當50－r＝r，即r＝25時等號成立，故選B．5．(B)[解析]∵角α的終邊經(jīng)過點(m，－2m)，其中m≠0，∴當m>0時，sinα＝eq\f(－2m,\r(5)m)＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(m,\r(5)m)＝eq\f(1,\r(5))，∴sinα＋cosα＝－eq\f(\r(5),5).當m<0時，sinα＝eq\f(－2m,－\r(5)m)＝eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(m,－\r(5)m)＝－eq\f(1,\r(5))，∴sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＋cosα＝±eq\f(\r(5),5)，故選B．6．(B)[解析]∵θ為第三象限角，∴eq\f(θ,2)為第二或第四象限角．又∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)<0，∴eq\f(θ,2)是第二象限角．7．(C)[解析]因為點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，所以θ＝eq\f(11π,6).8.(C)[解析]畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，如圖，設(shè)圓心為O，依題意，OA⊥AC，OB⊥BC，O，A，C，B四點共圓，∵∠ACB＝eq\f(2π,3)，∴∠AOB＝eq\f(π,3).∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴OA＝AB＝12.6cm.∴《蒙娜麗莎》中女子嘴唇的長度約為OA×eq\f(π,3)＝4.2π(cm)．故選C．二、多選題9．(ACD)[解析]確定一個角的某一三角函數(shù)值的符號關(guān)鍵要看角在哪個象限，確定一個式子的符號，則需觀察構(gòu)成該式的結(jié)構(gòu)特點及每部分的符號．對于A，因為1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°>0；對于B，因為eq\f(37,12)π＝2π＋eq\f(13,12)π，則eq\f(37,12)π是第三象限角，所以taneq\f(37,12)π>0，sineq\f(37,12)π<0，故taneq\f(37,12)π·sineq\f(37,12)π<0；對于C，因為5弧度的角在第四象限，所以sin5<0，tan5<0，故eq\f(sin5,tan5)>0；對于D，因為eq\f(π,4)<1<eq\f(π,2)，所以sin|－1|>0.10．(AD)[解析]因為直線x＋y＝0的傾斜角是eq\f(3π,4)，所以終邊落在直線x＋y＝0上的角的取值集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,4)))))或α＝2kπ＋eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，k∈Z))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).故選AD．11．(CD)[解析]由已知得r＝|OP|＝eq\r(m2＋1)，則sinα＝eq\f(m,\r(m2＋1))>0，cosα＝－eq\f(1,\r(m2＋1))<0，tanα＝－m<0，則sinα＋cosα的符號不確定，sinα－cosα>0，sinαcosα<0，eq\f(sinα,tanα)＝cosα<0.故選CD．三、填空題12．[解析]因為2025°＝6×360°－135°，所以2025°角的終邊與－135°角的終邊相同．所以2025°角是第三象限角，與2025°角終邊相同的最大負角是－135°.又－135°＋360°＝225°，故與2025°終邊相同的最小正角是225°.13．[解析]∵在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，∴所求角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)))<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)).14．[解析]由題意得cos2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝1，cos2α＝eq\f(16,25).又cosα<0，所以cosα＝－eq\f(4,5)，又sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα－sinα＝－eq\f(7,5).15.[解析]根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用直角三角形的邊角關(guān)系求出矢和弦的值，代入公式計算求值即可．如圖所示，由題意可得：∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2，可得：矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，可得：弦＝2AD＝4eq\r(3)，所以：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2.16．[解析]∵2sinx－1≥0，∴sinx≥eq\f(1,2).由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分)．∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．(BCD)[解析]當k＝－1時，P(－3，－4)，則sinα＝－eq\f(4,5)，故A錯誤；∵2kπ<α<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴kπ<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，∴eq\f(α,2)為第一或第三象限角，故B正確；|α|＝eq\f(l,r)＝eq\f(6－4,2)＝1，故C正確；∵0<α<eq\f(π,2)，∴sinα<tanα?sinα<eq\f(sinα,cosα)?cosα<1，故D正確．2．(B)[解析]由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N.3．(BC)[解析]由sinx≠0，cosx≠0，知x終邊不在坐標軸上，若x為第一象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝3.若x為第二象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(tanx,－t