2025中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-一線三等角-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-一線三等角-專項(xiàng)訓(xùn)練一．選擇題（共7小題）1．如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則正方形ABCD的面積為（）A．4 B．5 C．9 D．2．如圖，直線l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于點(diǎn)D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，這樣AD：CD＝1：3，則的值為（）A． B． C． D．3．直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．

4．如圖，D是等邊△ABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD＝1，BD＝2，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕EF，點(diǎn)E、F分別在AC和BC上，若BF＝1.25，則AE＝（）A． B． C． D．5．如圖，矩形ABCD中，由8個(gè)面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖放置，則矩形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．12 B．10 C．8 D．8+46．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF的最小值是（）A．5 B． C． D．37．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在∠C內(nèi)部，且△ADE是等邊三角形，∠CBE＝60°．若BC＝5，BE＝3，則△ABD的面積為（）A． B． C． D．二．填空題（共4小題）8．如圖，已知在四邊形ABED中，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，且∠A＝∠B＝∠DCE，BE＝2，AD＝8，那么AC＝．9．如圖，等邊三角形ABC中，放置等邊三角形DEF，且點(diǎn)D，E分別落在AB，BC上，AD＝5，連結(jié)CF，若CF平分∠ACB，則BE的長(zhǎng)度為．10．已知，如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC上一點(diǎn)，CE⊥AD于E，若CE＝2，則S△BEC＝．11．如圖，點(diǎn)M、N是邊長(zhǎng)為6的正△ABC的邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN折疊，恰好使A點(diǎn)落在BC邊上的D點(diǎn)處．若BD：CD＝2：3，則AM：AN的值為．

三．解答題（共8小題）12．如圖①，點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF．應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝2BD，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面積為15，求△ABE與△CDF的面積之和．13．如圖，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別落在x軸、y軸上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，CE垂直y軸于點(diǎn)E．（1）求證：△CDE∽△DAO；（2）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)．

14．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于A（﹣9，0），B（0，6）兩點(diǎn)，過點(diǎn)C（2，0）作直線l與BC垂直，點(diǎn)E在直線l位于x軸上方的部分．（1）求一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的表達(dá)式；（2）若△ACE的面積為11，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)∠CBE＝∠ABO時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．15．如圖，等邊三角形△ACB的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P為BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為AC上的一點(diǎn)，連接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求證：①△ABP∽△PCD；②AP2＝AD?AC；（2）若PC＝2，求CD和AP的長(zhǎng)．

16．如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP＝AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ．17．如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）寫出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；（2）連接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FC和FG的長(zhǎng)．

18．感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠APD＝90°時(shí)，可知△ABP∽△PCD．（不要求證明）探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠B＝∠C＝∠APD時(shí)，求證：△ABP∽△PCD．拓展：如圖③，在△ABC中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，BD＝4，則DE的長(zhǎng)為．

19．【模型建立】如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥ED于點(diǎn)E，易證明△BEC≌△CDA（無需證明），我們將這個(gè)模型稱為“K形圖”．接下來我們就利用這個(gè)模型來解決一些問題：【模型運(yùn)用】（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB與y軸交點(diǎn)D，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），求B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l函數(shù)關(guān)系式為：y＝4x+4，它交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)C，在x軸上是否存在點(diǎn)B，使直線AB與直線l的夾角為45°？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【模型拓展】（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，CD＝2，分別連接BD，AE交于F點(diǎn)．若∠BFE＝45°，請(qǐng)直接寫出CE的長(zhǎng)．

參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．【解答】解：作EF⊥l2，交l1于E點(diǎn)，交l4于F點(diǎn)．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED＝∠DFC＝90°．∵ABCD為正方形，∴∠ADC＝90°．∴∠ADE+∠CDF＝90°．又∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠CDF＝∠DAE．在△ADE和△DCF中∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF＝DE＝1．∵DF＝2，∴CD2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面積為5．故選：B．2．【解答】解：如圖，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵直線l1∥l2∥l3，AD：CD＝1：3，∴AG：EG＝1：3，設(shè)AG＝1，EG＝3，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF，CF＝AE，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴AG＝1，BG＝EF＝CF+CE＝7∴AB＝＝5，∵l2∥l3，∴＝∴DG＝CE＝，∴BD＝BG﹣DG＝7﹣＝，∴＝．故選：A．3．【解答】解：分別過點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，在△BCE與△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（ASA）∴CF＝BE，CE＝AF，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，在Rt△ACF中，∵AF＝4，CF＝3，∴AC＝＝＝5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴＝，＝，解得CD＝，在Rt△BCD中，∵CD＝，BC＝5，∴BD＝＝＝．故選：A．4．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°．由翻折的性質(zhì)可知：∠EDF＝60°．∴∠FDB+∠EDA＝120°．∵∠EDA+∠AED＝120°，∴∠AED＝∠FDB．∴△AED∽△BDF．∴，即＝，解得：AE＝．故選：C．5．【解答】解：∵小正方形的面積為1，∴小正方形的邊長(zhǎng)也為1設(shè)BE＝x，CE＝y(tǒng)，∵∠AEB+∠CEF＝90°，而∠EFC+∠CEF＝90°∴∠AEB＝∠EFC又∵∠B＝∠C＝90°，AE＝EF＝4∴△ABE≌ECF（AAS）∴AB＝EC＝y(tǒng)，BE＝CF＝x∴由勾股定理可得x2+y2＝42而同理可得∠EFC＝∠FGD，且∠C＝∠D＝90°∴△ECF∽△FDG∴∴FD＝EC＝，∵AB＝CD∴y＝x+y∴y＝2x，將其代入x2+y2＝42中于是可得x＝，y＝而矩形ABCD的周長(zhǎng)＝2（x+y）+2y＝5y＝5×＝8故選：C．6．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，設(shè)BE＝x，則EC＝BC﹣BE＝4﹣x，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝180°﹣∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴＝，∴CF＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，∴當(dāng)x＝2時(shí)，CF最大＝1，此時(shí)DF最?。紻C﹣CF＝3，在Rt△ADF中，AF＝＝，∴當(dāng)DF最?。?時(shí)，AF取最小值，∴AF最?。剑?，∴AF的最小值是5，故選：A．7．【解答】解：如圖，在BC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使∠AFD＝60°，∵△ADE是等邊三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∵∠ADB＝∠AFD+∠DAF＝∠ADE+∠EDB，∴∠DAF＝∠EDB，又∠CBE＝60°，∴∠AFD＝∠DBE＝60°，∴△AFD≌△DBE（AAS），∴FD＝BE＝3，AF＝BD，設(shè)CF＝x，則CD＝3﹣x，BD＝5﹣（3﹣x）＝x+2，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴AF＝2CF＝2x，∴2x＝x+2，∴x＝2，∴CF＝2，∴AC＝2，AF＝BD＝4∴S＝4，故選：C．二．填空題（共4小題）8．【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠DCE，∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD，∠BCE＝180°﹣∠DCE﹣∠ACD，∴∠ADC＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC，∴AC2＝AD?BE＝16，∴AC＝4，故答案為：4．9．【解答】解：如圖，在BC上截取EG＝BD，連接FG，∵△ABC和△DEF是等邊三角形，∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°，∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG，∴∠BDE＝∠FEG，在△BED和△GFE中，，∴△BED≌△GFE（SAS），∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG，∵FC平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF＝30°，∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG，∴∠GFC＝∠GCF＝30°，∴FG＝CG＝BE，∵AB＝BC，BD＝EG，∴AD＝BE+CG＝2BE＝5，∴BE＝2.5．故答案為：2.5．10．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCH＝90°，∵BH⊥CE，∴∠BHC＝90°，∴∠HBC+∠BCH＝90°，∴∠HBC＝∠ACE，在△BHC與△CEA中，，∴△BHC≌△CEA（AAS），∴BH＝CE＝2，．故答案為：2．11．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，由翻折可知：∠MDN＝∠A＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝120°，在△BDM中，∠MDB+∠BMD＝120°，∴∠BMD＝∠NDC，∴△BDM∽△CND，∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，BD：CD＝2：3，∴BD＝2.4，CD＝3.6，∵△BDM∽△CND，∴BM：CD＝BD：CN＝DM：DN，∵AM＝MD，AN＝ND，BM＝6﹣AM，CN＝6﹣AN，∴（6﹣AM）：3.6＝2.4：（6﹣AN）＝AM：AN，∴3.6AM＝6AN﹣AN?AM①，2.4AN＝6AM﹣AM?AN②，①﹣②得，3.6AM﹣2.4AN＝6AN﹣6AM，即9.6AM＝8.4AN，∴AM：AN＝（8.4）：（9.6）＝7：8．故答案為：．三．解答題（共8小題）12．【解答】證明：（1）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）∴S△ABE＝S△CAF，∵CD＝2BD，△ABC的面積為15，∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF．13．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB，∠ADC＝90°，∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠ADO，∴△CDE∽△ADO．（2）解：∵△CDE∽△DAO，∴＝＝，∵OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，∴OA＝3，CD：AD＝，∴CE＝OD＝2，DE＝OA＝1，∴OE＝7，∴C（2，7），利用平移的性質(zhì)可得B（5，1）．14．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于A（﹣9，0），B（0，6）兩點(diǎn)，∴，∴，∴一次函數(shù)y＝kx+b的表達(dá)式為y＝x+6；（2）如圖，設(shè)點(diǎn)E到x軸的距離為h，∵A（﹣9，0），C（2，0），∴S△ACE＝AC?h＝×11h＝11，∴h＝2，即點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2，記直線l與y軸的交點(diǎn)為D，∵BC⊥l，∴∠BCD＝90°＝∠BOC，∴∠OBC+∠OCB＝∠OCD+∠OCB，∴∠OBC＝∠OCD，∵∠BOC＝∠COD，∴△OBC∽△OCD，∴，∵B（0，6），C（2，0），∴OB＝6，OC＝2，∴，∴OD＝，∴D（0，﹣），∵C（2，0），∴直線l的解析式為y＝x﹣，當(dāng)y＝2時(shí)，x﹣＝2，∴x＝8，∴E（8，2）；（3）如圖，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，連接BE，∵∠ABO＝∠CBE，∠AOB＝∠BCE＝90°∴△ABO∽△EBC，∴，∵∠BCE＝90°＝∠BOC，∴∠BCO+∠CBO＝∠BCO+∠ECF，∴∠CBO＝∠ECF，∵∠BOC＝∠EFC＝90°，∴△BOC∽△CFE，∴，∴，∴CF＝9，EF＝3，∴OF＝11，∴E（11，3）．故答案為（11，3）．15．【解答】（1）證明：①在等邊三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°，∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B，∴∠DPC＝∠PAB，∴△ABP∽△PCD；②∵∠PAC＝∠DAP，∠C＝∠APD＝60°，∴△ADP∽△APC，∴，∴AP2＝AD?AC；（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3，∴，∴CD＝＝，∴AD＝3﹣＝，∵等邊三角形△ACB的邊長(zhǎng)為3，PC＝2，AP2＝AD?AC，∴AB＝3，BP＝1，∴AP＝，∴CD＝．16．【解答】證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC．∵AP＝AQ，∴BP＝CQ．∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE．在△BPE和△CQE中，，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）∵∠BEF＝∠C+∠CQE，∠BEF＝∠BEP+∠DEF，且∠C＝∠DEF＝45°，∴∠CQE＝∠BEP，∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ，17．【解答】解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，∵∠AMD＝∠B+∠D，∠BGM＝∠DMG+∠D又∠B＝∠A＝∠DME＝α∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM，（2）連接FG，由（1）知，△AMF∽△BGM，∴，∵M(jìn)是線段AB中點(diǎn)，∴AB＝4，AM＝BM＝2，∵BG＝，∠α＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC＝4，CF＝AC﹣AF＝1，∴CG＝4﹣，∴由勾股定理得FG＝．18．【解答】解：感知：∵∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△PCD．探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．∵∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠CPD．∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD，拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，∴，∵點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，∴BP＝CP＝3，∵BD＝4，∴，∴CE＝，∵∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，即AC⊥AB且AC＝AB＝6，∴AE＝AC﹣CE＝6﹣＝，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝＝．故答案為：．19．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），∴OC＝2，OA＝4，∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，又∵BE⊥y軸，y軸⊥x軸，∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACO＝∠CBE，在△CEB和△AOC中，，∴△CEB≌△AOC（AAS），∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2，∴B（﹣2，2），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），∵A（4，0），B（﹣2，2），∴，∴，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+，∵AB與y軸交點(diǎn)D，∴D（0，）；（2）存在符合條件的點(diǎn)B．理由如下：①點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥AC，交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∵∠BAC＝45°，∠ACD＝90°，∴CA＝CD，∵∠DEC＝∠ACD＝∠ACO＝90°，∴∠BCD+∠ACO＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，∴∠ACO＝∠CDE，∴△CED≌△AOC（AAS），∴DE＝OC＝1，C