2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第十章　第二節(jié)　用樣本的數(shù)字特征估計總體

第二節(jié)用樣本的數(shù)字特征估計總體1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.2.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.3.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律.4.結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.1.總體百分位數(shù)的估計（1）百分位數(shù)定義意義百分位數(shù)一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100－p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值反映該組數(shù)中小于或等于該百分位數(shù)的分布特點（2）求一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步：計算i＝；第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i＋1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).2.總體集中趨勢的估計（1）平均數(shù)：①若一組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x＝；②加權(quán)平均數(shù)：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個.不妨記為y1，y2，…，yk，其中yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi（i＝1，2，…，k），則加權(quán)平均數(shù)為y＝1N∑i=1k③分層隨機抽樣的平均數(shù)：若一組數(shù)據(jù)是由分層隨機抽樣所得到的，其中第一層抽取m個，即x1，x2，…，xm，平均數(shù)為x，第二層抽取n個，即y1，y2，…，yn，平均數(shù)為y，則x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均數(shù)w＝.（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).提醒（1）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受少數(shù)極端值影響；（2）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，一組數(shù)據(jù)可能有n個眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)；（3）與中位數(shù)、眾數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)的更多信息，對樣本數(shù)據(jù)中的少數(shù)極端值更加敏感.3.總體離散程度的估計（1）假設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為x，則：①標(biāo)準(zhǔn)差s＝1n②方差s2＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]（2）分層隨機抽樣的方差分層隨機抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數(shù)為w，樣本方差為s2，其中第一層抽取m個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，方差為s12，第二層抽取n個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為y，方差為s22，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝1m＋n{m[s12＋（x－w）2]＋n[s1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.（）（2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.（）（3）如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.（）2.為了弘揚體育精神，某校組織秋季運動會，在一項比賽中，學(xué)生甲進行了8組投籃，得分分別為10，8，a，8，7，9，6，8，如果學(xué)生甲的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A.8 B.9C.8.5 D.9.53.某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果30名男生的平均成績?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績?yōu)榉?4.甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，根據(jù)每人每次命中的環(huán)數(shù)計算得x甲＝x乙＝7.1，s甲2＝3.09，s1.頻率分布直方圖中的常見結(jié)論（1）眾數(shù)的估計值為最高矩形底邊的中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)；（2）平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和；（3）中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.2.平均數(shù)、方差的公式推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，方差為s2，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是mx＋a，方差為m2s2.1.（多選）如圖是某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，則下列說法正確的是（）A.圖中的x的值為0.018B.該班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)是75C.該班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是72D.該班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)是752.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是4，若將這組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上20，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是.總體百分位數(shù)的估計【例1】（1）一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，第86百分位數(shù)為；（2）將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績（成績均為整數(shù)）整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）聽課記錄解題技法1.總體百分位數(shù)的估計需要注意的兩個問題（1）總體百分位數(shù)估計的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計算，因此計算準(zhǔn)確是關(guān)鍵；（2）由于樣本量比較少，因此對總體的估計可能存在誤差，因此對總體百分位數(shù)的估計一般是估計值而非精確值.2.由頻率分布直方圖求第p百分位數(shù)的方法確定要求的p%分位數(shù)所在分組[A，B），由頻率分布表或頻率分布直方圖可知，樣本中小于A的頻率為a，小于B的頻率為b，所以p%分位數(shù)＝A＋組距×p%1.如圖所示的是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫（單位：℃）的情況繪制的折線統(tǒng)計圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是（）A.－2 B.0C.1 D.22.已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是（）A.這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)總體集中趨勢的估計【例2】（1）某射擊運動員進行打靶練習(xí)，已知打十槍每發(fā)的環(huán)數(shù)分別為9，10，7，8，10，10，6，8，9，7，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有（）A.a＞b＞c B.c＞a＞bC.b＞c＞a D.c＞b＞a（2）（多選）某城市在創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分（分數(shù)為整數(shù)，滿分100分），從中隨機抽取一個容量為100的樣本，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在[40，100]內(nèi).現(xiàn)將這些分數(shù)分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示.觀察圖形，則下列說法正確的是（）A.頻率分布直方圖中第三組的頻數(shù)為10 B.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)為75分C.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)為75分 D.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)為75分聽課記錄解題技法求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法（1）眾數(shù)：由定義知，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即為眾數(shù)，若有兩個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)；（2）中位數(shù)：若一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)個，按照從小到大（或從大到小）的順序排列，位于中間位置的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若一組數(shù)據(jù)為偶數(shù)個，按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校挥谥虚g位置的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均數(shù)：利用x＝1n∑i=11.某射擊小組有20人，教練將他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪制成如下表格，則這組數(shù)據(jù)的極差、眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）環(huán)數(shù)5678910人數(shù)127631A.6，7，7 B.6，8，7.5C.5，7，7.5 D.5，8，62.將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2.若用分層隨機抽樣的方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取個個體；若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15，30，20，則樣本的平均數(shù)為.總體離散程度的估計考向1方差與標(biāo)準(zhǔn)差【例3】（2023·全國乙卷17題）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi（i＝1，2，…，10），試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345伸縮率xi545533551522575伸縮率yi536527543530560試驗序號i678910伸縮率xi544541568596548伸縮率yi533522550576536記zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2.（1）求z，s2；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果z≥2s210，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，解題技法標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.考向2分層隨機抽樣的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【例4】某學(xué)校統(tǒng)計教師職稱及年齡，中級職稱教師的人數(shù)為50，其平均年齡為38歲，方差是2，高級職稱的教師中有3人58歲，5人40歲，2人38歲，則該校中級職稱和高級職稱教師年齡的平均數(shù)為，方差為.聽課記錄解題技法計算分層隨機抽樣的方差的步驟（1）確定x，y，s12，（2）確定w；（3）應(yīng)用公式s2＝mm＋n[s12＋（x－w）2]＋nm＋n[s22＋（1.（2024·蘇州模擬）樣本中共有五個個體，其值分別為0，1，2，3，m.若該樣本的平均數(shù)為1，則其方差為（）A.105 B.C.2 D.22.在高一入學(xué)時，某班班委統(tǒng)計了本班所有同學(xué)中考的體育成績，并計