數(shù)學(xué)章末測(cè)試：第二章推理與證明A

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章測(cè)評(píng)A(基礎(chǔ)過(guò)關(guān)卷)（時(shí)間：90分鐘滿分：100分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分,共50分）1．下面說(shuō)法正確的有（）①演繹推理是由一般到特殊的推理;②演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的；③演繹推理的一般模式是“三段論"形式;④演繹推理得到的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關(guān)．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．觀察圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為（）A．■B．△C．□D．○3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)角不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（)A．三角形的三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B．三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于60°C．三角形的三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．三角形的三個(gè)內(nèi)角至少有兩個(gè)大于60°4．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)"，可類比猜想出正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)側(cè)面(）A．各正三角形內(nèi)任一點(diǎn)B．各正三角形的某高線上的點(diǎn)C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某點(diǎn)5．有一段演繹推理是這樣的:“若直線平行于平面,則該直線平行于平面內(nèi)的所有直線；已知直線b平面α，a平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”，這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A．大前提錯(cuò)誤B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤D．非以上錯(cuò)誤6．設(shè)f0(x)＝sinx，f1（x）＝f′0(x）,f2（x)＝f′1(x),…,fn＋1(x）＝f′n(x），n∈N＊,則f2015（x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx7．按照如圖所示的三種化合物的結(jié)構(gòu)式及分子式的規(guī)律，寫出后一種化合物的分子式是(）CH4C2H6C3H8A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H128．設(shè)a，b為兩條不同的直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（)A．若a,b與α所成的角相等，則a∥bB．若a∥α,b∥β，α∥β，則a∥bC．若aα，bβ，a∥b，則α∥βD．若a⊥α,b⊥β，α⊥β,則a⊥b9．若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m（x∈R)有兩個(gè)零點(diǎn),并且不等式f（1－x)≥－1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(0，1)B．[0，1)C．（0，1］D．[0，1]10．已知x＞0，不等式x＋eq\f（1，x)≥2，x＋eq\f(4，x2)≥3,x＋eq\f(27,x3)≥4,…，可推廣為x＋eq\f（a,xn)≥n＋1，則a的值為（)A．n2B．nnC．2nD．22n－2二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．觀察數(shù)列eq\r(3）,3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r（3），…，寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為__________．12．如圖所示，4個(gè)小動(dòng)物換座位，開始時(shí)鼠、猴、兔、貓分別坐1，2，3，4號(hào)座位，如果第1次前后排動(dòng)物互換座位，第2次左右列動(dòng)物互換座位，第3次前后排動(dòng)物互換座位，…，這樣交替進(jìn)行下去，那么第2014次互換座位后，小兔坐在________號(hào)座位上．13．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x，a,b，c∈R，且a＋b＞0，b＋c＞0,c＋a＞0，則f(a)＋f（b）＋f(c)的值一定比零__________(填“大”或“小”）．14．觀察：eq\r(7）＋eq\r(15）＜2eq\r(11);eq\r（5.5）＋eq\r（16。5）＜2eq\r（11);eq\r（3－\r（3))＋eq\r（19＋\r（3))＜2eq\r（11）；….對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b,試寫出使eq\r(a)＋eq\r（b）≤2eq\r(11）成立的一個(gè)條件可以是________．15．觀察下圖：eq\a\vs4\al（1,234,34567,45678910,…)則第__________行的各數(shù)之和等于20152。三、解答題(本大題共4小題，共25分)16．（6分)已知數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f（1,n＋12)(n∈N*），f（n）＝(1－a1）(1－a2）…（1－an)，試通過(guò)計(jì)算f（1)，f（2)，f(3）的值,推測(cè)出f(n)的值．17．(6分)已知實(shí)數(shù)x，且有a＝x2＋eq\f(1,2），b＝2－x，c＝x2－x＋1，求證a，b，c中至少有一個(gè)不小于1。18．(6分)通過(guò)計(jì)算可得下列等式：22－12＝2×1＋1；32－22＝2×2＋1;42－32＝2×3＋1；…（n＋1）2－n2＝2n＋1。將以上各式兩邊分別相加，得（n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n）＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2）.類比上述方法,請(qǐng)你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．19．（7分)求證：eq\r（1·2）＋eq\r(2·3)＋…＋eq\r(n·n＋1)＜eq\f（n＋12,2).

參考答案一、1．解析：演繹推理只有大前提、小前提和推理形式都正確才能保證結(jié)論正確,故②錯(cuò)誤，其他說(shuō)法都正確．故選C.答案：C2．A3．解析：“至少有一個(gè)不大于"的否定為“都大于”．答案：B4．解析：正三角形的邊對(duì)應(yīng)正四面體的面,即正三角形所在的正四面體的側(cè)面,所以邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是正四面體各正三角形的中心．答案：C5．解析：“若直線平行于平面，則該直線平行于平面內(nèi)的所有直線”是錯(cuò)誤的，即大前提是錯(cuò)誤的．故選A。答案：A6．解析：由題意可知，函數(shù)fn(x)的表達(dá)式呈周期性變化,周期為4，而2015＝4×503＋3，則f2015(x）＝f3(x）＝－cosx，故選D.答案：D7．解析：由規(guī)律不難看出每增加1個(gè)C原子,相應(yīng)地增加2個(gè)H原子，因此后一種化合物的分子式為C4H10.答案：B8．解析：對(duì)于選項(xiàng)A,直線a，b有可能相交；對(duì)于選項(xiàng)B,直線a，b有可能相交或異面;對(duì)于選項(xiàng)C,平面α，β有可能相交；對(duì)于選項(xiàng)D，若a⊥α，b⊥β，當(dāng)aβ時(shí)，有b⊥a,當(dāng)aβ時(shí)，∵α⊥β,∴a∥β，∴b⊥a,故選D。答案：D9．解析：∵f（x)＝x2－2x＋m有兩個(gè)零點(diǎn)，∴4－4m＞0，∴m＜1。由f(1－x）≥－1得（1－x)2－2(1－x)＋m≥－1，即x2＋m≥0，∴m≥－x2?！撸瓁2的最大值為0，∴0≤m＜1。答案：B10．解析：由x＋eq\f（1,x)≥2，x＋eq\f(4，x2）＝x＋eq\f(22,x2)≥3,x＋eq\f（27,x3)＝x＋eq\f(33，x3)≥4,…，可推廣為x＋eq\f(nn，xn）≥n＋1，故a＝nn。答案：B二、11．解析:將各項(xiàng)統(tǒng)一寫成根式形式為eq\r（3），eq\r（9）,eq\r（15）,eq\r（21）,eq\r(27)，…，即eq\r（3×1），eq\r(3×3），eq\r(3×5），eq\r(3×7)，eq\r（3×9)，…,被開方數(shù)是正奇數(shù)的3倍，故an＝eq\r(32n－1），n∈N＊。答案：an＝eq\r(32n－1),n∈N＊12．解析：由題意得第4次互換座位后,4個(gè)小動(dòng)物又回到了原座位,即每經(jīng)過(guò)4次互換座位后，小動(dòng)物回到原座位，而2014＝4×503＋2，所以第2014次互換座位后的結(jié)果與第2次互換座位后的結(jié)果相同，故小兔坐在2號(hào)座位上．答案：213．解析：f(x）是R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù)，由a＋b＞0，得a＞－b，∴f(a）＞f(－b）＝－f(b)．∴f(a)＋f(b）＞0，同理，得f（b）＋f(c)＞0，f（c）＋f（a)＞0.三式相加,整理得f(a)＋f（b)＋f（c）＞0.答案：大14．解析：通過(guò)觀察可看出題干中每個(gè)不等式左邊根號(hào)內(nèi)的數(shù)的和均為22，故可猜想出a＋b＝22.答案:a＋b＝2215．解析：經(jīng)觀察知，圖中的第n行的各數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為n，公差為1，共（2n－1）項(xiàng)的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為Sn＝（2n－1)n＋eq\f(2n－12n－2,2）＝（2n－1）n＋(2n－1）(n－1）＝（2n－1）2。令(2n－1）2＝20152,得2n－1＝2015，故n＝1008。答案:1008三、16．解：因?yàn)閍n＝eq\f(1,n＋12），f(n）＝(1－a1)(1－a2)…（1－an)，所以f（1）＝1－a1＝1－eq\f（1，4）＝eq\f（3,4)，f（2）＝(1－a1)（1－a2)＝f(1)·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)））＝eq\f(3，4)×eq\f（8，9)＝eq\f(2,3）＝eq\f(4，6)，f(3）＝(1－a1)（1－a2）（1－a3)＝f(2)·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，16））)＝eq\f(2，3）×eq\f(15，16）＝eq\f（5,8），由此猜想：f(n）＝eq\f（n＋2，2n＋1)。17．證明：假設(shè)a，b，c都小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，則a＋b＋c＜3.∵a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋(2－x)＋（x2－x＋1）＝2x2－2x＋eq\f（7，2)＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2）))2＋3,且x為實(shí)數(shù)，∴2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2）））2＋3≥3，即a＋b＋c≥3，這與a＋b＋c＜3矛盾．∴假設(shè)不成立，原命題成立．∴a，b,c中至少有一個(gè)不小于1。18．解：23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，43－33＝3×32＋3×3＋1,…，(n＋1）3－n3＝3n2＋3n＋1.將以上各式兩邊分別相加，得（n＋1)3－13＝3（12＋22＋32＋…＋n2)＋3（1＋2＋3＋…＋n）＋n，所以12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f（1,3)eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（n＋13－1－n－3×\f（nn＋1,2）））＝eq\f(nn＋12n＋1，6）。19．證法一：構(gòu)造f（x)＝（1＋2＋…＋n）x2＋2［eq\r（1·2)＋eq\r(2·3）＋…＋eq\r（nn＋1）］x＋(2＋…＋n＋1）＝（x＋eq\r（2））2＋(eq\r(2)x＋eq\r(3)）2＋…＋(eq\r(n)x＋eq\r(n＋1))2＞0，∵1＋2＋…＋n＞0，∴Δ＝4［eq\r(1·2）＋eq\r