數(shù)學知識導航抽樣方法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§2抽樣方法知識梳理1.簡單隨機抽樣(1）設一個總體含有N個個體,從中逐個不放回地抽取n個個體為樣本(n≤N）,如果在抽取過程中,總體內(nèi)的每個個體被抽到的概率相同，這樣的抽樣方法就叫做簡單隨機抽樣.(2）最基本、最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種,即抽簽法和產(chǎn)生隨機數(shù)的方法。（3)抽簽法的實施步驟可以歸結(jié)為:①編號；②制簽；③攪勻;④抽簽；⑤獲樣。(4)產(chǎn)生隨機數(shù)法就是利用工具（轉(zhuǎn)盤或摸球、隨機數(shù)表、科學計算器或計算機）產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣.(5)簡單隨機抽樣具有簡便易操作的優(yōu)點,在總體容量不大的情況下是行之有效的.2.分層抽樣(1）當總體中的個體由明顯差異的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況,通常采用分層抽樣法。(2）實施分層抽樣時，應將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分,每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占的比例進行簡單隨機抽樣。3。系統(tǒng)抽樣(1）當總體容量和樣本容量都很大時，不再適宜用簡單隨機抽樣和分層抽樣，而系統(tǒng)抽樣就可以解決這個問題.（2）一般地,要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，采用系統(tǒng)抽樣可按下列步驟進行:①編號:（有時可直接使用個體自身所帶的號碼,如學號、準考證號、門牌號等）。②分段：對編號進行分段，要保證“等距”分段.③確定起始號碼：在第一段用隨機抽樣的方法確定起始的個體號碼。④按事先指定的規(guī)則抽取樣本,通常是起始號碼分段間隔,依次獲取樣本。4.三種抽樣方法的比較(1)三種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系如下表:類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的可能性相等從總體中逐個抽樣總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣的方法抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣總體由差異明顯的幾部分組成（2)簡單隨機抽樣是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的基礎，三種抽樣方法的共同特點是：①都是等可能性抽樣；②被抽取樣本的總體的個數(shù)有限;③逐個地進行抽?。虎芏际遣环呕爻闃?。知識導學學習本節(jié)前應先復習初中所學的總體、個體、樣本、樣本容量的概念,并借助于實例了解抽取樣本的必要性和重要性。學習本節(jié)中的三種抽樣方法（簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣）時,應結(jié)合生活中的實例去體會它們各自的特點、使用范圍和操作步驟。簡單隨機抽樣(抽簽法、產(chǎn)生隨機數(shù)法）是獲取樣本最基本的抽樣方法,盡管它有局限性（僅適宜總體數(shù)較少時），但它卻是任何抽樣方法的基礎,也是不可缺少的方法,所以務必熟記它們的操作方法。記憶小竅門：抽簽法操作要點是：編號、寫簽、攪勻、抽取。隨機數(shù)表法操作要點是:編號、選起始數(shù)、讀數(shù)、獲取樣本。系統(tǒng)抽樣和分層抽樣是在總體中個體數(shù)較大和總體中個體具有明顯的差異時,采用的抽樣方法.學習過程中,要弄懂系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的適用范圍、概念和操作步驟，結(jié)合實例理解其中的關(guān)鍵步驟，哪些步驟屬于簡單隨機抽樣.初步理解后，要及時結(jié)合具體問題，運用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法設計抽樣方案,完成抽樣過程,加以鞏固.記憶小竅門:系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為:①編號,②定間隔分段,③在第一段內(nèi)定起始號,④后加間隔得每段號碼，獲取樣本.當用分層抽樣進行抽取樣本時，需注意以下幾個問題：（1）必須先判斷所考查的總體中的個體是否具有明顯的差異,若是則用分層抽樣，若不是,應用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣。(2)為獲取各層入樣數(shù)目,需先正確計算出抽樣比k=。若k與某層個體數(shù)的積不是整數(shù)時,可四舍五入取整.（3)體會分層抽樣仍屬于等可能抽樣，用分層抽樣獲取的樣本更能很好地代表總體。疑難突破1.系統(tǒng)抽樣中如何對總體中的每個個體進行合理分段？剖析:系統(tǒng)抽樣操作的要領(lǐng)是先將個體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分,然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分中抽取1個個體，得到所需樣本。由于抽樣的間隔相等,因此系統(tǒng)抽樣也被稱作等距抽樣(或叫機械抽樣）.所以系統(tǒng)抽樣中必須對總體中的每個個體進行合理（即等距)分段.若從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,用系統(tǒng)抽樣時，應先將總體中的各個個體編號，再確定分段間隔k,以便對總體編號進行分段.當是整數(shù)時,取k=為分段間隔即可,如N=100,n=20，則分段間隔k==5,也就是將100個個體平均分為5段.特別地,當不是整數(shù)時，應先從總體中隨機剔除一些個體,使剩余個體數(shù)N′能被n整除，這時分段間隔k=，如N=101，n=20,則應先在總體中剔除1個個體,使剩余的總體容量(即100）能被20整除,從而得出分段間隔k==5，也就是說，只需將100個個體平均分為5段.一般地，用簡單隨機抽樣的方法從總體中剔除部分個體,其個數(shù)為總體中的個體數(shù)除以樣本容量所得的余數(shù).上述過程中,總體中的每個個體被取出（或被剔除）的可能性相等，也就是每個個體不被選?。ɑ虿槐惶蕹?的可能性也相等,所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍然都相等，這說明使用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過程是公平的.2.分層抽樣中各層入樣的個體數(shù)應如何確定？剖析:當已知總體由差異明顯的幾部分組成時,應將總體分成互不交叉的幾部分,然后按照各部分所占的比例,從各部分中獨立抽取一定數(shù)量的個體,再將各部分抽出的個體合在一起作為樣本，這就是分層抽樣。其中所分成的每一部分叫層.由于層與層之間有明顯的區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異很小,為了使樣本更能充分地反映總體的情況，抽取樣本時，必須照顧到各個層的個體.所以每層中所抽取的個體數(shù)應按各層個體數(shù)在總體中所占的比例抽取，也就是各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即。這樣抽取能使所得到的樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)基本相同，可以提高樣本對總體的代表性.在實際操作時，應先計算出抽樣比k=，獲得各層入樣數(shù)的百分比,再按抽樣比確定每層需要抽取的個體數(shù)。例如:一批燈泡400只,其中20W、40W、60W的數(shù)目分別為200只、150只和50只，現(xiàn)用分層抽樣的方法獲取一個容量為40的樣本,則三種燈泡依次抽取的個數(shù)可如下確定：求出抽樣比k=。則應抽取各種瓦數(shù)的燈泡只數(shù)分別為200×=20，150×=15，50×=5。典題精講例1一單位有職工160人,其中業(yè)務人員96人，管理人員40人,后勤服務人員24人,為了了解職工的收入情況,從中抽取一個容量為20的樣本，分別按下述三種方法抽?。孩賹?60人從1至160編上號,再用白紙做成1～160號的簽160個放入箱內(nèi)拌勻，然后從中抽20個簽，與簽號相同的20個人被選出.②將160人從1至160編上號,按編號順序分成20組,每組8人,1~8號，9～16號,…,先從第一組中用抽簽方式抽出k號,其余組（k+8n）號（n=1,2,…，19)亦被抽到，如此抽取20人.③按20∶160=1∶8的比例，從業(yè)務人員中抽取12人,從管理人員中抽取5人，從后勤人員中抽取3人,都用隨機數(shù)法從各類人員中抽取所需,他們合在一起恰好20人。問:(1）上述三種方法中，總體、個體、樣本分別是什么？（2）上述三種方法中各自采取何種抽取樣本的方法?思路分析：三種常用抽樣方法各具優(yōu)點，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別,應注意對三種抽樣方法進行比較。解：(1)這三種抽取方式中，其總體都是該單位160名職工的收入，其個體都是單位各個職工的收入，其樣本為所抽取的20名職工的收入。（2）第一種為簡單隨機抽樣;第二種為系統(tǒng)抽樣；第三種為分層抽樣。簡單隨機抽樣的步驟：①將總體中的個體編號；②選定開始的數(shù)字；③獲取樣本號碼.系統(tǒng)抽樣的步驟:①確定分組情況和抽樣距;②編號;③在第1段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號;④按照事先研究的規(guī)則抽取樣本.分層抽樣的步驟:①分層；②按比例確定每層抽取個體的個數(shù)；③各層抽樣(方法可以不同);④匯合成樣本.綠色通道：針對不同的問題,要選擇科學實用的抽樣方法。簡單隨機抽樣的方法包括抽簽法和產(chǎn)生隨機數(shù)法，它們主要適用于總體個體數(shù)較少的情況.抽簽法的一般步驟：①編號;②準備抽簽工具;③實施抽簽.在抽簽前一定要先把號簽攪拌均勻，并且每次只能抽一個。抽簽法最大的優(yōu)點是簡便易行，但此種方法不宜適用于總體數(shù)量較大的對象，一般適用于個體數(shù)量較少的對象。產(chǎn)生隨機數(shù)法的一般步驟：①編號,②定位置,位置是任意的,③讀數(shù)，要按一定順序讀數(shù)，順序也是任意的，可以自上至下、自下至上、自左至右、自右至左.取數(shù)過程中,要把不符合要求的數(shù)(超過最大編碼)和與前面重復的數(shù)去掉.采用系統(tǒng)抽樣時，要嚴格按其步驟進行.變式訓練1（2006天津河東一模,6）某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點,公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況,要從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①;在丙地區(qū)中有20個物品型銷售點，要從中抽取7個，調(diào)查其銷售收入和售后服務等情況,記這項調(diào)查為②.則完成①②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）A。分層抽樣法,系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C。系統(tǒng)抽樣法,分層抽樣法D。簡單隨機抽樣法,分層抽樣法思路解析:在①中，由于不同地區(qū)的產(chǎn)品銷售情況差異較大,為了抽樣的公平性，應采用分層抽樣法.在②中,總體個體差異不大，總體中的個體數(shù)量也不大，故適宜用簡單隨機抽樣.故選B。答案:B變式訓練2在下列問題中，各采用什么抽樣方法抽取樣本較為合適?(1)從20臺彩電中抽取4臺進行質(zhì)量檢驗；(2）科學會堂有32排座位,每排有40個座位(座號為1~40）,一次報告會坐滿了聽眾,會后為聽取意見留下了第一列的所有32名聽眾進行座談;(3)光遠中學有180名教職工,其中教師136名，管理人員20名,后勤服務人員24名，今從中抽取一個容量為15的樣本.解：（1)所述問題中總體中的個體數(shù)和樣本容量均較少,故宜用簡單隨機抽樣法.(2）所述問題具有總體中的個體數(shù)較多，且每個個體無明顯差異的特點，所以適宜用系統(tǒng)抽樣法進行抽取樣本.（3)所述問題的總體中的個體具有明顯差異，即出現(xiàn)了3個階層，因此適宜用分層抽樣法獲取樣本。例2對某單位1000名職工進行某項專門調(diào)查，調(diào)查的項目與職工任職年限有關(guān),人事部門提供了如下資料：任職年限 人數(shù)5年以下 3005～10年 50010年以上 200試利用上述資料,設計一個樣本容量為100的抽樣方法。思路分析:由于調(diào)查的項目與職工任職年限有關(guān)，而任職年限又分為三個層次,符合分層抽樣的要求,故采取分層抽樣的方法.解:進行分層抽樣可分為三層,因為抽取樣本容量與總體個體數(shù)之比為，所以每層應抽取的個體數(shù)應為5年以下:300×=30（人）,5~10年:500×=50（人）,10年以上:200×=20（人）.然后再在每層用簡單隨機抽樣的方法進行抽樣，將各層抽取的個體合在一起，就是所要抽取的樣本。綠色通道：由于分層抽樣充分利用了我們所掌握的信息，使樣本具有較好的代表性，而在各層中進行抽樣時，大多數(shù)情況下采用簡單隨機抽樣,有時也會用到其他方法,這樣需根據(jù)問題的需要來決定。分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況.分層抽樣時,分層所抽取的個體數(shù)等于該層個體總數(shù)與抽樣比的乘積,抽樣比=變式訓練1（2006四川高考卷,5）甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生,為統(tǒng)計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個容量為90人的樣本，應在這三校分別抽取學生（)A。30人，30人,30人 B。30人,45人，15人C.20人，30人，10人 D.30人,50人，10人思路解析:甲校有3600名學生，乙校有5400名學生,丙校有1800名學生，為統(tǒng)計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法,抽取一個容量為90人的樣本,應在這三校分別抽取學生30人,45人，15人，選B。答案:B變式訓練2（2006山東高考卷,13)某學校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本,已知從學生中抽取的人數(shù)為150，那么該學校的教師人數(shù)是_______。思路解析:抽取教師為160-150=10（人），所以學校教師人數(shù)為2400×=150（人)。答案:150人例3某校高三年級共有430名學生，為了對某次考試的數(shù)學成績作質(zhì)量分析,打算從中抽取40人作樣本,請你設計一個系統(tǒng)抽樣，抽取上面所需的樣本。思路分析：總體中的每個個體，都必須是等可能地入樣,為了實現(xiàn)“等距”入樣，且又等可能性，因此，應先剔除30個個體,然后再分段，定起始位置.解：先用簡單隨機抽樣從總體中剔除30個個體(可用產(chǎn)生隨機數(shù)法,也可用抽簽法),再將剩下的400名學生進行編號：1，2，3，…,400,然后將總體分為40個部分,其中每個部分包括10個個體，如第1部分的個體編號為1，2，3，…,10，從中隨機抽取一個號碼,比如6,那么就可以從第6號開始,每隔10個抽取1個，這樣得到容量為40的樣本:6,16,26,36,…，396.綠色通道：利用抽簽法抽取樣本時,編號應從1開始；而利用隨機數(shù)抽取樣本時，編號應從0開始.例如將100個個體編號成00,01，02,…,99,而不是編號成0,1，2,…99,以便于運用隨機數(shù)表,將起始號碼選為00,而不是01，可使100個個體都可用兩位數(shù)字號碼表示，否則將會出現(xiàn)三位數(shù)字號碼100.利用隨機數(shù)表產(chǎn)生隨機數(shù)是最常用的產(chǎn)生隨機數(shù)的方法，要掌握此種方法的步驟.當總體容量和樣本容量都很大時，采用簡單隨機抽樣或分層抽樣，都是非常麻煩的，系統(tǒng)抽樣正好能解決這個問題.用系統(tǒng)抽樣抽取一定容量的樣本時,首先要分清總體中的個數(shù)是否能被樣本容量整除，否則就會出現(xiàn)抽樣距不等的情況,就不合乎系統(tǒng)抽樣的原則,還要注意總體的排列有沒有明顯的周期性，這時抽樣距的選取要恰當,要打亂周期性;如果總體事先排好序,要先打亂順序，再抽樣，以達到抽取的樣本具有廣泛的代表性.變式訓練下列抽樣試驗中，最適宜用系統(tǒng)抽樣法的是（）A。某市的4個區(qū)共有2000名學生，且4個區(qū)的學生人數(shù)之比為3∶2∶8∶2,從中抽取200人入樣B。某廠生產(chǎn)的2000個電子元件中隨機抽取5個入樣C。從某廠生產(chǎn)的2000個電子元件中隨機抽取200個入樣D.從某廠生產(chǎn)的20個電子元件中隨機抽取5個入樣思路解析：A中總體有明顯層次，不適用系統(tǒng)抽樣法;B中樣本容量很小,適宜用簡單隨機抽樣法中的隨機數(shù)表法;D中總體數(shù)很小,故適宜用抽簽法。只有C比較符合適用系統(tǒng)抽樣法.故選C.答案：C例4（2006湖北高考卷,17)某單位最近組織了一次健身活動,活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組.在參加活動的職工中,青年人占42。5%，中年人占47。5%，老年人占10%。登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50%，中年人占40%,老年人占10％.為了了解各組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本。試確定：(1）游泳組中,青年人、中年人、老年人分別所占的比例；(2)游泳組中,青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數(shù)。思路分析：考慮到參加活動的職工差異比較明顯，所以應將全體參加活動的職工合理分層，再從各層中按比例抽取入樣人數(shù).為此需先計算出青年人、中年人、老年人分別所占的比例.解:(1）設登山組人數(shù)為x,游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c,則有解得b=50％，c=10%。故a=100%-50％-10％=40％，即游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為40％、50%、10%.（2)游泳組中,抽取的青年人數(shù)為200××40％=60(人）；抽取的中年人數(shù)為200××50％＝75（人）；抽取的老年人數(shù)為200××10％＝15（人)。黑色陷阱:解答該題的關(guān)鍵是第(1）問,最容易出現(xiàn)的錯誤是不能正確運用變量將登山組人數(shù)和青年人、中年人、老年人各占比例數(shù)表示出來,必會導致表達混亂,直至出錯。其根本原因在于沒有正確地閱讀和理解題意,找不出解決問題的入手點。合理的解題方案是弄懂題意后，選擇登山組人數(shù)(設為x)為出發(fā)點,進而可表示出參加活動的全體職工數(shù)（4x）,那么“在參加活動的職工中,中年人占47。5％,老年人占10％”才能轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學表達式,并由此求出游泳組中,青年人、中年人、老年人分別所占的比例。問題探究問題1從總體中抽取樣本，再通過對樣本的研究估計總體的情況是統(tǒng)計的基本思想.那么，該怎樣理解從總體中的這種抽樣的思想？請結(jié)合實際的例子進行說明.導思:可從發(fā)生在我們大家周圍的許多實際問題出發(fā),來理解統(tǒng)計的基本思想。探究：對于統(tǒng)計的基本思想應作較廣義的理解?？梢越Y(jié)合實際的例子進行理解.例如，當在同一條件下進行100次拋擲同一硬幣的試驗，其結(jié)果可以看成是,在相同條件下進行很多次這種試驗的結(jié)果組成的總體中抽取的一個容量為100的樣本，從而我們可以利用這個樣本的情況去估計總體的情況。能反映統(tǒng)計的基本思想的實際問題還有很多,如彩票、產(chǎn)品檢驗、電視節(jié)目收視率、學生的體重、商品的銷售、景點的游客接待等都是通過樣本數(shù)據(jù)來估計總體的情況的.在統(tǒng)計中涉及的抽樣方法很多。如果按抽取樣本時總體中的每個個體被抽取的可能性是否相等來分,可分為等可能性抽樣和不等可能性抽樣.而實際的抽樣總要考慮公平性問題，所以，我們最常用的是等可能性抽樣，也就是在抽樣中，每個個體被抽到的可能性是相等的。問題2放回和不放回抽樣是兩