專題06線段與角的等量代換模型(原卷版+解析)

專題06線段與角的等量代換模型等量代換是數(shù)學(xué)變形的最常見方式之一,它以處理問題步驟簡捷、巧妙靈活,給人留下深刻的印象。運用它來解決中學(xué)代數(shù)和幾何的有關(guān)問題（本專題主要涉及線段與角度的代換）,還可以避免繁雜運算,具有計算量小的獨特優(yōu)點,因此有著廣泛的應(yīng)用。模型1.

線段與角度的等量代換模型【模型解讀】“等量代換”是在數(shù)學(xué)幾何中常用的一種推理證明方法，應(yīng)用于角度或線段相等關(guān)系的推導(dǎo)。1）線段的等量代換條件：如圖，已知：EG=HF；結(jié)論：EH=GF.2）角度的等量代換（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）條件1：如圖，已知∠AOB=∠DOC；結(jié)論：∠1=∠2.條件2：如圖，已知∠AOB=∠DOC=90°；結(jié)論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代換我們還可以推導(dǎo)三個重要的性質(zhì)：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補角相等；③對頂角相等；例1．（2023秋·北京平谷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C，D在線段上，若，則（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽蚌埠·七年級校考階段練習(xí)）如圖，，是線段上兩點，，分別是線段，的中點，下列結(jié)論：①若，則②若，則③④其中正確的結(jié)論是（

）A．①?②?③ B．?③?④ C．①?②?④ D．?①?②?③?④例3．（2023·福建三明·七年級統(tǒng)考期末）如圖，B、C是線段上兩點，且，若，，那么大小為（

）A．3 B．7 C．10 D．13例4．（2023·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期末）如圖，順次為線段上的兩點，是的中點，則的值是（

）A．9 B．8 C．7 D．6例5．（2023秋·廣東七年級期中）已知：如圖所示，則()A．B．C．D．與的大小無法比較例6．（2023秋·安徽安慶·七年級校聯(lián)考期末）如圖所示，已知，，則的度數(shù)是A． B． C． D．例7．（2023春·北京·七年級月考）如圖，已知，，則與的關(guān)系是（

）A．大 B．大 C．相等 D．無法確定例8．（2023秋·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）已知且，則，依據(jù)是（

）A．等角的補角相等 B．同角的補角相等 C．等量代換 D．補角的定義例9．（2023·安徽銅陵·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，下列結(jié)論：其中正確的是（）A． B． C． D．例10．（2023.黑龍江省哈爾濱市七年級期末）如圖，已知．

(1)試說明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時，請正確畫出圖形，并直接寫出的度數(shù)．例11．（2023.河北省邢臺市七年級期末）已知，平分，平分．(1)如圖1，當(dāng)，重合時，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)在內(nèi)部時，若，求的度數(shù)；(3)當(dāng)和的位置如圖3時，求的度數(shù)．

例12．（2023春·遼寧沈陽·七年級校考階段練習(xí)）已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，結(jié)合圖形，試探索這兩個角之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，，，與的數(shù)量關(guān)系是：________．(2)如圖2，，，與的數(shù)量關(guān)系是：________．(3)由（1）（2）你得出的結(jié)論是：如果________，那么________________．(4)若兩個角的兩邊互相垂直，且一個角比另一個角的3倍少，求這兩個角度數(shù)．例13．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）填空：已知：如圖，、相交于點．求證：證明：∵，（______）∴______．（等式性質(zhì)）同理可得：______又∵，（______）∴，（等量代換）課后專項訓(xùn)練1．（2023·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上有C，D兩點，其中D是BC的中點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB2．（2023·山東聊城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AC>BD，比較線段AB與線段CD的大?。?/p>

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．無法比較3．（2023.江蘇鎮(zhèn)江七年級期末）如圖所示，B，C是線段上任意兩點，M是的中點，N是的中點，若，，則的長度是（）A． B． C． D．以上都不對4．（2023·山西·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點M，N，P分別是線段AN，AB，NB的中點，則下列說法正確的是（

）A．點N是線段AP的中點 B．點N是線段BM的中點C．線段BM是線段NP的3倍 D．線段AP是線段NB的2倍5．（2023秋·福建寧德·七年級?？计谀┤鐖D所示，C、D是線段AB上兩點，若AC=3cm，C為AD中點且AB=10cm，則DB=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm6．（2023.河南南陽七年級期末）在線段MN的延長線上取一點P，使NP＝MN，再在MN的延長線上截取QM＝3MN，那么線段MP的長是線段NQ的長的（）A． B． C． D．7．（2023.上海七年級期末）如圖，C是線段上的一點，D是線段的中點，已知圖中所有線段的長度之和為16，且所有線段的長度都是正整數(shù)，則線段的長度是（

）．A．2 B．3 C．4 D．58．（2023.天津市南開區(qū)七年級期末）如圖，AOB是一條直線，∠AOC=60°，OD，OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線，則圖中互補的角有（）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對9．（2023秋·黑龍江佳木斯·七年級聯(lián)考期末）如圖，O是直線AB上一點，OE平分∠AOB，∠COD=90°，則圖中互余的角有（）對．A．5 B．4 C．3 D．210．（2023春·河北滄州·七年級校考期中）如圖，直線相交于點，于點，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．11．（2023秋·湖北恩施·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，于，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．12．（2023春·山東棗莊·七年級校考階段練習(xí)）如圖，于點A，于點D，則下列說法中正確的是（）

①的余角只有；②的補角是；③與互補；④與互余A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④13．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在同一平面內(nèi)，，，點為反向延長線上一點（題中所有角均指小于的角）．給出下列結(jié)論：①；②；③．其中結(jié)論一定正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③14．（2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交，若，圖中與相等的角有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個15．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．16．（2023春·北京順義·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O在直線上，過點O作射線，，．從下面的四個條件中任選兩個，可以推出的是（寫出一組滿足題意的序號）．①；②和互余；③；④．

17．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習(xí)）一副三角板如圖放置，當(dāng)∠1與∠2互余時，∠1的度數(shù)是.

18．（2023秋·廣東韶關(guān)·七年級?？计谀┖突パa，且，則，理由是．19．（2023春·上海長寧·七年級校聯(lián)考期末）如圖，，比大，與互余，則．

20．（2023.成都市七年級期末）如圖，在同一平面內(nèi)，，則的度數(shù)為．21．（2023·山東棗莊·七年級校考階段練習(xí)）如圖，已知點，為線段上順次兩點，、分別是，的中點．（1）若，求的長；（2）若，，請用含有，的式子表示出的長．22．（2023.江西省南昌市七年級期末）問題：如圖，點C是線段的中點，點D在線段上，點E是線段的中點．若，求線段的長．請補全以下解答過程．解：∵點C是線段的中點，點E是線段的中點∴，，∵，∴___________，∵，∴___________．23．（2023·四川綿陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點為線段上兩點，，點為線段的三等分點（靠近點），點，分別為，的中點．（1）求證：；（2）若，求的長．24．（2023·湖北武漢·七年級?？计谀?）如圖1，C、D為線段上兩點，若D為中點，，求的長；（2）如圖2，為內(nèi)兩條射線，，求的度數(shù)．25．（2023·河南鄭州·七年級?？茧A段練習(xí)）問題：如圖，線段AC上依次有D，B，E三點，其中點B為線段AC的中點，AD=BE，若DE=4，求線段AC的長．請補全以下解答過程．解：∵D，B，E三點依次在線段AC上，∴DE=+BE∵AD=BE

∴DE=DB+（

），即DE=AB∵DE=4

∴AB=4又∵點B為線段AC的中點，∴AC==8

（

）26．（2023秋·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期中）已知O為直線AB上的一點，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．(1)如圖1，①若∠COF＝20°，求∠BOE的度數(shù)；②若∠COF＝α，直接寫出∠BOE的度數(shù)；（用含α的式子表示）(2)如圖2，若∠COE處于圖2的位置，試探究∠BOE和∠COF之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．27．（2023春·江蘇南通·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線相交于點O，過點O作平分．若，求的度數(shù)．28．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）小明同學(xué)做一道幾何題時，不小心漏了一些內(nèi)容，請你把空缺之處填完整：題目如下：如圖，直線交于O，平分，求的度數(shù)．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性質(zhì)）∵（

）∴__________________（等量代換）∵平分（已知）∴____________（角平分線的意義）∴（

）29．（2023秋·甘肅金昌·七年級校考期末）如圖，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其補角的度數(shù)；（2）請求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補，并說明理由.30．（2023秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）已知，平分，平分．

(1)如圖1，若與重合，則__________________；(2)如圖2，，求的度數(shù)；(3)如圖3，，求的度數(shù)．31．（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）把下面的證明過程補充完整．已知：如圖，在中，，平分，為邊上一點，連接，交于點，且．求證：．證明：（已知）又（）（等量代換）平分（已知）（）（已知）（）（等量代換）（有兩個角互余的三角形是直角三角形）（垂直的定義）32．（2023春·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中BD是邊AC上的高，∠ABC=128°，∠ABD=65°，點E在AC的延長線上，求∠BCE的度數(shù)．對于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB=．∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形兩銳角互余），∴∠BAD=．∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（），∴∠BCE=＋128°=（等量代換）．33．（2023·綿陽市·七年級專題練習(xí)）對于數(shù)軸上給定的兩點M，N（M在N的左側(cè)），若數(shù)軸上存在點P，使得，則稱點P為點M，N的“k和點”．例如，如圖1，點M，N表示的數(shù)分別為0，2，點P表示的數(shù)為1，因為，所以點P是點M，N的“4和點”．(1)如圖2，已知點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為2．①若點O表示的數(shù)為0，點O為點A，B的“k和點”，則k的值______．②若點C在線段AB上，且點C是點A，B的“5和點”，則點C表示的數(shù)為______．③若點D是點A，B的“k和點”，且，求k的值．(2)數(shù)軸上點E表示的數(shù)為a，點F在點E的右側(cè)，，點T是點E，F(xiàn)的“6和點”，請求出點T表示的數(shù)t的值（用含a的代數(shù)式表示）．34．（2023.江蘇七年級月考）已知∠AOD=150°．（1）如圖1，∠AOC=∠BOD=90°，①∠BOC的余角是，比較∠AOB∠COD（填＞，=或＜），理由：；②∠BOC=度；（2）如圖2，已知∠AOB與∠BOC互為余角，①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度數(shù)；②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度數(shù)．35．（2023.河北省保定市唐縣七年級期末）（1）如圖1，平分．的度數(shù)等于______．（2）如圖2，點O是直線上的一點，與互余，求的度數(shù)．（3）如圖3，點C是線段的中點，，求的長．（4）變形、如圖4，已知，則的度數(shù)為________，和的數(shù)量關(guān)系為________．

專題06線段與角的等量代換模型等量代換是數(shù)學(xué)變形的最常見方式之一,它以處理問題步驟簡捷、巧妙靈活,給人留下深刻的印象。運用它來解決中學(xué)代數(shù)和幾何的有關(guān)問題（本專題主要涉及線段與角度的代換）,還可以避免繁雜運算,具有計算量小的獨特優(yōu)點,因此有著廣泛的應(yīng)用。模型1.

線段與角度的等量代換模型【模型解讀】“等量代換”是在數(shù)學(xué)幾何中常用的一種推理證明方法，應(yīng)用于角度或線段相等關(guān)系的推導(dǎo)。1）線段的等量代換條件：如圖，已知：EG=HF；結(jié)論：EH=GF.2）角度的等量代換（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）條件1：如圖，已知∠AOB=∠DOC；結(jié)論：∠1=∠2.條件2：如圖，已知∠AOB=∠DOC=90°；結(jié)論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代換我們還可以推導(dǎo)三個重要的性質(zhì)：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補角相等；③對頂角相等；例1．（2023秋·北京平谷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C，D在線段上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可得答案．【詳解】∵，∴，即．故選：B．【點睛】本題主要考查了線段的和差，掌握各線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·安徽蚌埠·七年級校考階段練習(xí)）如圖，，是線段上兩點，，分別是線段，的中點，下列結(jié)論：①若，則②若，則③④其中正確的結(jié)論是（

）A．①?②?③ B．?③?④ C．①?②?④ D．?①?②?③?④【答案】D【分析】根據(jù)線段中點的定義與線段的和差結(jié)合圖形進(jìn)行分析．【詳解】解：∵，分別是線段，的中點，∴，，如圖①若，∴，∴，∴，∴，∴，故①正確；②若，∴，∵M(jìn)、N分別是線段，的中點，∴，，∴，故②正確；∵，∴，故③正確；∵，，∴，∵，，∴，故④正確，故選：D．【點睛】本題考查了兩點間的距離，線段的和差，能夠利用中點的性質(zhì)求解一些線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·福建三明·七年級統(tǒng)考期末）如圖，B、C是線段上兩點，且，若，，那么大小為（

）A．3 B．7 C．10 D．13【答案】B【分析】根據(jù)線段的和差關(guān)系計算即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴CD＝3，∵，∴AC＝AD－CD＝7，故選：B．【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用線段的和差是解題關(guān)鍵．例4．（2023·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期末）如圖，順次為線段上的兩點，是的中點，則的值是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由是的中點，解得，再由線段的和差將整理成，將整理成，最后由整體思想解題即可．【詳解】解：是的中點，，BE=AB-AE，，AE=AD+DE，故選：B．【點睛】本題考查線段的和差、線段的中點等知識，是重要考點，難度較易，解題的關(guān)鍵是掌握線段的和差計算方式．例5．（2023秋·廣東七年級期中）已知：如圖所示，則()A．B．C．D．與的大小無法比較【答案】C【分析】已知，由等式性質(zhì)得到即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，即．故選：C．【點睛】本題考查角的有關(guān)計算．根據(jù)等式性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．例6．（2023秋·安徽安慶·七年級校聯(lián)考期末）如圖所示，已知，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)∠AOB＝150°，∠AOC＝∠BOD＝90°，先求出∠BOC，然后再求∠COD．【詳解】解：∵∠AOB＝150°，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝∠AOB?∠AOC＝150°?90°＝60°，∴∠COD＝∠BOD?∠BOC＝90°?60°＝30°，故選A．【點睛】本題考查了角的計算，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是分清題中角之間的關(guān)系．例7．（2023春·北京·七年級月考）如圖，已知，，則與的關(guān)系是（

）A．大 B．大 C．相等 D．無法確定【答案】C【分析】由，，可知，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵，∴故選C．【點睛】本題考查了余角．解題的關(guān)鍵在于明確同角的余角相等．例8．（2023秋·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）已知且，則，依據(jù)是（

）A．等角的補角相等 B．同角的補角相等 C．等量代換 D．補角的定義【答案】C【分析】根據(jù)等量代換即可求解．【詳解】解：∵，∴（等量代換）故選C【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．替換關(guān)系式是一個等式，用替換關(guān)系式把原本的未知量或變量轉(zhuǎn)換為新的未知量或變量的依據(jù)是“等量代換”，求出新的未知量或變量后，再運用替換關(guān)系式求出原本的未知量或變量的依據(jù)也是“等量代換”．例9．（2023·安徽銅陵·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，下列結(jié)論：其中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系，由已知條件進(jìn)行解答即可．【詳解】解：，，即，故正確；又，，故正確；，故正確；，故正確．正確的是，故選：D．【點睛】本題考查了角的計算，解題的關(guān)鍵是明確題意，分清角的和差關(guān)系．例10．（2023.黑龍江省哈爾濱市七年級期末）如圖，已知．

(1)試說明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時，請正確畫出圖形，并直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)圖見解析，的度數(shù)是或或或【分析】（1）觀察圖形，可知已知的兩等角存在公共部分，同時減去，即可得解；（2）觀察圖形中角之間的位置關(guān)系，得，由角平分線，得；（3）由，分情況：①在內(nèi)部：由，進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部，②在外部：進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部；分別求解．【詳解】（1）解：，，，；（2）由（1）可知，，，，平分，，的度數(shù)是；（3）的度數(shù)是或或或，理由如下：如圖1，，，，

，又，，，如圖2，，即，又，，，

如圖3，，，又，，，如圖，，，，綜上所述，的大小為或或或．【點睛】本題考查角的數(shù)量關(guān)系和計算，角平分線的定義；根據(jù)圖形得出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例11．（2023.河北省邢臺市七年級期末）已知，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)，重合時，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)在內(nèi)部時，若，求的度數(shù)；(3)當(dāng)和的位置如圖3時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求解，，可得答案；（2）先求解，，再證明，，結(jié)合角的和差運算可得答案；（3）設(shè)，可得，證明，，再利用角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】（1）解：∵，，重合，平分，平分．∴，，∴；（2）∵在內(nèi)部，，，∴，，∵平分，平分．∴，，∴．（3）設(shè)，，∴，∵平分，平分．，∴，，∴．【點睛】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，熟練的利用角的和差運算進(jìn)行計算是解本題關(guān)鍵．例12．（2023春·遼寧沈陽·七年級校考階段練習(xí)）已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，結(jié)合圖形，試探索這兩個角之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，，，與的數(shù)量關(guān)系是：________．(2)如圖2，，，與的數(shù)量關(guān)系是：________．(3)由（1）（2）你得出的結(jié)論是：如果________，那么________________．(4)若兩個角的兩邊互相垂直，且一個角比另一個角的3倍少，求這兩個角度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，這兩個角相等或互補(4)、或、【分析】（1）根據(jù)垂線的定義，得出，，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出，，最后根據(jù)，得出結(jié)論即可；（2）根據(jù)垂線的定義得出，，，根據(jù)四邊形內(nèi)角和，得出，最后得出結(jié)論即可；（3）根據(jù)解析（1）（2）總結(jié)歸納出結(jié)論即可；（4）設(shè)另一個角的度數(shù)為，則這個角的度數(shù)為，根據(jù)這兩個角相等或互補兩種情況列出關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，，∵∴，故答案為；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，故答案為．（3）解：由（1）（2）可得一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，這兩個角相等或互補，故答案為：一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，這兩個角相等或互補；（4）解：設(shè)另一個角的度數(shù)為，則這個角的度數(shù)為，根據(jù)題意可得或解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴這兩個角的度數(shù)為，或，．【點睛】本題主要考查補角的定義和垂直的定義，余角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，在解題的過程中，要注意分類討論．例13．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）填空：已知：如圖，、相交于點．求證：證明：∵，（______）∴______．（等式性質(zhì)）同理可得：______又∵，（______）∴，（等量代換）【答案】三角形的內(nèi)角和等于180°,1,2,對頂角相等【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，對頂角相等填空即可求解．【詳解】證明：∵，（三角形的內(nèi)角和等于180°）∴．（等式性質(zhì)）同理可得：又∵，（對頂角相等）∴，（等量代換）故答案為：三角形的內(nèi)角和等于180°,1,2,對頂角相等【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，對頂角相等，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上有C，D兩點，其中D是BC的中點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB【答案】D【分析】根據(jù)線段的中線性質(zhì)求解即可；【詳解】∵D是BC的中點，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了線段中線的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東聊城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AC>BD，比較線段AB與線段CD的大?。?/p>

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．無法比較【答案】B【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，則AB>CD．【詳解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故選：B．【點睛】本題考查了比較線段的長短，比較兩條線段長短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法．3．（2023.江蘇鎮(zhèn)江七年級期末）如圖所示，B，C是線段上任意兩點，M是的中點，N是的中點，若，，則的長度是（）A． B． C． D．以上都不對【答案】C【分析】根據(jù)M是的中點，N是的中點，得出，，根據(jù)，，得出，求出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵M(jìn)是的中點，N是的中點，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】利用中點性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點．4．（2023·山西·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點M，N，P分別是線段AN，AB，NB的中點，則下列說法正確的是（

）A．點N是線段AP的中點 B．點N是線段BM的中點C．線段BM是線段NP的3倍 D．線段AP是線段NB的2倍【答案】C【分析】根據(jù)中點的定義，得到AM=MN=NP=PB=，則，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案.【詳解】解：∵點M，N，P分別是線段AN，AB，NB的中點，∴AM=MN=NP=PB=，∴，∴,∴C正確；故選：C.【點睛】此題考查了線段中點的定義，兩點間的距離，熟練掌握線段四等分點的定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·福建寧德·七年級?？计谀┤鐖D所示，C、D是線段AB上兩點，若AC=3cm，C為AD中點且AB=10cm，則DB=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】A【分析】從AD的中點C入手，得到CD的長度，再由AB的長度算出DB的長度．【詳解】解：∵點C為AD的中點，AC=3cm，∴CD=3cm．∵AB=10cm，AC+CD+DB=AB，∴BD=10-3-3=4cm．故答案選：A．【點睛】本題考查了兩點間的距離以及線段中點的性質(zhì)，利用線段之間的關(guān)系求出CD的長度是解題的關(guān)鍵．6．（2023.河南南陽七年級期末）在線段MN的延長線上取一點P，使NP＝MN，再在MN的延長線上截取QM＝3MN，那么線段MP的長是線段NQ的長的（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，作出圖形，如下所示：設(shè)，則，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查線段之間的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)意義作出圖形，數(shù)形結(jié)合計算是解決問題的關(guān)鍵．7．（2023.上海七年級期末）如圖，C是線段上的一點，D是線段的中點，已知圖中所有線段的長度之和為16，且所有線段的長度都是正整數(shù)，則線段的長度是（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】可以設(shè)出AC和CD的長，再根據(jù)圖中所有線段的長度之和為16，即可列出等式，再根據(jù)線段AC的長度與線段CB的長度都是正整數(shù)，即可求出答案．【詳解】解：設(shè)，，，即：，得：．因為線段的長度與線段的長度都是正整數(shù)，所以可知x最大為2，可知：，y為小數(shù)，不符合；，，符合題意．所以．故選：B．【點睛】本題考查了比較線段長短的知識，有一定難度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程式，并探討解的合理性．8．（2023.天津市南開區(qū)七年級期末）如圖，AOB是一條直線，∠AOC=60°，OD，OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線，則圖中互補的角有（）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對【答案】D【分析】根據(jù)鄰補角的定義以及角平分線的定義求得圖中角的度數(shù)，然后根據(jù)互補的定義進(jìn)行判斷．【詳解】∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣60°=120°．∵OD，OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線，∴∠AOD=∠COD=30°，∠COE=∠BOE=60°，∴∠AOE=∠BOC=120°，∠DOE=90°，∠DOB=150°，則∠AOD+∠DOB=180°，∠COD+∠DOB=180°，∠AOC+∠BOC=180°，∠COE+∠BOC=180°，∠BOE+∠BOC=180°，∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE+∠AOC=180°，∠AOE+∠COE=180°．總之有8對互補的角．故選D．【點睛】本題考查了補角的定義以及角平分線的定義，正確求得圖中角的度數(shù)是關(guān)鍵．9．（2023秋·黑龍江佳木斯·七年級聯(lián)考期末）如圖，O是直線AB上一點，OE平分∠AOB，∠COD=90°，則圖中互余的角有（）對．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)余角的定義找出互余的角即可得解．【詳解】解：∵OE平分∠AOB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD共4對，故選：B．【點睛】本題考查了余角的定義，從圖中確定余角時要注意按照一定的順序，防止遺漏．10．（2023春·河北滄州·七年級?？计谥校┤鐖D，直線相交于點，于點，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】互余關(guān)系求出，對頂角相等，得到即可；【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選D．【點睛】本題考查垂直的定義，對頂角相等．解題的關(guān)鍵是正確的識圖，理清角度之間的和差關(guān)系．11．（2023秋·湖北恩施·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，于，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“同角的余角相等”求解．【詳解】解：∵，∴．又∵，∴．∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，運用了“同角的余角相等”求解的．12．（2023春·山東棗莊·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，于點A，于點D，則下列說法中正確的是（）

①的余角只有；②的補角是；③與互補；④與互余A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)，可得，即可得到，，結(jié)合可得，結(jié)合即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，∴，，故①錯誤，∵，故②正確，∵，∴，∵，∴，故③④正確，故選：B；【點睛】本題考查垂直的性質(zhì)，互補與互余的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得到角度數(shù)量關(guān)系．13．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在同一平面內(nèi)，，，點為反向延長線上一點（題中所有角均指小于的角）．給出下列結(jié)論：①；②；③．其中結(jié)論一定正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】由根據(jù)等角的余角相等得到，而，即可判斷①正確；由，而，即可判斷②正確；由，而，即可判斷③不正確．【詳解】解：∵，∴，而，∴，所以①正確；，所以②正確；，而，所以③不正確；故選：A．【點睛】本題考查了余角和補角，角度的計算，余角的性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交，若，圖中與相等的角有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)同角的補角相等可證明，根據(jù)對頂角相等可證明，．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴圖中與相等的角有3個，故選C．【點睛】本題主要考查了對頂角相等，同角的補角相等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀┤鐖D，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別為的中點，求出的長度，再由的長度求出的長度，找到的規(guī)律即可求出的值．【詳解】解：∵，分別為的中點，∴，∵分別為的中點，∴，∵分別為的中點，∴，……由此可得：，∴，故選C．【點睛】本題考查線段中點的有關(guān)計算，有理數(shù)的簡便運算，相對較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·北京順義·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O在直線上，過點O作射線，，．從下面的四個條件中任選兩個，可以推出的是（寫出一組滿足題意的序號）．①；②和互余；③；④．

【答案】①③（答案不唯一）【分析】例如添加①③，利用垂線的定義和同角的余角相等即可證明．【詳解】解：如選擇：①，③，∴，，∴，故答案為：①③（答案不唯一）．【點睛】本題考查了垂線的定義，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同角的余角相等．17．（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習(xí)）一副三角板如圖放置，當(dāng)∠1與∠2互余時，∠1的度數(shù)是.

【答案】/度【分析】根據(jù)余角的定義和性質(zhì)，得出，，即可求出．【詳解】解：∵∠1與∠2互余，∴，∵與互余，∴，∴，∵與互余，∴，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了余角的定義與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同角或等角的余角相等．18．（2023秋·廣東韶關(guān)·七年級?？计谀┖突パa，且，則，理由是．【答案】同角的補角相等【分析】根據(jù)互補的定義，即可進(jìn)行解答．相加等于的兩個角互補．【詳解】解：∵和互補，∴，∵，∴（同角的補角相等），故答案為：，同角的補角相等．【點睛】本題主要考查了互補的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相加等于的兩個角互補，同角的補角相等．19．（2023春·上海長寧·七年級校聯(lián)考期末）如圖，，比大，與互余，則．

【答案】【分析】設(shè)，表示出，根據(jù)與互余，，得出關(guān)于的等式，求解即可．【詳解】解：設(shè)，比大，，與互余，，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了互余的定義，一元一次方程，解題的關(guān)鍵是利用互余建立一元一次方程求解．20．（2023.成都市七年級期末）如圖，在同一平面內(nèi)，，則的度數(shù)為．【答案】65°或115°或165°【分析】分當(dāng)OC在∠AOB外部，OD在∠AOB內(nèi)部時，當(dāng)OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部時，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部，OD在∠AOB外部時，三種情況畫出圖形求解即可．【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)OC在∠AOB外部，OD在∠AOB內(nèi)部時，∵∠AOC=25°，∠COD=50°，∴∠AOD=25°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=65°；如圖2所示，當(dāng)OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部時，∵∠AOC=25°，∠COD=50°，∴∠AOD=75°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=165°；如圖3所示，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部，OD在∠AOB外部時，∵∠AOC=25°，∠COD=50°，∴∠AOD=25°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=115°；綜上所述，∠BOD的度數(shù)為65°或115°或165°．故答案為：65°或115°或165°．【點睛】本題主要考查了幾何中角度的計算，畫出對應(yīng)圖形是解題的關(guān)鍵．21．（2023·山東棗莊·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點，為線段上順次兩點，、分別是，的中點．（1）若，求的長；（2）若，，請用含有，的式子表示出的長．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)比例關(guān)系先求解出AC，BD，再根據(jù)中點的定義求解AM，BN，從而AB-AM-BN=MN即可計算；（2）根據(jù)題意可得AC+BD，從而結(jié)合中點的定義計算出MC+DN，則通過MC+CD+DN=MN即可計算．【詳解】（1）∵，，∴，，∵、分別是，的中點，∴，，∴，∴；（2）∵，，∴，∵、分別是，的中點，∴，，則，∴，∴．【點睛】本題考查了線段有關(guān)的計算問題，中點的定義，熟練根據(jù)題意確定出各線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．22．（2023.江西省南昌市七年級期末）問題：如圖，點C是線段的中點，點D在線段上，點E是線段的中點．若，求線段的長．請補全以下解答過程．解：∵點C是線段的中點，點E是線段的中點∴，，∵，∴___________，∵，∴___________．【答案】【分析】先由線段的中點意義得出，，再根據(jù)進(jìn)行代換可得，繼而求解即可．【詳解】解：∵點C是線段的中點，點E是線段的中點∴，，∵，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是兩點間的距離，線段的和差及線段的中點，解答此類問題時要注意各線段之間的和、差關(guān)系．23．（2023·四川綿陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點為線段上兩點，，點為線段的三等分點（靠近點），點，分別為，的中點．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）設(shè)，利用題中已給的關(guān)系和線段的和差表示CM和DN，即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)求得k的值，再用線段的和差表示，將k的值代入計算即可．【詳解】（1）設(shè)．如圖，因為為線段的三等分點（靠近點），所以．因為，所以．

又點分別為的中點，所以，所以，可得，所以；

（2）由（1）知因為，即，所以，又，所以．【點睛】本題考查了線段的中點和求兩點之間的距離，能正確表示各個線段的長度是解此題的關(guān)鍵．24．（2023·湖北武漢·七年級?？计谀?）如圖1，C、D為線段上兩點，若D為中點，，求的長；（2）如圖2，為內(nèi)兩條射線，，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求得，由中點的定義得到，再利用線段的和與差即可求解；（2）設(shè)，則，，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵D為中點，∴，∴；（2）設(shè)，∵，∴，∵，∴，依題意得，解得，∴．【點睛】本題考查兩點間的距離以及角的和差，利用線段中點的性質(zhì)，線段的和差，角的和差是解題關(guān)鍵．25．（2023·河南鄭州·七年級?？茧A段練習(xí)）問題：如圖，線段AC上依次有D，B，E三點，其中點B為線段AC的中點，AD=BE，若DE=4，求線段AC的長．請補全以下解答過程．解：∵D，B，E三點依次在線段AC上，∴DE=+BE∵AD=BE

∴DE=DB+（

），即DE=AB∵DE=4

∴AB=4又∵點B為線段AC的中點，∴AC==8

（

）【答案】DB；AD，等量代換；2AB，中點定義【分析】先根據(jù)AD=BE求出AB=DE，再根據(jù)線段的中點的定義解答即可；【詳解】∵D，B，E三點依次在線段AC上，∴DE=DB+BE，∵AD=BE，∴DE=DB+AD（等量代換），即DE=AB，∵DE=4，∴AB=4，又∵點B為線段AC的中點，∴AC=2AB=8（中點定義），故答案為：DB、AD、等量代換、2AB、中點定義；【點睛】本題考查了兩點間的距離，主要利用了線段中點的定義并著重訓(xùn)練同學(xué)們的邏輯推理能力；26．（2023秋·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期中）已知O為直線AB上的一點，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．(1)如圖1，①若∠COF＝20°，求∠BOE的度數(shù)；②若∠COF＝α，直接寫出∠BOE的度數(shù)；（用含α的式子表示）(2)如圖2，若∠COE處于圖2的位置，試探究∠BOE和∠COF之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)①40°②(2)∠BOE＝2∠COF，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)角平分線得出∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，結(jié)合題意得出∠EOF＝70°，再結(jié)合圖形即可得出結(jié)果；②方法與①類似；（2）由角平分線得出∠AOE＝2∠EOF，再結(jié)合圖形及各角之間的數(shù)量關(guān)系求解即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE.∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－20°＝70°.∴∠AOE＝2∠EOF＝140°.∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝180°－140°＝40°②∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE.∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－α∴∠AOE＝2∠EOF＝180°-2α.∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝2α；（2）∠BOE＝2∠COF.理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－∠COF∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝∠AOB－2∠EOF＝180°－2（90°－∠COF）＝2∠COF．【點睛】題目主要考查角平分線的定義及角度的計算，找準(zhǔn)圖中各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．27．（2023春·江蘇南通·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線相交于點O，過點O作平分．若，求的度數(shù)．【答案】70°【分析】根據(jù)角平分線的定義和對頂角相等解答即可．【詳解】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝20°，∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠EOF＝90°－20°＝70°．【點睛】本題主要考查了角的平分線和角的計算，涉及到的角有平角、直角；熟練掌握平角等于180度，直角等于90度，是解答本題的關(guān)鍵．28．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）小明同學(xué)做一道幾何題時，不小心漏了一些內(nèi)容，請你把空缺之處填完整：題目如下：如圖，直線交于O，平分，求的度數(shù)．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性質(zhì)）∵（

）∴__________________（等量代換）∵平分（已知）∴____________（角平分線的意義）∴（

）【答案】∠BOF；對頂角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代換．【分析】利用已知條件，進(jìn)行推理即可．【詳解】解：∵∠COB＝90°，∠COF＝58°（已知），∴∠BOF＝∠COB?∠COF＝32°（等式性質(zhì)），∵∠AOE＝∠FOB（對頂角相等），∴∠AOE＝32°（等量代換），∵OA平分∠DOE（已知）∴∠AOE＝∠AOD（角平分線的意義），∴∠DOE＝64°（等量代換）．故答案為：∠BOF；對頂角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代換．【點睛】本題考查的是證明的步驟和格式，解題關(guān)鍵是熟練掌握對頂角相等、等量代換、角平分線的意義．29．（2023秋·甘肅金昌·七年級?？计谀┤鐖D，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其補角的度數(shù)；（2）請求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補，并說明理由.【答案】（1）120°，60°；（2）∠DOE與∠AOB互補，理由見解析.【分析】（1）∠AOB的度數(shù)等于已知兩角的和，再根據(jù)補角的定義求解；（2）根據(jù)角平分線把角分成兩個相等的角，求出度數(shù)后即可判斷．【詳解】解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，其補角為180°-∠AOB=180°-120°=60°.（2）∠DOC=∠BOC=×70°=35°，∠AOE=∠AOC=×50°=25°.∠DOE與∠AOB互補.理由如下：∵∠DOC=35°，∠AOE=25°，∴∠DOE=∠DOC+∠COE=∠DOC+∠AOE=60°.∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，∴∠DOE與∠AOB互補.考點：補角的意義，互為補角的判斷30．（2023秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）已知，平分，平分．

(1)如圖1，若與重合，則__________________；(2)如圖2，，求的度數(shù)；(3)如圖3，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義知，，，據(jù)此求解得出答案，（2）根據(jù)角平分線的定義知，，再根據(jù)可得出答案，（3）根據(jù)角平分線的定義知，，，再根據(jù)可得答案．【詳解】（1），重合，,平分，平分，，，,故答案為：．（2）（2），平分，，同理，．（3），平分，，同理，．【點睛】本題主要考查角的和差關(guān)系和角平分線的定義、熟練掌握角的和差的表示以及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．31．（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）把下面的證明過程補充完整．已知：如圖，在中，，平分，為邊上一點，連接，交于點，且．求證：．證明：（已知）又（）（等量代換）平分（已知）（）（已知）（）（等量代換）（有兩個角互余的三角形是直角三角形）（垂直的定義）【答案】對頂角相等；角平分線定義；直角三角形兩個銳角互余；ADC【分析】根據(jù)對頂角性質(zhì)、角平分線性質(zhì)和直角三角形定義可推出∠ADC．【詳解】證明：（已知）又（對頂角相等）（等量代換）平分（已知）（角平分線定義）（已知）（直角三角形兩個銳角互余）（等量代換）ADC（有兩個角互余的三角形是直角三角形）（垂直的定義）故答案為：對頂角相等；角平分線定義；直角三角形兩個銳角互余；ADC【點睛】考核知識點：對頂角性質(zhì)、角平分線定義、直角三角形定義、垂直定義．理解垂直的定義和直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．32．（2023春·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中BD是邊AC上的高，∠ABC=128°，∠ABD=65°，點E在AC的延長線上，求∠BCE的度數(shù)．對于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB=．∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形兩銳角互余），∴∠BAD=．∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（），∴∠BCE=＋128°=（等量代換）．【答案】90°；25°；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；25°；153°．【分析】根據(jù)垂直的定義及直角三角形兩個銳角互余得出∠BAD=25°．再由三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB=90°．∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形兩銳角互余），∴∠BAD=25°．∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），∴∠BCE=25°＋128°=153°（等量代換）．故答案為：90°；25°；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；25°；153°．【點睛】題目主要考查垂直的定義及直角三角形兩個銳角互余