2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古烏蘭浩特高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古烏蘭浩特高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第三章第1節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線與直線垂直，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由垂直確定斜率為0，即可求解.因?yàn)橹本€與直線垂直,所以直線的斜率為0,所以.故選：D.2.已知，，，若，則（）A.-2 B.2 C.-4 D.4【正確答案】A【分析】由題意可以先求出，再由它們平行可以得到比例關(guān)系從而求出參數(shù)，由此即可得解.由題意，，因?yàn)椋?，解得，，所?故選：A.3.已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意，建立方程組，可得答案.由題意可得，解得.故選：B.4.圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【正確答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法求得正確答案.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)?，所以圓與圓內(nèi)切.故選：D5.已知點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)的直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求得斜率，結(jié)合圖象即可求解.直線過(guò)定點(diǎn)，且直線與線段相交，由圖象知，或，則紏率的取值范圍是.故選：A6.在四面體中，點(diǎn)E滿(mǎn)足F為BE的中點(diǎn)，且則實(shí)數(shù)λ=（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由空間向量線性和基本定理運(yùn)算可解.由F為BE的中點(diǎn)，得又所以，由得即所以故選：D7.某市舉辦青少年機(jī)器人大賽，組委會(huì)設(shè)計(jì)了一個(gè)正方形場(chǎng)地（邊長(zhǎng)為8米）如圖所示，，，分別是，，的中點(diǎn)，在場(chǎng)地中設(shè)置了一個(gè)半徑為米的圓，圓與直線相切于點(diǎn).比賽中，機(jī)器人從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)線段上一點(diǎn)，然后再到達(dá)圓，則機(jī)器人走過(guò)的最短路程是（）A.米 B.米 C.米 D.米【正確答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線方程為，得到點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，所以即為機(jī)器人走過(guò)的最短路程，利用兩點(diǎn)間距離公式求出答案.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)直線的方程為，將代入得，故直線方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，故，連接，與交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，則，所以即為機(jī)器人走過(guò)的最短路程，其中，故.故選：A8.已知離心率為的橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長(zhǎng)為，直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓A. B.C. D.【正確答案】B【分析】分析可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可得出直線的斜率，進(jìn)而可求得該直線的方程.由題意可得，解得，所以，橢圓方程為，因?yàn)?，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則為的中點(diǎn)，所以，，，若直線軸時(shí)，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，因?yàn)?，這兩個(gè)等式作差可得，即，可得，因此，直線的方程為，即.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線與直線平行，則的值可以是（）A.0 B.2 C. D.4【正確答案】AB【分析】利用兩直線平行，得出斜率相等，進(jìn)而求解.因?yàn)閮芍本€平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，當(dāng)時(shí)兩直線重合，舍去.故選.10.已知點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且不與的頂點(diǎn)重合的兩點(diǎn)，分別是的左?右焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，則（）A.的離心率為B.C.的值可以為3D.若的面積為，則【正確答案】AD【分析】A選項(xiàng)，求出；B選項(xiàng)，由對(duì)稱(chēng)性和橢圓定義可判斷，C先設(shè)，計(jì)算出，從而得到即可判斷；D選項(xiàng)，由三角形面積求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到，即可判斷.對(duì)于A，橢圓中，，離心率為，A正確；對(duì)于B，由對(duì)稱(chēng)性可得，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)且，則，故，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不妨設(shè)在第一象限，Ax0,y0，則，得，則則，故，故D正確.故選：AD.11.已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為B.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為C.當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)與平行的一條直線的方程為D.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用垂徑定理和勾股定理即可求得弦長(zhǎng)；對(duì)于B，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求得切線方程，要注意切線斜率不存在的情況；對(duì)于C，利用平行線之間的距離公式計(jì)算即得；對(duì)于D，結(jié)合圖形易得，再根據(jù)圓的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求得直線的斜率即可求出其方程.圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的半徑.對(duì)于，如圖，直線的方程為0，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，故直線被圓截得的弦長(zhǎng)為故A正確；對(duì)于B，如圖，圓的過(guò)點(diǎn)的切線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，由，解得，此時(shí)切線方程為，另一條切線是斜率不存在的直線故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)與平行的一條直線，即為與直線距離為2的圓的切線.因直線的斜率為2，可設(shè)該切線方程為，又直線的直線方程為，則可得解得故C正確；對(duì)于D，如圖，連接,易得過(guò)點(diǎn)的切線所在直線方程為，故，又由圓的對(duì)稱(chēng)性可知,因,則,故直線的方程為，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓左，右頂點(diǎn)分別為A，，上頂點(diǎn)為，則直線，的斜率之積為_(kāi)_________．【正確答案】##【分析】利用橢圓的性質(zhì)及兩點(diǎn)斜率公式計(jì)算即可.由題意知，，，所以，即直線，的斜率之積為．故13圓：與圓：相交于、兩點(diǎn)，則_________．【正確答案】4【分析】先求出相交弦所在直線的方程，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的求法求解即可.由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以.故4.14.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別是底面、側(cè)面的中心，點(diǎn)分別是棱，所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)探索兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，確定最小時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè),則，因?yàn)?所以,即，所以,又,則，當(dāng)時(shí),取得最小值，此時(shí),即，所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即,令,解得,所以,則點(diǎn)到平面的距離為故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，，.（1）求直線的方程及的面積；（2）求的外接圓的方程.【正確答案】（1）；9（2）【分析】（1）由兩點(diǎn)式即可求出直線的方程，求出及點(diǎn)到直線的距離，即可求的面積；（2）設(shè)的外接圓的方程，將，，代入即可求.【小問(wèn)1詳解】直線的方程為，即，因?yàn)椋c(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)的外接圓的方程為，由題意，解得，所以的外接圓的方程為.16.如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中是圓錐的高，是圓錐底面的一條直徑，，，是的中點(diǎn)．（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與所成的角為，計(jì)算，,通過(guò)計(jì)算即可；（2）由（1）得，設(shè)直線與平面所成的角為，計(jì)算平面法向量，則通過(guò)計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，的方向分別作為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，．設(shè)直線與所成的角為，則，即直線與所成角的余弦值是．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，設(shè)平面的法向量為，則取，得，所以平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17.已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的坐標(biāo).【正確答案】（1）（2）或或或.【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)及半焦距得出即可求出橢圓方程；（2）利用點(diǎn)在橢圓上及解方程組得解.【小問(wèn)1詳解】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，半焦距.又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，故橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，則，即，聯(lián)立，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或18.如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等為的中點(diǎn)．（1）證明：AB⊥平面CDC1；（2）設(shè)·，求二面角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積公式計(jì)算可得進(jìn)而可得，通過(guò)等腰三角形性質(zhì)，能證明結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明AB⊥平面CDC1；（2）以為原點(diǎn)OB，OB1，OC所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，求，再根據(jù)公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：由，得由余弦定理，得因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又所以又平面所以平面【小問(wèn)2詳解】由（1）知，平面又平面所以又所以則四邊形為正方形．由得又所以則所以四棱錐為正四棱錐．連接則設(shè)連接易證平面以為原點(diǎn)OB，OB1，OC所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則所以設(shè)平面的法向量為由取解得所以設(shè)平面的法向量為由取解得所以所以故二面角的正弦值為19.給定橢圓:，我們稱(chēng)橢圓為橢圓的“伴隨橢圓”.已知，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，等腰的面積為，且頂角的余弦值為（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），直線與橢圓的“伴隨橢圓”交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓的“伴隨橢圓”交于，兩點(diǎn)，證明:為定值．【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得，結(jié)合面積可得，聯(lián)立即可求解；（2）根據(jù)已知解設(shè)出Px0,y0，直線和的