青海省西寧市六校2025屆高三下第一次測試數學試題含解析

青海省西寧市六校2025屆高三下第一次測試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．2．平行四邊形中，已知，，點、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．3．《周易》歷來被人們視作儒家群經之首，它表現了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數的思想方法．我們用近代術語解釋為：把陽爻“-”當作數字“1”，把陰爻“--”當作數字“0”，則八卦所代表的數表示如下：卦名符號表示的二進制數表示的十進制數坤0000震0011坎0102兌0113依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進制數是（）A．18 B．17 C．16 D．154．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．5．i是虛數單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．156．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為A． B． C．2 D．7．一個頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在上的頻率為，則估計樣本在、內的數據個數共有（）A． B． C． D．8．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．9．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．10．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．111．已知函數，則（）A．1 B．2 C．3 D．412．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數為________________．14．若橢圓：的一個焦點坐標為，則的長軸長為_______．15．西周初數學家商高在公元前1000年發(fā)現勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現早于畢達哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數稱為勾股數.現從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數中隨機抽取3個數，則這3個數能構成勾股數的概率為__________．16．若為假，則實數的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下：等級不合格合格得分頻數624（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數和中位數；（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談．現再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數學期望．18．（12分）已知，.（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）的三個內角、、所對邊分別為、、，若且，求面積的取值范圍.19．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求角的大?。唬?）若，求邊長.20．（12分）已知如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，AEBD于E，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示。（Ⅰ）求證：AE平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比（只需寫出結果，不要求過程）．21．（12分）某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝，再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數量，為此參考了根據100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中表1是根據100個一級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表，圖2是根據200個二級過濾器更換的濾芯個數制成的條形圖.表1：一級濾芯更換頻數分布表一級濾芯更換的個數89頻數6040圖2：二級濾芯更換頻數條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16的概率；（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的二級濾芯總數，求的分布列及數學期望；（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數.若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定的值.22．（10分）某市調硏機構對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調查，抽調了50名市民，他們月收入頻數分布表和對“樓市限購令”贊成人數如下表：月收入（單位：百元）頻數51055頻率0.10.20.10.1贊成人數4812521（1）若所抽調的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成頻率分布直方圖．（2）若從收入（單位：百元）在的被調查者中隨機選取2人進行追蹤調查，選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”，求的分布列與數學期望．（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”，根據表格數據，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請直接寫出你的判斷結果．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以，又因為.所以.故選：A.【點睛】本題考查集合間的基本運算，涉及到解一元二次不等式、指數不等式，是一道容易題.2、C【解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關鍵，是基礎題.3、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進制數字010001，將其轉化為十進制數即可.【詳解】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數字010001，轉化為十進制數的計算為1×20+1×24=1．故選：B．【點睛】本題主要考查數制是轉化，新定義知識的應用等，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.4、A【解析】

畫圖取的中點M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.5、B【解析】，∴，選B．6、A【解析】由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A．7、B【解析】

計算出樣本在的數據個數，再減去樣本在的數據個數即可得出結果.【詳解】由題意可知，樣本在的數據個數為，樣本在的數據個數為，因此，樣本在、內的數據個數為.故選：B.【點睛】本題考查利用頻數分布表計算頻數，要理解頻數、樣本容量與頻率三者之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.8、C【解析】

可根據題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數量積的性質，化簡為三角函數最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C【點睛】本題主要考查根據已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關鍵點.本題屬中檔題.9、A【解析】

先根據已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.10、D【解析】

由已知結合向量垂直的坐標表示即可求解．【詳解】因為，且，，則．故選：．【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．11、C【解析】

結合分段函數的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數的值,考查了分段函數的性質,考查運算求解能力,屬于基礎題.12、A【解析】

設坐標，根據向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設，，其中，，即關于軸對稱故選：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數量積運算；關鍵是利用動點坐標表示出變量，根據平面向量數量積的坐標運算可整理得軌跡方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

在二項展開式的通項中令的指數為，求出參數值，然后代入通項可得出結果.【詳解】的展開式的通項為，令，因此，的展開式中的系數為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數的求解，涉及二項展開式通項的應用，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

由焦點坐標得從而可求出，繼而得到橢圓的方程，即可求出長軸長.【詳解】解：因為一個焦點坐標為，則，即，解得或由表示的是橢圓，則，所以，則橢圓方程為所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略，從而未對的兩個值進行取舍.15、【解析】

由組合數結合古典概型求解即可【詳解】從11個數中隨機抽取3個數有種不同的方法，其中能構成勾股數的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【點睛】本題考查古典概型與數學文化，考查組合問題，數據處理能力和應用意識.16、【解析】

由為假，可知為真，所以對任意實數恒成立，求出的最小值，令即可.【詳解】因為為假，則其否定為真，即為真，所以對任意實數恒成立，所以.又，當且僅當，即時，等號成立，所以.故答案為：.【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題間的關系的應用，利用參變分離是解決本題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）64，65；（2）；（3）.【解析】

（1）根據頻率分布直方圖及其性質可求出，平均數，中位數；（2）設“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件，由條件概率公式可求出；（3）從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談，其中“不合格”的學生數為，“合格”的學生數為6；由題意可得，5，10，15，1，利用“超幾何分布”的計算公式即可得出概率，進而得出分布列與數學期望．【詳解】由題意知，樣本容量為，．（1）平均數為，設中位數為，因為，所以，則，解得．（2）由題意可知，分數在內的學生有24人，分數在內的學生有12人．設“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件，則，所以．（3）在評定等級為“合格”和“不合格”的學生中用分層抽樣的方法抽取10人，則“不合格”的學生人數為，“合格”的學生人數為．由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1．，．所以的分布列為0510151．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質、分層抽樣、超幾何分布列及其數學期望，考查了計算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式為，然后解不等式，可求得函數的單調遞增區(qū)間；（2）由求得，利用余弦定理結合基本不等式求出的取值范圍，再結合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】（1），解不等式，解得.因此，函數的單調遞增區(qū)間為；（2）由題意，則，，，，解得.由余弦定理得，又，，當且僅當時取等號，所以，的面積.【點睛】本題考查正弦型函數單調區(qū)間的求解，同時也考查了三角形面積取值范圍的計算，涉及余弦定理和基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）把代入已知條件，得到關于的方程，得到的值，從而得到的值.（2）由（1）中得到的的值和已知條件，求出，再根據正弦定理求出邊長.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，即.因為，所以，因為，所以.（2）.在中，由正弦定理得，所以，解得.【點睛】本題考查三角函數公式的運用，正弦定理解三角形，屬于簡單題.20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5【解析】

（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，AE⊥BD于E，能證明AE⊥平面BCD;（Ⅱ）以E為坐標原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;（Ⅲ）利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積，再作比寫出答案即可．【詳解】（Ⅰ）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD，∴AE⊥平面BCD．（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，由題意知EF⊥BD，又AE⊥BD，如圖，以E為坐標原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標系E-xyz，設AB=BD=DC=AD=2，

則BE=ED=1，∴AE=，BC=2，BF=，則E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），

F（，0，0），C（，2，0），，，由AE⊥平面BCD知平面BCD的一個法向量為，設平面ADC的一個法向量，則，取x=1，得，∴，∴二面角A-DC-B的平面角為銳角，故余弦值為．

（Ⅲ）三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比為：1:5.【點睛】本題考查線面垂直的證明、幾何體體積計算、二面角有關的立體幾何綜合題，屬于中等題.21、（1）0.024；（2）分布列見解析，；（3）【解析】

（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，而由一級濾芯更換頻數分布表和二級濾芯更換頻數條形圖可知，一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二級濾芯更換頻數條形圖可知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，而的可能取值為8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及數學期望；（3）由，且，可知若，則，或若，則，再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】（1）由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16”為事件，因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，所以.（2）由柱狀圖知