2025屆云南省瀾滄縣第一中學高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2025屆云南省瀾滄縣第一中學高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，，則A． B． C． D．2．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．如圖，在直三棱柱中，，，點分別是線段的中點，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．5．若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對于樣本，下列結論正確的是（）A．平均數(shù)為20，方差為4 B．平均數(shù)為11，方差為4C．平均數(shù)為21，方差為8 D．平均數(shù)為20，方差為86．在中，，，分別為角，，的對邊，若的面為，且，則（）A．1 B． C． D．7．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點，則的最大值為A．2 B． C． D．8．已知函數(shù)，，若對任意的總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（）A．1 B． C． D．9．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．510．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．412．設，隨機變量的分布列是01則當在內(nèi)增大時，（）A．減小，減小 B．減小，增大C．增大，減小 D．增大，增大二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件，則的最小值為__________.14．設隨機變量服從正態(tài)分布,若，則的值是______．15．拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為________．16．實數(shù)，滿足，如果目標函數(shù)的最小值為，則的最小值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，為其中心，為銳角三角形，且平面底面，為的中點，.（1）求證:平面；（2）求證:.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點，點P(2,1)，求|PA|?|PB|的值.19．（12分）已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．（1）求cosC的值；（2）若a＝3，c，求△ABC的面積．20．（12分）等差數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請選擇一個可能的組合，并求數(shù)列的通項公式；（2）記（1）中您選擇的的前項和為，判斷是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若有，請求出的值；若沒有，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若關于的不等式在區(qū)間內(nèi)無解，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點P在底面上的射影為的中點G，點E在線段上，且.（1）求證：平面.（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

解一元次二次不等式得或，利用集合的交集運算求得.【詳解】因為或，，所以，故選C.【點睛】本題考查集合的交運算，屬于容易題.2、B【解析】

由已知向量的坐標，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結果.【詳解】解：由題意得，設與的夾角為，，由于向量夾角范圍為：，∴.故選：B.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.3、A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結合和的離心率之積為，即可得的關系，進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡可得，故選：A.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.4、D【解析】

過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因為，，所以，即過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．【點睛】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．5、D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關系,可判斷二者平均數(shù)的關系,方差的關系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.6、D【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進行化簡求出的值，然后利用兩角和差的正弦公式進行求解即可．【詳解】解：由，得，∵，∴，即即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【點睛】本題主要考查解三角形的應用，結合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進行計算是解決本題的關鍵．7、C【解析】

設出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據(jù)判別式大于0求得t的范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】解：設直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長|AB|＝4．故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，判別式找到解決問題的突破口．8、C【解析】

對任意的總有恒成立，因為，對恒成立，可得，令，可得，結合已知，即可求得答案.【詳解】對任意的總有恒成立，對恒成立，令，可得令，得當，當，，故令，得當時，當，當時，故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題，解題關鍵是掌握不等式恒成立的解法和導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考查了分析能力和計算能力,屬于難題.9、C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復數(shù)的代數(shù)運算，復數(shù)相等的充要條件，復數(shù)的模10、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當，，將問題轉化為的零點問題，用數(shù)形結合的方法研究.【詳解】當時，，令，在是增函數(shù)，時，有一個零點，當時，，令當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當時，有2個零點，如圖所示：所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結合的思想和轉化問題的能力，屬于中檔題.11、C【解析】

由二項式系數(shù)性質，的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算．【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為，．故選：C．【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質，掌握二項式系數(shù)性質是解題關鍵．12、C【解析】

，，判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可．【詳解】解：根據(jù)題意在內(nèi)遞增，，是以為對稱軸，開口向下的拋物線，所以在上單調(diào)遞減，故選：C．【點睛】本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出約束條件所表示的可行域，利用直線截距的幾何意義，即可得答案.【詳解】畫出可行域易知在點處取最小值為.故答案為：【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的最值，考查數(shù)形結合思想，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、1【解析】

由題得，解不等式得解.【詳解】因為，所以，所以c=1.故答案為1【點睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.15、【解析】

設拋物線上任意一點的坐標為，根據(jù)拋物線的定義求得，并求出對應的，即可得出結果.【詳解】設拋物線上任意一點的坐標為，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義得，解得，此時.因此，拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查利用拋物線的定義求點的坐標，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的最小值為，確定出的值，進而確定出C點坐標，結合目標函數(shù)幾何意義，從而求得結果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi)，由得可知，直線的截距最大時，取得最小值，此時直線為，作出直線，交于A點，由圖象可知，目標函數(shù)在該點取得最小值，所以直線也過A點，由，得，代入，得，所以點C的坐標為．等價于點與原點連線的斜率，所以當點為點C時，取得最小值，最小值為，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題，在解題的過程中，注意正確畫出約束條件對應的可行域，根據(jù)最值求出參數(shù)，結合分式型目標函數(shù)的意義求得最優(yōu)解，屬于中檔題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）通過證明，即可證明線面平行；（2）通過證明平面，即可證明線線垂直.【詳解】（1）連，因為為平行四邊形，為其中心，所以，為中點，又因為為中點，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以，.【點睛】此題考查證明線面平行和線面垂直，通過線面垂直得線線垂直，關鍵在于熟練掌握相關判定定理，找出平行關系和垂直關系證明.18、（1）直線的普通方程，圓的直角坐標方程：.（2）【解析】

（1）直接利用轉換關系的應用，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關系式即可求解.【詳解】（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉換為直角坐標方程為x+y﹣3＝0.圓C的極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ＝3，轉換為直角坐標方程為x2+y2﹣4x﹣3＝0.（2）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓的直角坐標方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，得到，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.19、（1）；（2）或．【解析】

（1）利用正弦定理對已知代數(shù)式化簡，根據(jù)余弦定理求解余弦值；（2）根據(jù)余弦定理求出b＝1或b＝3，結合面積公式求解.【詳解】（1）已知等式3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化簡得：3a2+3b2﹣3c2＝4ab，即a2+b2﹣c2ab，∴cosC；（2）把a＝3，c，代入3a2+3b2﹣3c2＝4ab得：b＝1或b＝3，∵cosC，C為三角形內(nèi)角，∴sinC，∴S△ABCabsinC3×bb，則△ABC的面積為或．【點睛】此題考查利用正余弦定理求解三角形，關鍵在于熟練掌握正弦定理進行邊角互化，利用余弦定理求解邊長，根據(jù)面積公式求解面積.20、（1）見解析，或；（2）存在，.【解析】

（1）滿足題意有兩種組合：①，，，②，，，分別計算即可；（2）由（1）分別討論兩種情況，假設存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，即，解方程是否存在正整數(shù)解即可.【詳解】（1）由題意可知：有兩種組合滿足條件：①，，，此時等差數(shù)列，，，所以其通項公式為.②，，，此時等差數(shù)列，，，所以其通項公式為.（2）若選擇①，.則.若，，成等比數(shù)列，則，即，整理，得，即，此方程無正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列.若選則②，，則，若，，成等比數(shù)列，則，即，整理得，因為為正整數(shù)，所以.故存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和，涉及到等比數(shù)列的性質，是一道中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）只需分，，三種情況討論即可；（2）在區(qū)間上恒成立，轉化為，只需求出即可.【詳解】（1）當時，，此時不等式無解；當時，，由得；當時，，由得，綜上，不等式的解集為；（2）依題意，在區(qū)間上恒成立，則，當時，；當時，，所以當時，，由得或，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題，考查學生分類討論與轉化與化歸的思想，是一道基礎題.22、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由等腰梯形的性質可證得,由射影可得平面,進而求證；（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標