專題9.2 二項(xiàng)式定理（解析版）

專題9.2二項(xiàng)式定理目錄題型一：求(a＋b)n形式的“特定項(xiàng)” 3題型二：求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定項(xiàng) 5題型三：三項(xiàng)式的展開(kāi)式 7題型四：“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”的最值問(wèn)題 8題型五：“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”的和 10知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)展開(kāi)式Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，是展開(kāi)式中的第k＋1項(xiàng)，可記做Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－k·bk(k＝0,1,2，…，n)二項(xiàng)式系數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＝C\o\al(n－m,n))得到.直線r＝eq\f(n,2)將函數(shù)f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的圖象分成對(duì)稱的兩部分，它是圖象的對(duì)稱軸.(2)增減性與最大值：當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而增大；當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而減少.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么其展開(kāi)式中間一項(xiàng)，即Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n,2)＋1))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么其展開(kāi)式中間兩項(xiàng)Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n＋1,2)))與Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n＋1,2)＋1))的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.楊輝三角的性質(zhì)(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數(shù)列1,2,3,4，…，第三層(含1,3)是三角形數(shù)列1,3,6,10,15，….(2)對(duì)稱性：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(3)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).(4)第n行奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….(5)第n行所有數(shù)的和為2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(6)自左(右)腰上的某個(gè)1開(kāi)始平行于右(左)腰的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜左(右)下方的那個(gè)數(shù)．例題精講例題精講求(a＋b)n形式的“特定項(xiàng)”【要點(diǎn)講解】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：①求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫出第k＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出k值即可；②已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)值，再由通項(xiàng)寫出第k＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出k值，最后求出其系數(shù).注意“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為24．【解答】解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，1，2，3，4，令，解得，所以的系數(shù)為．故答案為：24．若的展開(kāi)式中共有個(gè)有理項(xiàng)，則的值是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：，，1，2，3，4，5，6，7，8，當(dāng)，4，8時(shí)，，，為有理項(xiàng)，故．故選：．“”是“的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【解答】解：由題意，展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，當(dāng)時(shí)，，展開(kāi)式的第五項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，充分性成立；當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，如，，故必要性不成立，所以“”是“的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)”的充分不必要條件．故選：．已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0，則展開(kāi)式中的系數(shù)為A．28 B． C．45 D．【解答】解：令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，解得，所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為．故選：．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是A．6 B． C． D．12【解答】解：因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，則，所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．故選：．在的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和是16，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)A．15 B．54 C．12 D．【解答】解：由于二項(xiàng)式系數(shù)的和是16，故，解得，故，當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．故選：．的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，故展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是．故選：．求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定項(xiàng)已知展開(kāi)式中的系數(shù)為48，則實(shí)數(shù)A．1 B． C．2 D．【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，1，，令，則，令，則，展開(kāi)式中的系數(shù)為，解得．故選：．展開(kāi)式中含的系數(shù)是A．28 B． C．84 D．【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，1，2，，9，當(dāng)選取時(shí)，由已知可得，應(yīng)選取展開(kāi)式中含的項(xiàng)，由，可得；當(dāng)選取時(shí)，由已知可得，應(yīng)選取展開(kāi)式中含的項(xiàng)，由，可得；當(dāng)選取1時(shí)，由已知可得，應(yīng)選取展開(kāi)式中含的項(xiàng)，由，可得，所以展開(kāi)式中含的系數(shù)是．故選：．展開(kāi)式中的系數(shù)為A．56 B． C．64 D．【解答】解：的二項(xiàng)展開(kāi)式滿足，當(dāng)時(shí)，系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，系數(shù)為，故展開(kāi)式中的系數(shù)為．故選：．二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為A．120 B．135 C． D．【解答】解：二項(xiàng)式，故它的展開(kāi)式中的系數(shù)．故選：．已知的所有項(xiàng)的系數(shù)和為3，則的系數(shù)為A．80 B．40 C． D．【解答】解：由題意令中即可得到，解得，此時(shí)變?yōu)榱?，若要得到這一項(xiàng)分以下兩種情形：情形一：第一步若取中的，則第二步只能取1個(gè)中的，取3個(gè)中的，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形一所對(duì)應(yīng)的的系數(shù)為；情形二：第一步若取中的，則第二步能取2個(gè)中的，取2個(gè)中的，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形二所對(duì)應(yīng)的的系數(shù)為．因此由分類加法計(jì)數(shù)原理可知的展開(kāi)式中的系數(shù)為．故選：．三項(xiàng)式的展開(kāi)式【要點(diǎn)講解】某些三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開(kāi)問(wèn)題，根據(jù)式子的特點(diǎn)，可通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解.轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為A．60 B．15 C．120 D．30【解答】解：在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為，故含的系數(shù)為，故選：．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為A． B．60 C． D．120【解答】解：因?yàn)?，所以的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，則的系數(shù)為．故選：．的展開(kāi)式為多項(xiàng)式，其展開(kāi)式經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有A．72項(xiàng) B．75項(xiàng) C．78項(xiàng) D．81項(xiàng)【解答】解：由題設(shè)，多項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)形式為，且，，，且都為整數(shù)），故問(wèn)題等價(jià)于將2個(gè)隔板和11個(gè)小球分成三組，即．故選：．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是A．24 B．32 C．36 D．40【解答】解：根據(jù)題意，的項(xiàng)為：．故的系數(shù)是40．故選：．“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”的最值問(wèn)題【要點(diǎn)講解】求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)，如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)（第eq\f(n＋1,2)項(xiàng)與第eq\f(n＋1,2)＋1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.已知的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解答】解：展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則該展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)，若求系數(shù)的最小值，則為奇數(shù)且，解得，系數(shù)的最小值為．故選：．的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為A．112 B．448 C．896 D．1792【解答】解：該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，由，可得．因?yàn)?，所以展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為．故選：．設(shè)為正整數(shù)，的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由題知，（2），因?yàn)榇嬖诔?shù)項(xiàng)，所以，所以，為正整數(shù)，故時(shí)，最小，為3，故選：．已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求的展開(kāi)式中：（1）所有二項(xiàng)式系數(shù)之和．（2）系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．【解答】解：的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，解得，（1）的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為；（2）的展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)，即的展開(kāi)式中系數(shù)的最大的項(xiàng)，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，即，解得，，，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為．已知．（1）若其展開(kāi)式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求；（2）若展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，求的最小值．【解答】解：（1）由題意，；（2）展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，時(shí)，有最小正整數(shù)值5．“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”的和【要點(diǎn)講解】(1)①“賦值法”普遍運(yùn)用于恒等式，是一種處理二項(xiàng)式相關(guān)問(wèn)題比較常用的方法.對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可；對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).(2)對(duì)于展開(kāi)式中含有(m＋x)因式的展開(kāi)問(wèn)題的一般策略是①“換元法”，即令(m＋x)＝t，則x＝t－m，再將x＝t－m代入，即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二項(xiàng)式，進(jìn)而求解；②“整體代入”法，實(shí)質(zhì)是和“換元法”一致的，即將(m＋x)看成一個(gè)“因子”，左右兩端都轉(zhuǎn)化為有(m＋x)的因式即可求解．已知．（1）求的值；（2）求的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)．【解答】解：（1）令得，①令得，②，①②得，即；（2）由題知展開(kāi)式通項(xiàng)為，則，，所以的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)．已知，其中．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的值．【解答】解：（1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式，當(dāng)時(shí)，，解得；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故．已知在的展開(kāi)式中，前3項(xiàng)的系數(shù)分別為，，，且滿足．（Ⅰ）求展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；（Ⅱ）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（Ⅲ）求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)．【解答】解：的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：，，1，2，，則，，，，解得，（Ⅰ）展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；（Ⅱ）記第項(xiàng)系數(shù)為，記第項(xiàng)系數(shù)最大，則有，且，又，于是，解得，所以系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)；（Ⅲ）通項(xiàng)，令，1，2，，所以只有當(dāng)，6時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)才為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)為，．從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，再解決補(bǔ)充完整的題目．已知，且的二項(xiàng)展開(kāi)式中，____．（1）求的值；（2）①求二項(xiàng)展開(kāi)式的中間項(xiàng)；②求的值．【解答】解：（1）若選擇①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是，則有，化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．若選擇②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36，則有，化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二項(xiàng)展開(kāi)式的中間項(xiàng)為．②易知，、、、、為正數(shù)，、、、為負(fù)數(shù)．在中，令，可得．再令，可得，．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，_______，給出下列條件：①若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；②所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256；③若展開(kāi)式中第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．試在上面三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并且完成下列問(wèn)題：（1）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．（備注：如果多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分）【解答】解：選擇①：，即，即，解得或（舍去）．選擇②：，即，解得．選擇