專題12 幾何初步與平行線【考點(diǎn)精講】（解析版）

專題12幾何初步與平行線1．直線、射線、線段與角（1）直線：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，直線是向兩方無(wú)限延伸的，直線沒有端點(diǎn).（2）射線：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線，這點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn)，射線向一方無(wú)限延伸，射線只有一個(gè)端點(diǎn).（3）線段：直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，線段有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)短之分，將某一線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)叫做該線段的中點(diǎn).（4）兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間線段最短，兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的距離.（5）1°=60'，1'=60″.（6）1周角=2平角=4直角=360°.（7）余角、補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于90°，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，同角或等角的余角相等；如果兩個(gè)角的和等于180°，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，同角或等角補(bǔ)角相等.2.對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線,則稱這兩個(gè)角是對(duì)頂角,對(duì)頂角相等.3.角平分線：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.

4.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.5.垂線段公理：直線外一點(diǎn)與已知線段連接的所有線段中，垂線段最短.

6.線段垂直平分線（1）線段垂直平分線的定義：垂直平分一條線段的直線叫做線段的垂直平分線.（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

7.平行線（1）過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行.（2）平行線的性質(zhì):①兩條直線平行，同位角相等;

②兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;

③兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

（3）平行線的判定:①同位角相等，兩條直線平行;

②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行;

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行.

【考點(diǎn)1】直線、射線、線段（1）直線沒有端點(diǎn)，射線有1個(gè)端點(diǎn)，線段有2端點(diǎn)。（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，簡(jiǎn)述為兩點(diǎn)確定一條直線。（3）兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，簡(jiǎn)述為兩點(diǎn)之間線段最短。（4）兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離?？键c(diǎn)例題【例1】如圖，已知三點(diǎn)A、B、C．（1）請(qǐng)讀下列語(yǔ)句，并分別畫出圖形①畫直線AB；②畫射線AC；③連接BC．（2）在（1）的條件下，圖中共有條射線．（3）從點(diǎn)C到點(diǎn)B的最短路徑是，依據(jù)是．【分析】（1）按題意，直接作圖即可．（2）根據(jù)射線的定義進(jìn)行判斷，寫出即可．（3）根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）如圖所示：直線AB、射線AC、線段BC即為所求．（2）圖中共有3+2+1＝6條射線．（3）最短路徑是CB，依據(jù)：兩點(diǎn)間線段最短．故答案為：6；CB，兩點(diǎn)間線段最短．【例2】請(qǐng)你判斷下列兩個(gè)生活情景所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理．情景一：如圖，小明家到學(xué)校有3條路可走，一般情況下，小明通常走第二條路，其中的數(shù)學(xué)道理是．情景二：同學(xué)們做體操時(shí)，為了保證一隊(duì)同學(xué)站成一條直線，先讓兩個(gè)同學(xué)站好不動(dòng)，其他同學(xué)依次往后站，要求目視前方只能看到各自前面的那個(gè)同學(xué)，請(qǐng)你說(shuō)明其中的道理：．【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)和直線的性質(zhì)填空即可．【解西】解：情景一：如圖，小明家到學(xué)校有3條路可走，一般情況下，小明通常走第二條路，其中的數(shù)學(xué)道理是兩點(diǎn)之間線段最短；故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；情景二：同學(xué)們做體操時(shí)，為了保證一隊(duì)同學(xué)站成一條直線，先讓兩個(gè)同學(xué)站好不動(dòng)，其他同學(xué)依次往后站，要求目視前方只能看到各自前面的那個(gè)同學(xué)，請(qǐng)你說(shuō)明其中的道理：兩點(diǎn)確定一條直線，故答案為：兩點(diǎn)確定一條直線．1．（2021·浙江臺(tái)州市）小光準(zhǔn)備從A地去往B地，打開導(dǎo)航、顯示兩地距離為37.7km，但導(dǎo)航提供的三條可選路線長(zhǎng)卻分別為45km，50km，51km（如圖）．能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．兩點(diǎn)確定一條直線【答案】A【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)即可求解．【解析】解：兩地距離顯示的是兩點(diǎn)之間的線段，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以導(dǎo)航的實(shí)際可選路線都比兩地距離要長(zhǎng)，故選：A．2．如圖，在平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)．（1）畫直線AB，射線AC，線段BC；（2）在線段BC上任取一點(diǎn)D（不同于B，C），連接AD，并延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD；（3）數(shù)一數(shù)，此時(shí)圖中線段共有條．【分析】（1）依據(jù)直線、射線、線段的定義，即可得到直線AB，線段BC，射線AC；（2）依據(jù)在線段BC上任取一點(diǎn)D（不同于B，C），連接線段AD即可；（3）根據(jù)圖中的線段為AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到圖中線段的條數(shù)．【解析】解：（1）如圖，直線AB，線段BC，射線AC即為所求；（2）如圖，線段AD和線段DE即為所求；（3）由題可得，圖中線段的條數(shù)為8，故答案為：8．3．已知平面上點(diǎn)A，B，C，D（每三點(diǎn)都不在一條直線上）．（1）經(jīng)過(guò)這四點(diǎn)最多能確定條直線．（2）如圖這四點(diǎn)表示公園四個(gè)地方，如果點(diǎn)B，C在公園里湖對(duì)岸兩處，A，D在湖面上，要從B到C筑橋，從節(jié)省材料的角度考慮，應(yīng)選擇圖中兩條路中的哪一條？如果有人想在橋上較長(zhǎng)時(shí)間觀賞湖面風(fēng)光，應(yīng)選擇哪一條？為什么？【分析】（1）兩點(diǎn)確定一條直線，即可得出經(jīng)過(guò)這四點(diǎn)最多能確定6條直線；（2）依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）經(jīng)過(guò)這四點(diǎn)最多能確定6條直線：直線AB，直線AD，直線BC，直線CD，直線AC，直線BD，故答案為：6；（2）從節(jié)省材料的角度考慮，應(yīng)選擇圖中路線2；如果有人想在橋上較長(zhǎng)時(shí)間觀賞湖面風(fēng)光，應(yīng)選擇路線1，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短，路線2比路線1短，可以節(jié)省材料；而路線1較長(zhǎng)，可以在橋上較長(zhǎng)時(shí)間觀賞湖面風(fēng)光．【考點(diǎn)2】角的有關(guān)概念與計(jì)算1．由兩條具有公共端點(diǎn)的射線所組成的圖形叫做角．兩條射線的公共端點(diǎn)是這個(gè)角的頂點(diǎn)．2．按照角的大小，角可分為銳角、直角、鈍角、平角和周角．3．1°=60'，1'=60″.4．1周角=2平角=4直角=360°.5．余角、補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于90°，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，同角或等角的余角相等；如果兩個(gè)角的和等于180°，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，同角或等角補(bǔ)角相等.6．對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，則稱這兩個(gè)角是對(duì)頂角，對(duì)頂角相等.考點(diǎn)例題【例3】35.48°＝度分秒．【分析】根據(jù)大單位化小單位乘以進(jìn)率，先把0.48°化成分，再把0.8′化成秒，即可得出答案．【詳解】解：0.48°＝（0.48×60）′＝28.8′，0.8′＝（0.8×60）″＝48″，所以35.48°＝35°28′48″．故答案為：35，28，48．【例4】已知∠1和∠2互為余角，且∠2與∠3互補(bǔ)，∠1＝60°，則∠3為（）A．120° B．60° C．30° D．150°【分析】根據(jù)∠1和∠2互為余角，∠1＝60°，求得∠2的度數(shù)，然后根據(jù)∠2與∠3互補(bǔ)，得出∠3＝180°﹣∠2．【詳解】解：∵∠1和∠2互為余角，∠1＝60°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，∵∠2與∠3互補(bǔ)，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．故選：D．（1）互為余角的兩個(gè)角的和等于90°;（2）互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°.1．如圖，射線AB，AC被射線DE所截，圖中的∠1與∠2是（）A.內(nèi)錯(cuò)角 B.對(duì)頂角 C.同位角 D.同旁內(nèi)角【答案】A【分析】根據(jù)三線八角的概念，以及內(nèi)錯(cuò)角的定義即可做出判斷．【詳解】如圖，∠1與∠2都夾在兩被截直線AC、AB之間，在第三條直線DE的兩側(cè)，滿足內(nèi)錯(cuò)角的定義，故∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，故選：A．2．如圖，八點(diǎn)三十分時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘牵ǎ〢．75° B．65° C．55° D．45°【分析】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份的度數(shù)；根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【詳解】解：鐘面每份是30°，上午8：30時(shí)時(shí)針與分針相距2.5份，此時(shí)時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角（小于平角）的度數(shù)是30°×2.5＝75°．故選：A．3．（2021·上海）的余角是__________．【答案】【分析】根據(jù)余角的定義即可求解．【詳解】70°的余角是90°-70°=20°故答案為：20°．4．一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的3倍少20°，這個(gè)角的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】設(shè)這個(gè)角為α，根據(jù)余角的和等于90°，補(bǔ)角的和等于180°表示出這個(gè)角的補(bǔ)角與余角，然后根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)角為α，則它的補(bǔ)角為180°﹣α，余角為90°﹣α，根據(jù)題意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，解得α＝35°．故選：B．5．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，∠AOC＝50°．求∠BOE的度數(shù).【答案】∠BOE＝40°【分析】先算出∠DOE和∠DOB，相減即可算出∠BOE.詳解】解：如圖所示．∵∠BOD＝∠AOC＝50°，∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°∴∠BOE＝90°－50°＝40°【考點(diǎn)3】角平分線與垂直平分線1．角平分線：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.

2．線段垂直平分線（1）線段垂直平分線的定義:垂直平分一條線段的直線叫做線段的垂直平分線.（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

考點(diǎn)例題【例5】如圖所示，AB為一條直線，OC是∠AOD的平分線，OE在∠BOD內(nèi)，∠DOE：∠BOD＝2：5，∠COE＝80°，求∠EOB的度數(shù)．【分析】設(shè)∠DOE＝2x，根據(jù)題意得到∠BOE＝3x，∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x，再根據(jù)平角為180度，得到2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°，即可得到∠BOE的度數(shù)．【詳解】解：如圖，設(shè)∠DOE＝2x，∵∠DOE：∠BOD＝2：5，∴∠BOE＝3x，又∵OC是∠AOD的平分線，∠COE＝80°，∴∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°∴∠BOE＝3x＝3×20°＝60°．故答案為：60°．【例6】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂線交AB于點(diǎn)D，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若AB+BC＝6，則△BCF的周長(zhǎng)為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF＝BF，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)推出△BCF的周長(zhǎng)＝AC+BC，即可得解．【詳解】解：∵DF為AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴△BCF的周長(zhǎng)＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周長(zhǎng)為6．故選：D．（1）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上;（2）線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.1．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過(guò)P作PF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④連接CP，CP平分∠ACB，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義判斷①；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)判斷②③；根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)判斷④．【詳解】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=12（∠BAC+∠∴∠APB＝135°，故①正確．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正確．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD，∴PH＝PD，故③正確．∵△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，∴點(diǎn)P到AB、AC的距離相等，點(diǎn)P到AB、BC的距離相等，∴點(diǎn)P到BC、AC的距離相等，∴點(diǎn)P在∠ACB的平分線上，∴CP平分∠ACB，故④正確．故選：D．2．如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接BP、CP，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BP＝CP，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DP＝EP，然后利用“HL”證明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；（2）利用“HL”證明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD＝AE，再根據(jù)AB、AC的長(zhǎng)度表示出AD、CE，然后解方程即可．【詳解】（1）證明：連接BP、CP，∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分線，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，BP=CPDP=EP∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=APDP=EP∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．3．如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線．（1）若∠AOB＝120°，則∠COE是多少度？（2）如果∠BOC＝3∠AOD，∠EOD﹣∠COD＝30°，那么∠BOE是多少度？【分析】（1）由OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線．可得∠COE=12∠（2）用∠BOE，表示∠COD，∠AOC，∠BOC和∠AOD，列方程求解即可．【詳解】解：（1）∵OC是∠AOD的平分線，∴∠AOC＝∠DOC．∵OE是∠BOD的平分線，∴∠BOE＝∠DOE，所以∠COE=1（2）設(shè)∠BOE的度數(shù)為x，則∠DOE的度數(shù)也為x．∵∠EOD﹣∠COD＝30°，∴∠COD＝∠AOC＝x﹣30°，∴∠AOD＝2∠AOC＝2（x﹣30°）．∴∠BOC＝3∠AOD，∴可列方程為x+x+x﹣30°＝3×2（x﹣30°），解得x＝50°，即∠BOE的度數(shù)為50°．【考點(diǎn)4】平行線的性質(zhì)與判定1．過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.2．平行線的性質(zhì):①兩條直線平行，同位角相等；②兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

3．平行線的判定:①同位角相等，兩條直線平行；②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行.

考點(diǎn)例題【例1】（性質(zhì)）（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，把一塊三角板的直角頂點(diǎn)B放在直線上，，ACEF，則（

）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【分析】根據(jù)三角板的角度，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，ACEF，故選C【例2】（判定）（2022·湖南郴州）如圖，直線，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的判定條件進(jìn)行分析即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，；故A不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，；故B不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，；故C符合題意；D、∵，則，∵，則，∴；故D不符合題意；故選：C（1）同位角相等，兩直線平行;（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;（