專題12 幾何初步與平行線【考點精講】（解析版）

專題12幾何初步與平行線1．直線、射線、線段與角（1）直線：經(jīng)過兩點有且只有一條直線，直線是向兩方無限延伸的，直線沒有端點.（2）射線：直線上一點和它一旁的部分叫做射線，這點叫做射線的端點，射線向一方無限延伸，射線只有一個端點.（3）線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段，線段有兩個端點，有長短之分，將某一線段分成兩條相等的線段的點叫做該線段的中點.（4）兩點確定一條直線，兩點之間線段最短，兩點之間線段的長度叫做兩點之間的距離.（5）1°=60'，1'=60″.（6）1周角=2平角=4直角=360°.（7）余角、補角：如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，同角或等角的余角相等；如果兩個角的和等于180°，就說這兩個角互為補角，同角或等角補角相等.2.對頂角：一個角的兩邊是另一個角的兩邊的反向延長線,則稱這兩個角是對頂角,對頂角相等.3.角平分線：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點在角平分線上.

4.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.5.垂線段公理：直線外一點與已知線段連接的所有線段中，垂線段最短.

6.線段垂直平分線（1）線段垂直平分線的定義：垂直平分一條線段的直線叫做線段的垂直平分線.（2）線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.

7.平行線（1）過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行.（2）平行線的性質(zhì):①兩條直線平行，同位角相等;

②兩條直線平行，內(nèi)錯角相等;

③兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補.

（3）平行線的判定:①同位角相等，兩條直線平行;

②內(nèi)錯角相等，兩條直線平行;

③同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行.

【考點1】直線、射線、線段（1）直線沒有端點，射線有1個端點，線段有2端點。（2）經(jīng)過兩點有且只有一條直線，簡述為兩點確定一條直線。（3）兩點之間的所有連線中，線段最短，簡述為兩點之間線段最短。（4）兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。考點例題【例1】如圖，已知三點A、B、C．（1）請讀下列語句，并分別畫出圖形①畫直線AB；②畫射線AC；③連接BC．（2）在（1）的條件下，圖中共有條射線．（3）從點C到點B的最短路徑是，依據(jù)是．【分析】（1）按題意，直接作圖即可．（2）根據(jù)射線的定義進行判斷，寫出即可．（3）根據(jù)兩點間線段最短的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）如圖所示：直線AB、射線AC、線段BC即為所求．（2）圖中共有3+2+1＝6條射線．（3）最短路徑是CB，依據(jù)：兩點間線段最短．故答案為：6；CB，兩點間線段最短．【例2】請你判斷下列兩個生活情景所蘊含的數(shù)學道理．情景一：如圖，小明家到學校有3條路可走，一般情況下，小明通常走第二條路，其中的數(shù)學道理是．情景二：同學們做體操時，為了保證一隊同學站成一條直線，先讓兩個同學站好不動，其他同學依次往后站，要求目視前方只能看到各自前面的那個同學，請你說明其中的道理：．【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)和直線的性質(zhì)填空即可．【解西】解：情景一：如圖，小明家到學校有3條路可走，一般情況下，小明通常走第二條路，其中的數(shù)學道理是兩點之間線段最短；故答案為：兩點之間線段最短；情景二：同學們做體操時，為了保證一隊同學站成一條直線，先讓兩個同學站好不動，其他同學依次往后站，要求目視前方只能看到各自前面的那個同學，請你說明其中的道理：兩點確定一條直線，故答案為：兩點確定一條直線．1．（2021·浙江臺州市）小光準備從A地去往B地，打開導航、顯示兩地距離為37.7km，但導航提供的三條可選路線長卻分別為45km，50km，51km（如圖）．能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是（）A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．兩點確定一條直線【答案】A【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)即可求解．【解析】解：兩地距離顯示的是兩點之間的線段，因為兩點之間線段最短，所以導航的實際可選路線都比兩地距離要長，故選：A．2．如圖，在平面內(nèi)有A，B，C三點．（1）畫直線AB，射線AC，線段BC；（2）在線段BC上任取一點D（不同于B，C），連接AD，并延長AD至E，使DE＝AD；（3）數(shù)一數(shù)，此時圖中線段共有條．【分析】（1）依據(jù)直線、射線、線段的定義，即可得到直線AB，線段BC，射線AC；（2）依據(jù)在線段BC上任取一點D（不同于B，C），連接線段AD即可；（3）根據(jù)圖中的線段為AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到圖中線段的條數(shù)．【解析】解：（1）如圖，直線AB，線段BC，射線AC即為所求；（2）如圖，線段AD和線段DE即為所求；（3）由題可得，圖中線段的條數(shù)為8，故答案為：8．3．已知平面上點A，B，C，D（每三點都不在一條直線上）．（1）經(jīng)過這四點最多能確定條直線．（2）如圖這四點表示公園四個地方，如果點B，C在公園里湖對岸兩處，A，D在湖面上，要從B到C筑橋，從節(jié)省材料的角度考慮，應選擇圖中兩條路中的哪一條？如果有人想在橋上較長時間觀賞湖面風光，應選擇哪一條？為什么？【分析】（1）兩點確定一條直線，即可得出經(jīng)過這四點最多能確定6條直線；（2）依據(jù)兩點之間線段最短，即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）經(jīng)過這四點最多能確定6條直線：直線AB，直線AD，直線BC，直線CD，直線AC，直線BD，故答案為：6；（2）從節(jié)省材料的角度考慮，應選擇圖中路線2；如果有人想在橋上較長時間觀賞湖面風光，應選擇路線1，因為兩點之間，線段最短，路線2比路線1短，可以節(jié)省材料；而路線1較長，可以在橋上較長時間觀賞湖面風光．【考點2】角的有關(guān)概念與計算1．由兩條具有公共端點的射線所組成的圖形叫做角．兩條射線的公共端點是這個角的頂點．2．按照角的大小，角可分為銳角、直角、鈍角、平角和周角．3．1°=60'，1'=60″.4．1周角=2平角=4直角=360°.5．余角、補角：如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，同角或等角的余角相等；如果兩個角的和等于180°，就說這兩個角互為補角，同角或等角補角相等.6．對頂角：一個角的兩邊是另一個角的兩邊的反向延長線，則稱這兩個角是對頂角，對頂角相等.考點例題【例3】35.48°＝度分秒．【分析】根據(jù)大單位化小單位乘以進率，先把0.48°化成分，再把0.8′化成秒，即可得出答案．【詳解】解：0.48°＝（0.48×60）′＝28.8′，0.8′＝（0.8×60）″＝48″，所以35.48°＝35°28′48″．故答案為：35，28，48．【例4】已知∠1和∠2互為余角，且∠2與∠3互補，∠1＝60°，則∠3為（）A．120° B．60° C．30° D．150°【分析】根據(jù)∠1和∠2互為余角，∠1＝60°，求得∠2的度數(shù)，然后根據(jù)∠2與∠3互補，得出∠3＝180°﹣∠2．【詳解】解：∵∠1和∠2互為余角，∠1＝60°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，∵∠2與∠3互補，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．故選：D．（1）互為余角的兩個角的和等于90°;（2）互為補角的兩個角的和等于180°.1．如圖，射線AB，AC被射線DE所截，圖中的∠1與∠2是（）A.內(nèi)錯角 B.對頂角 C.同位角 D.同旁內(nèi)角【答案】A【分析】根據(jù)三線八角的概念，以及內(nèi)錯角的定義即可做出判斷．【詳解】如圖，∠1與∠2都夾在兩被截直線AC、AB之間，在第三條直線DE的兩側(cè)，滿足內(nèi)錯角的定義，故∠1與∠2是內(nèi)錯角，故選：A．2．如圖，八點三十分時針與分針所成的角是（）A．75° B．65° C．55° D．45°【分析】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份的度數(shù)；根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【詳解】解：鐘面每份是30°，上午8：30時時針與分針相距2.5份，此時時鐘的時針與分針所夾的角（小于平角）的度數(shù)是30°×2.5＝75°．故選：A．3．（2021·上海）的余角是__________．【答案】【分析】根據(jù)余角的定義即可求解．【詳解】70°的余角是90°-70°=20°故答案為：20°．4．一個角的補角比這個角的余角的3倍少20°，這個角的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】設這個角為α，根據(jù)余角的和等于90°，補角的和等于180°表示出這個角的補角與余角，然后根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：設這個角為α，則它的補角為180°﹣α，余角為90°﹣α，根據(jù)題意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，解得α＝35°．故選：B．5．如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥CD，∠AOC＝50°．求∠BOE的度數(shù).【答案】∠BOE＝40°【分析】先算出∠DOE和∠DOB，相減即可算出∠BOE.詳解】解：如圖所示．∵∠BOD＝∠AOC＝50°，∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°∴∠BOE＝90°－50°＝40°【考點3】角平分線與垂直平分線1．角平分線：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點在角平分線上.

2．線段垂直平分線（1）線段垂直平分線的定義:垂直平分一條線段的直線叫做線段的垂直平分線.（2）線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.

考點例題【例5】如圖所示，AB為一條直線，OC是∠AOD的平分線，OE在∠BOD內(nèi)，∠DOE：∠BOD＝2：5，∠COE＝80°，求∠EOB的度數(shù)．【分析】設∠DOE＝2x，根據(jù)題意得到∠BOE＝3x，∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x，再根據(jù)平角為180度，得到2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°，即可得到∠BOE的度數(shù)．【詳解】解：如圖，設∠DOE＝2x，∵∠DOE：∠BOD＝2：5，∴∠BOE＝3x，又∵OC是∠AOD的平分線，∠COE＝80°，∴∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°∴∠BOE＝3x＝3×20°＝60°．故答案為：60°．【例6】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂線交AB于點D，交BC的延長線于點E，交AC于點F，若AB+BC＝6，則△BCF的周長為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF＝BF，然后根據(jù)三角形的周長推出△BCF的周長＝AC+BC，即可得解．【詳解】解：∵DF為AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴△BCF的周長＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周長為6．故選：D．（1）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上;（2）線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上.1．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④連接CP，CP平分∠ACB，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義判斷①；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)判斷②③；根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)判斷④．【詳解】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=12（∠BAC+∠∴∠APB＝135°，故①正確．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正確．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD，∴PH＝PD，故③正確．∵△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，∴點P到AB、AC的距離相等，點P到AB、BC的距離相等，∴點P到BC、AC的距離相等，∴點P在∠ACB的平分線上，∴CP平分∠ACB，故④正確．故選：D．2．如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．【分析】（1）連接BP、CP，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BP＝CP，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DP＝EP，然后利用“HL”證明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可；（2）利用“HL”證明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD＝AE，再根據(jù)AB、AC的長度表示出AD、CE，然后解方程即可．【詳解】（1）證明：連接BP、CP，∵點P在BC的垂直平分線上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分線，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，BP=CPDP=EP∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=APDP=EP∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．3．如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線．（1）若∠AOB＝120°，則∠COE是多少度？（2）如果∠BOC＝3∠AOD，∠EOD﹣∠COD＝30°，那么∠BOE是多少度？【分析】（1）由OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線．可得∠COE=12∠（2）用∠BOE，表示∠COD，∠AOC，∠BOC和∠AOD，列方程求解即可．【詳解】解：（1）∵OC是∠AOD的平分線，∴∠AOC＝∠DOC．∵OE是∠BOD的平分線，∴∠BOE＝∠DOE，所以∠COE=1（2）設∠BOE的度數(shù)為x，則∠DOE的度數(shù)也為x．∵∠EOD﹣∠COD＝30°，∴∠COD＝∠AOC＝x﹣30°，∴∠AOD＝2∠AOC＝2（x﹣30°）．∴∠BOC＝3∠AOD，∴可列方程為x+x+x﹣30°＝3×2（x﹣30°），解得x＝50°，即∠BOE的度數(shù)為50°．【考點4】平行線的性質(zhì)與判定1．過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.2．平行線的性質(zhì):①兩條直線平行，同位角相等；②兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；③兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補.

3．平行線的判定:①同位角相等，兩條直線平行；②內(nèi)錯角相等，兩條直線平行；③同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行.

考點例題【例1】（性質(zhì)）（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，把一塊三角板的直角頂點B放在直線上，，ACEF，則（

）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【分析】根據(jù)三角板的角度，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，ACEF，故選C【例2】（判定）（2022·湖南郴州）如圖，直線，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的判定條件進行分析即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、當時，；故A不符合題意；B、當時，；故B不符合題意；C、當時，；故C符合題意；D、∵，則，∵，則，∴；故D不符合題意；故選：C（1）同位角相等，兩直線平行;（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行;（