專題12 壓軸中的閱讀理解題型（解析版）

專題12壓軸中的閱讀理解題型閱讀理解型問題在近幾年的各地中考試題中頻頻“亮相”，應(yīng)該特別引起我們的重視.它由兩部分組成：一是閱讀材料；二是考查內(nèi)容．它要求學(xué)生根據(jù)閱讀獲取的信息回答問題．提供的閱讀材料主要包括：一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念的形成和應(yīng)用過程，或一個(gè)新的數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，或提供新聞背景材料等．考查內(nèi)容既有考查基礎(chǔ)的，又有考查自學(xué)能力和探索能力等綜合素質(zhì)的．這類問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，信息量較大，內(nèi)容豐富，超越常規(guī)，源于課本，又高于課本，各種關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，不僅能考查同學(xué)們閱讀題中文字獲取信息的能力，還能考查同學(xué)們獲取信息后的抽象概括能力、建模能力、決策判斷能力等.同時(shí)，更能夠綜合考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力.題型特點(diǎn)：先給出一段材料，讓學(xué)生理解，再設(shè)立新的數(shù)學(xué)概念，新概念的解答可以借鑒前面材料的結(jié)論或思想方法．解題策略：從給的材料入手，通過理解分析本材料的內(nèi)容，捕捉已知材料的信息，靈活應(yīng)用這些信息解決新材料的問題．解決閱讀理解問題的關(guān)鍵是要認(rèn)真仔細(xì)地閱讀給定的材料，弄清材料中隱含了什么新的數(shù)學(xué)知識(shí)、結(jié)論，或揭示了什么數(shù)學(xué)規(guī)律，或暗示了什么新的解題方法，然后依題意進(jìn)行分析、比較、綜合、抽象和概括，或用歸納、演繹、類比等進(jìn)行計(jì)算或推理論證，并能準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述自己的思想、方法、觀點(diǎn)．展開聯(lián)想，將獲得的新信息、新知識(shí)、新方法進(jìn)行遷移，建模應(yīng)用，解決題目中提出的問題.閱讀理解題一般可分為如下幾種類型：方法模擬型——通過閱讀理解，模擬提供材料中所述的過程方法，去解決類似的相關(guān)問題；判斷推理型——通過閱讀理解，對(duì)提供的材料進(jìn)行歸納概括；按照對(duì)材料本質(zhì)的理解進(jìn)行推理，作出解答；遷移發(fā)展型——從提供的材料中，通過閱讀，理解其采用的思想方法，將其概括抽象成數(shù)學(xué)模型去解決類同或更高層次的另一個(gè)相關(guān)命題． （2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2已知實(shí)數(shù)m，n滿足，，且，顯然m，n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由書達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為_______________________；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：，且，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，且，求的值．（1）利用換元法降次解決問題；（2）模仿例題解決問題即可；（3）令=a，-n=b，則+a-7=0，+b=0，再模仿例題解決問題．【答案】(1)，，，(2)或(3)15【詳解】（1）解：令y=，則有-5y+6=0，∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3，∴，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵，∴或①當(dāng)時(shí)，令，，∴則，，∴，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；綜上：或（3）解：令，，則，，∵，∴即，∴，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，故．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，冪的乘方與積的乘方，換元法，解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)模仿例題解決問題．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，在中，，，；（2）解：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在中，又，即，，．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．(2)【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若，試求出正方形的面積．（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再證△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC為鈍角三角形即可；（2）①以、、為邊的三角形是直角三角形，連結(jié)CG，根據(jù)正方形性質(zhì)，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再證△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可證△AGC為直角三角形即可；②連結(jié)BD，根據(jù)勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面積公式求解即可．【答案】(1)鈍角三角形；證明見詳解(2)①直角三角形；證明見詳解；②S四邊形ABCD=【詳解】（1）證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，∴∠EBA=∠DBC，在△EBA和△DBC中，，∴△EBA≌△DBC（SAS），∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，∴△ADC為鈍角三角形，∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．（2）證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．連結(jié)CG，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∵EG為正方形的對(duì)角線，∴∠BEA=∠BGE=45°，∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，∴∠EBA=∠GBC，在△EBA和△GBC中，，∴△EBA≌△GBC（SAS），∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，∴△AGC為直角三角形，∴以、、為邊的三角形是直角三角形；②連結(jié)BD，∵△AGC為直角三角形，，由（2）可知，AE=CG，∴AC=，∴四邊形ABCD為正方形，∴AC=BD=，∴S四邊形ABCD=．本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．1．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，完成探究與運(yùn)用．【材料】工程隊(duì)為推進(jìn)修筑公路的進(jìn)度，特引進(jìn)新設(shè)備，引進(jìn)后平均每天比原計(jì)劃多修5米，現(xiàn)在修60米與原計(jì)劃修45米所需時(shí)間相同．問現(xiàn)在平均每天修多少米？解：設(shè)現(xiàn)在平均每天修x米，則可列出分式方程，…．同學(xué)們?cè)诮獯鹜瓿珊?，張老師介紹了另一種解法：由，從而可得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，…．【探究】小恒同學(xué)對(duì)老師的解法很感興趣，于是再進(jìn)行探究，由比例式得成立，同時(shí)也成立，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律．(1)請(qǐng)將他發(fā)現(xiàn)的規(guī)律補(bǔ)充完整：已知a，b，c，d均不為0，若，則①____，②______；【運(yùn)用】(2)請(qǐng)用上述規(guī)律，解分式方程．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根據(jù)閱讀材料和探究材料可直接得出答案；（2）直接利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解分式方程即可．【詳解】（1）解：小恒同學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為：已知a，b，c，d均不為0，若，則①，②；故答案為：；（2）解：，從而可得：，∴，∴，∴，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解，故原方程的解為，．2．（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”，它的完美來自對(duì)稱，其中切弦（chordofcontact）亦稱切點(diǎn)弦，是一條特殊弦，從圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，連接這兩個(gè)切點(diǎn)的弦稱為切弦．此時(shí)，圓心與已知點(diǎn)的連線垂直平分切弦．(1)任務(wù)一：為了說明切弦性質(zhì)的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖1，P是外一點(diǎn)，__________________________________________．求證：__________________________________________．證明：(2)任務(wù)二：如圖2，在任務(wù)一的條件下，CD是的直徑，連接AD、BC，若，，，求OP的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)命題的條件和結(jié)論即可寫成已知和求證，連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后證明Rt△OAP≌Rt△OBP，從而可得，最后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答；（2）連接OA、OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠AOD和∠BOC，從而求出∠AOB，然后在Rt△OBP中利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】(1)解：任務(wù)一：已知：如圖①，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB與⊙O分別相切于點(diǎn)A、B，連接AB、OP，求證：OP垂直平分AB．證明：連接OA、OB，∵PA、PB與⊙O分別相切于點(diǎn)A、B，∴，∵OA＝OB，OP＝OP，∴，∴，∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB；(2)任務(wù)二：連接OA、OB，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）得，，∵，，∴．3．（2022·重慶·西南大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀材料：材料一：對(duì)于一個(gè)四位數(shù)n，若滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，且千位數(shù)字與百位數(shù)字的差等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差，則稱這個(gè)數(shù)為“等差數(shù)”.例如：，∵，∴8563是“等差數(shù)”；，∵，∴2715不是“等差數(shù)”；材料二：將一個(gè)四位數(shù)n（十位上的數(shù)字不為零）千位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換可以得到一個(gè)新的四位數(shù)，記.例如：，，則.請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)判斷4312和2817是否為“等差數(shù)”，并說明理由；(2)求證：對(duì)于任意一個(gè)“等差數(shù)”m，都能被11整除；(3)若s和t都是“等差數(shù)”，其中，（，，，，a，b，x，y均為整數(shù)），且，求s的值.【答案】(1)4312不是“等差數(shù)”，2817是“等差數(shù)”，理由見解析(2)見解析(3)8912和5612【分析】（1）根據(jù)“等差數(shù)”定義分別計(jì)算驗(yàn)證即可；（2）設(shè)一個(gè)“等差數(shù)”為：，（p，q，a，b均為正整數(shù)），則，然后將這兩個(gè)表達(dá)式代入中，進(jìn)行整式的化簡(jiǎn)，結(jié)合“等差數(shù)”定義，即可證出結(jié)果；（3）根據(jù)“等差數(shù)”的定義，得出，，然后求出和，然后代入，結(jié)合“等差數(shù)”的定義，化簡(jiǎn)得出，根據(jù)a，b，x，y的范圍，分類討論，即可解決問題．【詳解】(1)解：4312不是“等差數(shù)”，2817是“等差數(shù)”，理由如下：∵4-3=1≠1-2=-1，∴4312不是“等差數(shù)”，∵2-8=-6=1-7=-6，∴2817是“等差數(shù)”；(2)證明：設(shè)一個(gè)“等差數(shù)”為：，（p，q，a，b均為正整數(shù)），則，則=∵是“等差數(shù)”，∴，∴，∵p，q，a，b均為正整數(shù)，故F(m)都能被11整除；(3)解：∵和都是“等差數(shù)”，∴，即，∵t是“等差數(shù)”，∴，即，∵∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，，，，a，b，x，y均為整數(shù)，∴當(dāng)a=2時(shí)，x=8，此時(shí)y=x-4=4，b=a+3=5，，；當(dāng)a=4時(shí)，x=5，此時(shí)y=x-4=1，b=4+3=7，，；當(dāng)a=6時(shí)，x=2，y=2-4=-2（不符合題意）；∴s為8912和5612．4．（2022·吉林長(zhǎng)春·?？家荒＃鹃喿x材料】我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得“三垂直模型”．如圖①，在中，，，分別過A、B向經(jīng)過點(diǎn)C的直線作垂線，垂足分別為D、E，易證：．（無需證明）(1)【問題探究】如果，其他條件不變，如圖②，求證：．(2)【學(xué)以致用】如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)，點(diǎn)B在第二象限，，求AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式．(3)【拓展應(yīng)用】如圖④，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD外部時(shí)，連結(jié)PC、PD．當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出BE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)y=-x+；(3)4或2+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，先證△NBO∽△FOA，可得，可求點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；（3）分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC∽△CEB；（2）如圖，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，∴∠NBO+∠BON=90°,∵∴∠AOF+∠BON=90°∴∠NBO=∠AOF∵∠BNO=∠AFO=90°∴△NBO∽△FOA，∴，∵點(diǎn)A（1，2），∴OF=1，AF=2，∵，∴，∴NB=，ON=3，∴點(diǎn)B（-3，），∵設(shè)直線AB表達(dá)式：y=kx+b，∴∴∴直線AB的解析式為：y=-x+；（3）當(dāng)∠CDP=90°時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠ADC+∠CDP=180°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)D，點(diǎn)P三點(diǎn)共線，∵∠BAP=∠B=∠H=90°，∴四邊形ABHP是矩形，∴AB=PH=4，∵將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴AE=EP，∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEH=90°，且∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠PEH，且∠B=∠H=90°，AE=EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE=PH=4，當(dāng)∠CPD=90°時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HP交AD的延長(zhǎng)線于N，則四邊形CDNH是矩形，∴CD=NH=4，DN=CH，設(shè)BE=x，則EC=6-x，∵將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴AE=EP，∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEH=90°，且∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠PEH，且∠B=∠EHP=90°，AE=EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH=BE=x，AB=EH=4，∴PN=4-x，CH=4-（6-x）=x-2=DN，∵∠DPC=90°，∴∠DPN+∠CPH=90°，且∠CPH+∠PCH=90°，∴∠PCH=∠DPN，且∠N=∠CHP=90°，∴△CPH∽△PDN，∴，∴∴x=2±∵點(diǎn)P在矩形ABCD外部，∴x=2±，∴BE=2+，綜上所述：當(dāng)BE的長(zhǎng)為4或2+時(shí)，△DPC為直角三角形．5．（2022·山東·統(tǒng)考一模）閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成證明過程．方法運(yùn)用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．請(qǐng)你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【分析】(1)延長(zhǎng)AD至M，使，連接MC，證明，結(jié)合等角對(duì)等邊證明即可．(2)延長(zhǎng)DF至點(diǎn)M，使，連接BM、AM，證明，△ABM是等邊三角形，代換后得證．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)AD至M，使，連接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：．證明如下：延長(zhǎng)DF至點(diǎn)M，使，連接BM、AM，如圖2所示：∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE∴，，∴∵是等邊三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等邊三角形，∴．6．（2022·河南商丘·統(tǒng)考一模）閱讀材料如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．(1)類比遷移如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且AE＝EF，求證：AC＝BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD＝FD，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過程．(2)方法運(yùn)用如圖3，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE．F是線段BE的中點(diǎn)，連接DF，CF．①請(qǐng)你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②若AB＝4，CFCD請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD＝2DF，證明見解析；②CF的長(zhǎng)為1或2【分析】（1）類比材料，運(yùn)用倍長(zhǎng)中線輔助線作法，證得結(jié)論．（2）①運(yùn)用倍長(zhǎng)中線輔助線作法，結(jié)合三角形全等證明及等邊三角形性質(zhì)，得出結(jié)論．②運(yùn)用分類討論思想，分別求出CF為△BDE的中位線和CF不是△BDE的中位線，兩種情況下，CF的長(zhǎng)．【詳解】（1）（1）證明：如圖，延長(zhǎng)AD至M，使MD＝FD，連接MC，在△BDF和△CDM中，∵，∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝