湖北省部分重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)試題含答案

高三數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容（除解析幾何外）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）．A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（）．A． B． C． D．3．已知平面向量，，且，則（）．A．5 B． C． D．4．黃州青云塔矗立在黃岡市寶塔公園的缽孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名．該塔塔身由青灰色石塊砌成，共七層，假設(shè)該塔底層（第一層）的底面面積為16平方米，且每往上一層，底面面積都減少1平方米，則該塔頂層（第七層）的底面面積為（）．A．8平方米 B．9平方米 C．10平方米 D．11平方米5．已知為銳角，，則（）．A． B． C． D．或6．已知，是函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，則（）．A． B．C． D．7．在四棱錐中，底面為正方形，，，，則四棱錐的體積為（）．A． B． C． D．168．已知函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）．A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．?dāng)?shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、中位數(shù)都是，則（）．A．?dāng)?shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)相等B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的方差相等C．?dāng)?shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的極差相等D．?dāng)?shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)相等10．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，，則（）．A． B．C． D．沒(méi)有極值11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）．A．是偶函數(shù)B．的最小正周期是C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若，，，則a的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則__________．13．某員工在開(kāi)辦公室里四位數(shù)的數(shù)字密碼門(mén)時(shí)，發(fā)現(xiàn)按鍵“3”“6”“9”上有清晰的指紋印，若該密碼確實(shí)由數(shù)字“3”“6”“9”組成，則該密碼有__________種可能．（用數(shù)字作答）14．如圖，平行六面體的底面是菱形，，，，若非零向量，滿足，，則的最小值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，．（1）求A；（2）若的外接圓面積為，角B的平分線交于D，求的面積，及與的面積之比．16．（15分）已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）若恒成立，求a的取值范圍．17．（15分）如圖，在三棱柱中，，，，．（1）證明：平面平面．（2）求二面角的正弦值．18．（17分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且對(duì)任意的，均有（k是常數(shù)且）成立，則稱為“Ⅱ（k）數(shù)列”．（1）設(shè)為“Ⅱ（1）數(shù)列”．①求的通項(xiàng)公式；②若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．（2）是否存在既是“Ⅱ（k）數(shù)列”，又是“Ⅱ數(shù)列”？若存在，求出符合條件的的通項(xiàng)公式及對(duì)應(yīng)的k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（17分）甲、乙兩人玩一個(gè)紙牌游戲，先準(zhǔn)備好寫(xiě)有數(shù)字1，2，…，N的紙牌各一張，由甲先隨機(jī)抽取一張紙牌，記紙牌上的數(shù)字為a，隨后將紙牌放回（后面每次抽牌記錄數(shù)字后都需將紙牌放回），接下來(lái)甲有2種選擇：①再抽取一次紙牌，記紙牌上的數(shù)字為b，若，則乙贏，游戲結(jié)束，否則，甲結(jié)束抽牌，換由乙抽牌一次；②直接結(jié)束抽牌，記，換由乙抽牌一次．記乙抽到的紙牌上的數(shù)字為c，若，則乙贏，否則甲贏．游戲結(jié)束．（1）若甲只抽牌1次，求甲贏的概率；（2）若甲抽牌2次，求甲贏的概率；（3）當(dāng)甲抽取的第一張紙牌上的數(shù)字滿足什么條件時(shí)，甲選擇②贏得游戲的概率更大？（結(jié)果用含N的式子表示）參考公式：若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的前n項(xiàng)和．

高三數(shù)學(xué)考試參考答案1．C由，得，即，所以．2．A，．3．B．因?yàn)?，所以，解得?．C由題意可得該塔第一層至第七層的底面面積依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為16，公差為，故該塔頂層的底面面積為平方米．5．C，解得．因?yàn)闉殇J角，所以，，．．6．A由題意不妨設(shè)，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，即．，則，即，A正確，B錯(cuò)誤．取，，則，，，C錯(cuò)誤．取，，則，，，D錯(cuò)誤．7．C過(guò)點(diǎn)P作底面，垂足為O，設(shè)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，連接，，則點(diǎn)O在上．設(shè)，因?yàn)?，，所以．，，．在中，，所以，解得，所以．故四棱錐的體積為．8．D分別作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象．分兩種情形：當(dāng)時(shí)，，如圖1，圖1 圖2當(dāng)時(shí)，與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，如圖2，當(dāng)時(shí)，要使得與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，只需，即，解得（舍去）．綜上，正實(shí)數(shù)m的取值范圍為．9．AC設(shè)數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，A正確．?dāng)?shù)據(jù)，，，，的方差，數(shù)據(jù)，，，的方差，所以數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的方差不一定相等，B錯(cuò)誤．?dāng)?shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的極差相等，C正確．?dāng)?shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)不一定相等，如數(shù)據(jù)2，2，5，7，9的平均數(shù)、中位數(shù)都是5，但數(shù)據(jù)2，2，7，9的中位數(shù)不是5，D錯(cuò)誤．10．ABD令，得，A正確．令，得，所以，，據(jù)此類(lèi)推可得，所以，B正確．也滿足題意，C錯(cuò)誤．令，，，則．當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，，所以是增函數(shù)，沒(méi)有極值，D正確．11．BCD因?yàn)?，所以是奇函?shù)，A錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)椋缘淖钚≌芷谑?，B正確．，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確．當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．，．結(jié)合對(duì)稱性，得到的部分圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，．由題意可得，當(dāng)時(shí)，，．，，結(jié)合的圖象可得，，解得，則a的取值范圍是，D正確．12．5，，．的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．因?yàn)樵撉芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得．13．36．14．設(shè)，則．因?yàn)?，所以在上的投影向量，則投影向量的模長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作平面，使得平面（圖略），則點(diǎn)N在平面內(nèi)．設(shè)，則等價(jià)于，即，則，所以點(diǎn)M在以為直徑的球面上．又，，，所以以為直徑的球的半徑．設(shè)的中點(diǎn)為E，則在上的投影向量為，所以球心E到平面的距離．因?yàn)椋云矫嬖谇駿的外部．的最小值表示球E上的點(diǎn)M到平面內(nèi)的點(diǎn)N的距離的最小值，顯然．15．解：（1）在中，，．因?yàn)椋?，所以，即，．?分）因?yàn)?，所以，?分）即，（5分）所以，．（2）因?yàn)榈耐饨訄A面積為，所以的外接圓半徑為3．（7分）因?yàn)椋?，．?分）．（11分），所以與的面積之比為．（3分）16．解：（1）．（1分）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．（3分）因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，解得．故a的取值范圍為．（5分）（2），即．（7分）令，．（9分）由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（11分）．（13分）因?yàn)楹愠闪?，所以．故a的取值范圍為．（15分）17．（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接，，．四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，，所以為等邊三角形，所以，．?分）在中，，．因?yàn)?，所以．?分）因?yàn)椋云矫妫?分）因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?分）（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，．（7分），，．（8分）設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．，即，令，得．（10分），即，令，得．（12分），則，（14分）故二面角的正弦值為．（15分）18．（1）①解：因?yàn)闉椤阿颍?）數(shù)列”，所以．因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，得．（1分）當(dāng)時(shí)，，則，即，（3分）經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足，所以對(duì)任意的恒成立，是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以．（5分）②證明：．，（6分），兩式相減得，（7分）所以．（8分）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．故．（10分）（2）解：假設(shè)存在這樣的數(shù)列，由是“Ⅱ（k）數(shù)列”可得．由是“Ⅱ數(shù)列”可得，（11分）所以，，即，所以．（13分）由，令，得，令，得．因?yàn)椋?，解得，所以?，，2，，2，，…，的通項(xiàng)公式為．（15分）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，解得，k為奇數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，解得，k為奇數(shù)．（16分）綜上，存在既是“Ⅱ（k）數(shù)列”，又是“Ⅱ數(shù)列”，此時(shí)的通項(xiàng)公式為，且k為奇數(shù)．（17分）19．解：（1）若甲只抽牌1次，甲贏的情況如下．甲抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，此時(shí)有1種情況；甲抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，此時(shí)有2種情況；甲抽到的紙牌上的數(shù)字為3，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時(shí)有3種情況；……依次類(lèi)推，甲贏的情況共有．（3分）故甲贏的概率為．（4分）（2）若甲抽牌2次，甲贏的情況如下．①甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為1．第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，此時(shí)有2種情況；第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時(shí)有3種情況；……第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，…，1，此時(shí)有N種情況．以上有種情況．（6分）②甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為2．第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時(shí)有3種情況；第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，，此時(shí)有4種情況；……第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，…，1，此時(shí)有N種情況．以上有種情況．（8分）依次類(lèi)推，甲第1次抽