安徽省合肥市重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考查高一數(shù)學(xué)試題一．選擇題.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.已知函數(shù)的定義域是，函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（）A B. C. D.4.函數(shù)的最小值為（）A.2 B.5 C.6 D.75.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.在上為增函數(shù) B.方程的實(shí)根為C.的值域?yàn)?D.為偶函數(shù)6.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則的值為（）A.－1 B.0 C.1 D.無(wú)法確定7.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)f(x)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，記的最大值為.若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二，多選題9.下列各項(xiàng)中，與表示函數(shù)相等的是（）A. B.C D.10.當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一個(gè)集合的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合成“偏食”.對(duì)于集合，，若與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A.-2 B. C.0 D.111.關(guān)于的不等式的解集，下列說(shuō)法正確的是（）A.時(shí)，解集為 B.時(shí)，解集為C.時(shí)，解集為 D.時(shí)，原不等式在時(shí)恒成立12.若，均為正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A.的最大值為 B.的最小值為9C.的最小值為 D.的最大值為4三、填空題13.命題：“”的否定是__________．14.已知函數(shù)奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，_________.15.若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.16.函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的值域是；②且，使得；③任意且，都有；④規(guī)定，其中，則．其中，所有正確結(jié)論序號(hào)是______________．四、計(jì)算題17.計(jì)算．（1）；（2）．18.設(shè)集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.（1）解關(guān)于的不等式.（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.已知函數(shù)（為常數(shù)）是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求的解析式；（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.已知定義域?yàn)?，?duì)任意都有．當(dāng)時(shí)，，且．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；（3）若對(duì)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22.已知集合為非空數(shù)集，定義：，（1）若集合，直接寫出集合（無(wú)需寫計(jì)算過(guò)程）；（2）若集合，且，求證：（3）若集合，記為集合中的元素個(gè)數(shù)，求的最大值．2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考查高一數(shù)學(xué)試題一．選擇題.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A、B，再求交集，即可得出結(jié)果詳解】由，或，所以，故選：D2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解方程，求出方程的根，分別從充分性，必要性兩方面驗(yàn)證即可.【詳解】由，得，解得或,所以時(shí)，具有充分性；而時(shí)，或，不具有必要性.故選：B3.已知函數(shù)的定義域是，函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)定義域列出不等式組求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域是，由，得，且，函數(shù)定義域是，故選：A.4.函數(shù)的最小值為（）A.2 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選:D5.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.在上為增函數(shù) B.方程的實(shí)根為C.的值域?yàn)?D.為偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】先代點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式，然后判斷冪函數(shù)的性質(zhì)即可.【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，即函?shù)的定義域?yàn)?，?duì)于A：因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，所以，解得，所以方程的實(shí)根為，錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，所以的值域?yàn)?，錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為偶函數(shù)，正確.故選：D6.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則的值為（）A.－1 B.0 C.1 D.無(wú)法確定【答案】B【解析】【分析】由奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性求得，由奇函數(shù)的性質(zhì)求得，然后求值．【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，，，，所以，故，所以.故選：B．7.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，所以有，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用增函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.8.已知函數(shù)f(x)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，記的最大值為.若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合，畫出圖像，根據(jù)新定義，結(jié)合分類討論的方法，可得結(jié)果.【詳解】由題意得：，∴，，又，可得的圖象如圖所示，∵，∴區(qū)間長(zhǎng)度為2，當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以，∴的取值范圍為：.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)新概念的理解，以及利用數(shù)形結(jié)合解決分段函數(shù)的問(wèn)題，屬中檔題.二，多選題9.下列各項(xiàng)中，與表示的函數(shù)相等的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，一一判斷各選項(xiàng)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，，定義域?yàn)镽，，定義域?yàn)镽，但對(duì)應(yīng)法則與前者不同，故兩函數(shù)不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，故的定義域?yàn)椋傻?，故的定義域?yàn)椋謨烧邔?duì)應(yīng)法則相同，故兩函數(shù)相等，故B正確；對(duì)于C,定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，故兩函?shù)不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，兩函數(shù)相等，故D正確.故選：BD.10.當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一個(gè)集合的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合成“偏食”.對(duì)于集合，，若與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A.-2 B. C.0 D.1【答案】BCD【解析】【分析】考慮時(shí)，，時(shí)，，依次將各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)帶入，計(jì)算集合，再判斷和之間的關(guān)系得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)選項(xiàng)A：若，，此時(shí)，不滿足；對(duì)選項(xiàng)B：若，，此時(shí)，滿足；對(duì)選項(xiàng)C：若，，此時(shí)，滿足；對(duì)選項(xiàng)D：若，，此時(shí)，滿足；故選：BCD.11.關(guān)于的不等式的解集，下列說(shuō)法正確的是（）A.時(shí)，解集為 B.時(shí)，解集為C.時(shí)，解集為 D.時(shí)，原不等式在時(shí)恒成立【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法判斷ABC；利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】時(shí)，不等式為，即，解得，解集為，故A錯(cuò)誤；不等式可化為，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為，故B正確，C錯(cuò)誤；令，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，所以，即不等式在時(shí)恒成立，故D正確．故選：BD．12.若，均為正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A.的最大值為 B.的最小值為9C.的最小值為 D.的最大值為4【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用與（，）逐項(xiàng)判讀即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，均為正?shù)，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，而，均為正數(shù)，故等號(hào)不成立，所以D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題13.命題：“”否定是__________．【答案】【解析】【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫出命題的否定.【詳解】命題：“”的否定是“”.故答案為：14.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，_________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由已知條件求出，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可求出解析式.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，則，故答案為:.15.若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題，再利用單調(diào)性求最小值即可.【詳解】不等式對(duì)恒成立等價(jià)于在恒成立，即，設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，，所以在上為遞增函數(shù)，當(dāng)取得最小值，所以.故答案為：16.函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的值域是；②且，使得；③任意且，都有；④規(guī)定，其中，則．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．【答案】①④【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合分式型函數(shù)的性質(zhì)、代入法逐一判斷即可；【詳解】對(duì)于①：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，可知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可得，則，結(jié)合為奇函數(shù)，可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且,所以值域是，故①正確；對(duì)于②：由①可知：可知函數(shù)是上的增函數(shù)，所以對(duì)任意且，均有，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：當(dāng)任意且時(shí)，令，，，顯然，因此不成立，故③不正確；對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，，可得，，，，以此類推可得，因此，故④正確；故答案為：①④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于分式型函數(shù)常利用分離常數(shù)法結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)分析求解.四、計(jì)算題17.計(jì)算．（1）；（2）．【答案】（1）112（2）2【解析】【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算出答案；（2）利用指數(shù)運(yùn)算法則及根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】原式；【小問(wèn)2詳解】原式.18.設(shè)集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合，利用交集的定義可得出集合；（2）分析可知，分、兩種情況討論，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，B=x2≤x≤7又因?yàn)?，則.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得，因?yàn)?，則，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.（1）解關(guān)于的不等式.（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）分類討論，答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）分類討論解含參的不等式即得.（2）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，借助恒成立求出的范圍.【詳解】（1）不等式化為：，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，則，當(dāng)時(shí)，不等式，依題意，，，而最大值為2，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù)（為常數(shù)）是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求的解析式；（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）取結(jié)合求，并根據(jù)奇函數(shù)的定義分析證明；（2）先利用單調(diào)性的定義可得在上是增函數(shù)，進(jìn)而可知在上的最值，由存在性問(wèn)題可知，代入運(yùn)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】由是上的奇函數(shù)，則，可得，所以，又因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，可知為奇函?shù)成立，所以.【小問(wèn)2詳解】任取，且，則，因?yàn)?，則，可知，即，所以在上是增函數(shù)，可得在上的最小值為，又因?yàn)榇嬖?，使成立，則，即，解得：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.21.已知定義域?yàn)椋瑢?duì)任意都有．當(dāng)時(shí)，，且．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；（3）若對(duì)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）是上的單調(diào)遞減函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用賦值法取可得，再令可得；（2）結(jié)合函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，按照單調(diào)性定義證明步驟證明即可；（3）利用可將不等式化為，即可得，在利用換元法令，結(jié)合單調(diào)性可得對(duì)于，恒成立，即可解得.【小問(wèn)1詳解】取，則，于是，令，則，又，則；【小問(wèn)2詳解】是上的單調(diào)遞減函數(shù)．證明：任取，則，由于當(dāng)時(shí)，，易知，則，故，可得是上的單調(diào)遞減函數(shù)．【小問(wèn)3詳解】不等式可化為，也即，令于是，都有恒成立，由于為上的單減函數(shù)，則，都有恒成立，即成立，即恒成立；令，它是關(guān)于的一次函數(shù)，故只需，解得．即，解得【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，要充分利用已知條件和函數(shù)單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為求解自變量大小恒成立問(wèn)題，再結(jié)合題意通過(guò)合理變形轉(zhuǎn)化解不等式即可求得參數(shù)取值范圍.22.已知集合為非空數(shù)集，定義：，（1）若集合，直接寫出集合（無(wú)需寫計(jì)算過(guò)程）；（2）若集合，且，求證：（3）若集合，記為集合中的元素個(gè)數(shù)，求的最大值．【答案】（1），（2）見(jiàn)解析（3）1349【解析】【分析】（1）根據(jù)題目的定義，直接