《多傳感器數(shù)據(jù)融合及其應(yīng)用》課件第2章

第2章狀態(tài)估計(jì)2.1卡爾曼濾波器2.2常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器2.3自適應(yīng)α-β濾波器2.1卡爾曼濾波器2.1.1用數(shù)字濾波器作為估值器

1.非遞歸估值器

根據(jù)數(shù)字信號處理我們知道，所謂非遞歸數(shù)字濾波器是一種只有前饋而沒有反饋的濾波器，它的沖擊脈沖響應(yīng)是有限的，在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在假定用zk表示觀測值，zk=x+nk

(2-1-1)式中：x——恒定信號或稱被估參量；

nk——觀測噪聲采樣。同時(shí)假定，E(x)=x0，D(x)=σ2x，E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。設(shè)有m個(gè)由式(2-1-1)確定的觀測數(shù)據(jù)，用圖2-1給出的非遞歸濾波器進(jìn)行處理，這與數(shù)字信號處理中采用的頻域分析方法不同：其一，這里采用的是時(shí)域分析方法；其二，這里不是濾波，而是估值，或者說是在摻雜有噪聲的測量信號中估計(jì)信號x。圖2-1采樣平均估值器

圖中，h1,h2,…,hm是濾波器的脈沖響應(yīng)hj的采樣，或稱濾波器的加權(quán)系數(shù)。由圖2-1可以看出，濾波器的輸出(2-1-2)當(dāng)h1=h2=…=hm=1/m時(shí)，該式表明，估計(jì)是用m個(gè)采樣值的平均值作為被估參量x的近似值的，故稱其為采樣平均估值器。估計(jì)的均方誤差以Pε表示，有當(dāng)i=j時(shí)δij=1，當(dāng)i≠j時(shí)δij=0，有最后，（2-1-3）

由此可以得出兩點(diǎn)結(jié)論：

(1)該估值器的均方誤差隨著m的增加而減少，從這個(gè)意義上說它是個(gè)好的估值器；

(2)說明該估值器是一個(gè)無偏估值器。2.遞歸估值器根據(jù)數(shù)字濾波器的基本原理可知，遞歸數(shù)字濾波器是一種帶有反饋的濾波器，它有無限的脈沖響應(yīng)，有階數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)，但其暫態(tài)過程較長。關(guān)于信號和噪聲的基本假設(shè)與非遞歸情況相同。圖2-2給出了一個(gè)一階遞歸濾波器，其輸入輸出信號關(guān)系如下：（2-1-4）式中，zk與非遞歸情況相同；a是一個(gè)小于1的濾波器加權(quán)系數(shù)，如果它大于或等于1，該濾波器就不穩(wěn)定了。圖2-2一階遞歸濾波器作估值器第k時(shí)刻的輸出yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk

(2-1-5)將zk中的信號和噪聲分開，并代入式(2-1-5)，有輸出(2-1-7)由于│a│＜1，故隨著k值的增加，yk趨近于x/(1-a)。這樣，如果以(1-a)yk作為x的估計(jì)值，則(2-1-6)

此時(shí)的信號x和估值之間只差一個(gè)噪聲項(xiàng)。當(dāng)k值較大時(shí)，估值的均方誤差(2-1-8)而一次取樣的均方誤差(2-1-9)故上一結(jié)果的均方誤差約為一次采樣的（1-a）/（1+a）倍。2.1.2線性均方估計(jì)

1.最優(yōu)非遞歸估計(jì)由前面知，非遞歸濾波器的估計(jì)值及其估計(jì)誤差可分別表示為只要對m個(gè)參數(shù)逐一求導(dǎo)，并令其等于零，在均值為零的白噪聲的情況下，可得到最小均方誤差和估計(jì)：(2-1-10)其中，b=σ2n/σ2x，在b<<m時(shí)，這種估計(jì)近似于采樣平均。在噪聲方差σ2n較大時(shí)，其性能明顯優(yōu)于非最佳情況。這種最小均方誤差準(zhǔn)則下的線性濾波，通常稱作標(biāo)量維納濾波。必須注意的是，這里的hj與非最優(yōu)情況的不同，這里的濾波器的加權(quán)系數(shù)為2.由最優(yōu)非遞推估計(jì)導(dǎo)出遞歸估計(jì)由前可知，非遞歸估值器可以表示為(2-1-12)條件與前面相同。對k+1次取樣，相應(yīng)的估計(jì)量(2-1-13)相應(yīng)的估計(jì)誤差(2-1-14)(2-1-15)由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有所以有(2-1-16)(2-1-17)(2-1-18)于是,分成二項(xiàng)：將第一項(xiàng)同時(shí)乘、除一個(gè)bk，則(2-1-19)最后,有(2-1-20)或(2-1-21)圖2-3兩種遞歸估值器

應(yīng)用時(shí)要注意初始條件，即遞推開始時(shí)的初始值的問題。我們希望初始的滿足以使為最佳值。解之，得 ，這時(shí)的 。如果E(x)=0，可從零開始遞推運(yùn)算，即2.1.3最優(yōu)遞歸估值器——標(biāo)量卡爾曼濾波器

1.模型

1）信號模型設(shè)要估計(jì)的隨機(jī)信號為由均值為0，方差為σ2w的白噪聲激勵(lì)的一個(gè)一階遞歸過程，即信號對時(shí)間的變化滿足動(dòng)態(tài)方程：x(k)=ax(k-1)+w(k-1) (2-1-22)式中，a——系統(tǒng)參數(shù)；

w(k-1)——白噪聲采樣。如果令x(0)=0，E［w(k)］=0，則由式(2-1-22)定義的過程，稱作一階自回歸過程。x(k)的均值和方差分別為：(2-1-23)(2-1-24)自相關(guān)函數(shù)(2-1-25)2）觀測模型觀測模型由下式給出：z(k)=cx(k)+v(k)(2-1-26)式中：c——測量因子；

v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪聲。最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型如圖2-4所示。圖2-4最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型2.標(biāo)量卡爾曼濾波器由前一節(jié)，我們可將遞歸估計(jì)的形式寫成：(2-1-27)均方誤差分別對a(k)和b(k)求導(dǎo)，并令其等于0，求其最佳估計(jì)，得出a(k)與b(k)的關(guān)系：a(k)=a［1-cb(k)］(2-1-28)最后有遞歸估值器：(2-1-29)b(k)稱濾波器增益，(2-1-30)其中,(2-1-31)均方誤差(2-1-32)

對于給定的信號模型和觀測模型，上述一組方程便稱為一維標(biāo)量卡爾曼濾波器，其結(jié)構(gòu)如圖2-5所示。圖2-5標(biāo)量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)

3.標(biāo)量卡爾曼預(yù)測器

標(biāo)量卡爾曼濾波是對摻雜有噪聲的隨機(jī)信號進(jìn)行線性估計(jì)。但經(jīng)常要對信號的未來值進(jìn)行預(yù)測，特別是在控制系統(tǒng)中。在雷達(dá)數(shù)據(jù)處理或數(shù)據(jù)融合問題中也經(jīng)常遇到這一問題。我們根據(jù)預(yù)測提前時(shí)間的多少，把預(yù)測分成1步、2步、…、m步預(yù)測，通常把1步預(yù)測記作?？梢韵胂?，預(yù)測的步數(shù)越多，誤差越大。這里我們只討論1步預(yù)測問題。信號模型和觀測模型同前：(2-1-33)根據(jù)前一節(jié)，我們有一步線性預(yù)測遞推公式：其中，a(k)和β(k)可以通過使均方預(yù)測誤差最小來確定。預(yù)測的均方誤差可表示為(2-1-34)將預(yù)測方程代入該式，并求導(dǎo)，就會得到一組正交方程：(2-1-35)解之，得a(k)=a-cβ(k)將其代入預(yù)測方程，有(2-1-36)進(jìn)一步可求出：(2-1-37)其中，

由以上表達(dá)式可以看出，可根據(jù)均方預(yù)測誤差Pε(k/k-1)計(jì)算β(k)，然后再給出Pε(k+1/k)的均方預(yù)測誤差。圖2-6最優(yōu)一步預(yù)測及濾波器(a)最優(yōu)一步預(yù)測器；(b)最優(yōu)一步預(yù)測及濾波器2.1.4向量卡爾曼濾波器

1.信號向量和數(shù)據(jù)向量

如果要求對q個(gè)信號進(jìn)行同時(shí)估計(jì)，這q個(gè)信號在k時(shí)刻的采樣值記作x1(k)、x2(k)、…、xq(k)。假設(shè)每個(gè)信號都是由一階自回歸過程產(chǎn)生的，即第α個(gè)信號在時(shí)刻k的采樣值為:xα(k)=aαxα(k-1)+wα(k-1)α=1，2，…，q

（2-1-38）每個(gè)wα過程都是白的，零均值的，與其它過程的采樣是獨(dú)立的。于是把q個(gè)信號與q個(gè)白噪聲組成的q維向量分別表示成（2-1-39）顯然，X(k)=AX(k-1)+W(k-1)(2-1-40)式中，X(k)，X(k-1)，W(k-1)都是q維向量，A是個(gè)q×q階矩陣，即(2-1-41)

如果信號不滿足一階遞歸差分方程，而滿足二階遞歸差分方程，即x(k)=ax(k-1)+bx(k-2)+w(k-1)(2-1-42)定義兩個(gè)分量x1(k)=x(k)x2(k)=x1(k-1)=x(k-1)于是，有(2-1-43)最后，有X(k)=AX(k-1)+W(k-1)(2-1-44)結(jié)果把一個(gè)二階差分方程變成了一個(gè)一階二維向量方程，該方程用起來更簡單方便。

在雷達(dá)跟蹤時(shí)，如果用R(k)表示k時(shí)刻的距離，R(k)表示k時(shí)刻的速度，U(k)表示k時(shí)刻的加速度，T表示采樣周期，則.(2-1-45)寫成一般形式：(2-1-46)其中，寫成向量形式：(2-1-47)最后,有(2-1-48)即可寫成一階向量的形式。在對信號向量進(jìn)行估計(jì)的過程中，同時(shí)產(chǎn)生r個(gè)含有噪聲的測量值，記作z1(k)，z2(k)，…,zr(k)。則得到一組觀測方程:其中，vi(k)表示附加噪聲，ci表示第i個(gè)測量參數(shù)，于是有Z(k)=CX(k)+V(k)(2-1-49)式中，Z(k)，V(k)是r維向量，X(k)是q維向量，C是r×q階矩陣。對于r=q，有(2-1-50)C即是觀測矩陣。

2.向量問題的表示

根據(jù)前面的討論，我們完全可以把前面的信號模型動(dòng)態(tài)方程和觀測方程寫成如下形式:(2-1-51)這里，我們采用標(biāo)量運(yùn)算和矩陣運(yùn)算的等價(jià)關(guān)系，把它推廣到多維情況，如下所示：據(jù)此，可以將觀測噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣，(2-1-52)對兩個(gè)信號的情況，則有(2-1-53)同理，也可以把系統(tǒng)噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣，即(2-1-54)由于系統(tǒng)噪聲采樣互不相關(guān)，該協(xié)方差矩陣的非對角線元素的值均為零。單一信號均方誤差也可變成協(xié)方差矩陣，(2-1-55)

3.向量卡爾曼濾波器現(xiàn)在就可利用前面的概念，直接把標(biāo)量卡爾曼濾波器公式變成向量卡爾曼濾波器公式：(2-1-56)濾波器增益：(2-1-57)式中，實(shí)際上，它是預(yù)測協(xié)方差。誤差協(xié)方差矩陣：(2-1-58)這里用K(k)代替了B(k)，因K(k)是通用符號。具體如圖2-7所示。圖2-7向量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)增益矩陣K(k)的計(jì)算流程如圖2-8所示。圖2-8增益矩陣計(jì)算流程4.向量卡爾曼預(yù)測器根據(jù)與上節(jié)相同的推導(dǎo)方法，我們可以獲得卡爾曼預(yù)測器方程組。預(yù)測方程：（2-1-59）預(yù)測增益:（2-1-60）預(yù)測均方誤差:（2-1-61）

它們與標(biāo)量的情況是一一對應(yīng)的，只是用G(k)代替了β(k)。這樣，就可以將濾波和預(yù)測用同一個(gè)方框圖表示出來。

5.總結(jié)卡爾曼濾波器應(yīng)用廣泛，這里只對其進(jìn)行簡單歸納。

1）卡爾曼濾波器的主要特性卡爾曼濾波器是一個(gè)遞歸、線性、無偏和方差最小的濾波器，如果過程噪聲和觀測噪聲是正態(tài)高斯白噪聲，則它保持最佳特性。2）卡爾曼濾波器模型目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型：（2-1-62）位置測量模型：（2-1-63）狀態(tài)方程:X(t+T)=Φ(t)X(t)+W(t)Q(t)=E［W(t)W(t)T］（2-1-64）觀測方程:Z(t)=HX(t)+V(t)R(t)=E［V(t)V(t)T］（2-1-65）3)卡爾曼濾波器方程組殘差:（2-1-66）

預(yù)測方程:（2-1-67）狀態(tài)估計(jì):（2-1-68）卡爾曼濾波器增益:（2-1-69）

預(yù)測協(xié)方差:（2-1-70）估計(jì)協(xié)方差:（2-1-71）2.1.5擴(kuò)展卡爾曼濾波器在通信、雷達(dá)、自動(dòng)控制和其它一些領(lǐng)域中，從被噪聲污染的信號中恢復(fù)有用信號的波形，或者估計(jì)狀態(tài)，均可采用卡爾曼濾波器。例如航天飛機(jī)軌道的估計(jì)、雷達(dá)目標(biāo)的跟蹤、生產(chǎn)過程的自動(dòng)化、天氣預(yù)報(bào)等。卡爾曼濾波主要用來解決目標(biāo)航跡的最佳估計(jì)問題，但它所使用的動(dòng)態(tài)方程和觀測方程均是線性的。在雷達(dá)目標(biāo)跟蹤等很多實(shí)際應(yīng)用中，傳感器所給出的是目標(biāo)的斜距、方位角和高低角，數(shù)據(jù)與目標(biāo)之間又是非線性的，目標(biāo)的狀態(tài)方程只有在直角坐標(biāo)系中才是線性的。這就導(dǎo)致若在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中只選擇在一個(gè)坐標(biāo)系中建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程，要么是狀態(tài)方程是線性的，測量方程是非線性的；要么是狀態(tài)方程是非線性的，測量方程是線性的。這便是在現(xiàn)代雷達(dá)跟蹤中往往采用混合坐標(biāo)系的原因。

擴(kuò)展卡爾曼濾波器，是一種采用混合坐標(biāo)系進(jìn)行濾波和殘差計(jì)算的卡爾曼濾波器，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)，它所采用的動(dòng)態(tài)方程和測量方程均是線性的。擴(kuò)展卡爾曼濾波器與標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器的主要區(qū)別在于：（1）在計(jì)算殘差時(shí)，采用極坐標(biāo)系；（2）在跟蹤計(jì)算時(shí)，采用直角坐標(biāo)系；（3）輸出數(shù)據(jù)為直角坐標(biāo)系數(shù)據(jù)；（4）在兩者的交接處進(jìn)行相應(yīng)的坐標(biāo)變換。圖2-9混合坐標(biāo)系跟蹤濾波流程1.系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程

狀態(tài)方程：（2-1-72）其中,Φ(k)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。測量方程:Z(k+1)=H(k+1)X(k+1)+V(k+1)（2-1-73）其中,E［V(k)］=0E［V(k)VT(j)］=R(k)δkjH(k+1)為觀測矩陣。

2.觀測方程的線性化眾所周知，雷達(dá)的觀測是在極坐標(biāo)下進(jìn)行的。對于一個(gè)直角坐標(biāo)為（x，y，z）的空中目標(biāo)，雷達(dá)所測的三個(gè)極坐標(biāo)分別為：（2-1-74）觀測向量Z(k)=［r(k),θ(k),φ(k)］T為目標(biāo)向量的非線性函數(shù)：Z(k)=F［X(k)］+V(k)（2-1-75）其中，V(k)為觀測噪聲，其協(xié)方差矩陣為

為了使用卡爾曼濾波器在極坐標(biāo)系中解算殘差，需要將直角坐標(biāo)系中的預(yù)測值近似線性地變換到極坐標(biāo)系。假定k+1時(shí)刻的預(yù)測誤差為（2-1-76）球面坐標(biāo)系中的預(yù)測值為（2-1-77）將其以 為中心用泰勒級數(shù)展開，并略去二次以上的高階分量，可得（2-1-78）于是有極坐標(biāo)系中的目標(biāo)測量值與預(yù)測值之差為（2-1-79）若令則可得（2-1-80）并且有對前面的雷達(dá)方程，有（2-1-81）3.擴(kuò)展卡爾曼濾波方程

預(yù)測方程:（2-1-82）

觀測矩陣:（2-1-83）

預(yù)測協(xié)方差陣:P(k+1/k)=Φ(k)P(k)ΦT(k)+Q(k)（2-1-84）殘差協(xié)方差陣:S(k+1)=H(k+1)P(k+1/k)HT(k+1)+R(k+1)（2-1-85）

濾波增益矩陣:K(k+1)=P(k+1/k)HT(k+1)S-1(k+1)（2-1-86）

濾波輸出:（2-1-87）（2-1-88）濾波誤差協(xié)方差陣:（2-1-89）或P(k+1)=P(k+1/k)-K(k+1)S(k+1)KT(k+1)

4.濾波器的啟動(dòng)

1)三點(diǎn)啟動(dòng)在濾波器工作時(shí)，如果目標(biāo)以勻加速運(yùn)動(dòng)，通常要采用三點(diǎn)啟動(dòng)，即利用航跡的前三個(gè)數(shù)據(jù):Z(1)=［r1,θ1,φ1］Z(2)=［r2,θ2,φ2］Z(3)=［r3,θ3,φ3］估計(jì)令i=1,2,3則航跡起始的狀態(tài)估計(jì)（2-1-90）其中T是掃描周期。初始狀態(tài)協(xié)方差矩陣P(3)=BR′BT

（2-1-91）其中B為相對于3個(gè)初始觀測數(shù)據(jù)的Jacobian矩陣，即（2-1-92）R′為擴(kuò)展的觀測噪聲協(xié)方差矩陣：（2-1-93）（2-1-94）

i=x,y,z

（2-1-95）為x,y,z軸方向的加速度擾動(dòng)，分別是距離、方位角和高低角方向的噪聲方差。2)二點(diǎn)啟動(dòng)如果在濾波器工作時(shí)，目標(biāo)以勻速直線運(yùn)動(dòng)，則航跡只需兩點(diǎn)啟動(dòng)。假定前兩點(diǎn)的測量值分別為Z(1)=［r1,θ1,φ1］Z(2)=［r2,θ2,φ

2］利用它們來估計(jì)和。航跡起始的狀態(tài)估計(jì)（2-1-96）其中T是掃描周期。初始狀態(tài)協(xié)方差矩陣其中B為相對于兩個(gè)初始觀測數(shù)據(jù)的Jacobian矩陣，即（2-1-97）R′為擴(kuò)展的觀測噪聲協(xié)方差矩陣:i=x,y,z（2-1-98）σ2ai為x,y,z軸方向的加速度擾動(dòng)，分別是距離、方位角和高低角方向的噪聲方差。顯然，H（k+1）是三點(diǎn)啟動(dòng)時(shí)的化簡：（2-1-99）2.1.6卡爾曼濾波器在雷達(dá)跟蹤中的應(yīng)用

1.系統(tǒng)矩陣假定系統(tǒng)矩陣是四維矩陣，即距離、速度、方位角及其變化率,它們分別由R，，θ和表示，距離方向上的加速度和角度方向的加速度分別由ur(k)和uθ(k)表示。狀態(tài)方程為(2-1-100)則系統(tǒng)方程為(2-1-101)用標(biāo)準(zhǔn)符號x1，x2

，x3,x4分別表示R，R,θ,θ。式(2-1-101)中，A為系統(tǒng)矩陣，W(k)為噪聲項(xiàng)。..

2.觀測矩陣

假定觀測值只有距離和方位兩個(gè)，即R和θ，分別用z1和z2來表示。它們是由狀態(tài)值和測量噪聲組成的，且測量噪聲是相互獨(dú)立的零均值的白噪聲。測量方程：(2-1-102)則有其中，x1(k)=r(k)，x3(k)=θ(k)。

以上兩個(gè)問題實(shí)際上是建立模型問題。

3.觀測噪聲協(xié)方差矩陣

在計(jì)算濾波器增益時(shí)，需知觀測噪聲的協(xié)方差矩陣。由于只有兩個(gè)參數(shù)，因此(2-1-104)這里利用了方位和距離觀測噪聲相互獨(dú)立的條件，故左下角和右上角項(xiàng)為零。

4.系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣

假定目標(biāo)作勻速運(yùn)動(dòng)，但由于大氣湍流等因素的影響，目標(biāo)產(chǎn)生隨機(jī)加速度，在距離和方位上都存在隨機(jī)擾動(dòng),于是有且因?yàn)榈幂斎霐_動(dòng)的協(xié)方差矩陣(2-1-105)

5.濾波器的初值在運(yùn)算之前，必須對濾波器進(jìn)行初始化。首先利用一種比較簡單的方法確定，可利用時(shí)刻1和時(shí)刻2兩點(diǎn)的距離和方位測量值，即z1(1)，z1(2)，z2(1)，z2(2)，建立，而忽略隨機(jī)加速度。(2-1-106)6.均方誤差矩陣由濾波器初值，有誤差矢量從而，（2-1-107）初始誤差的協(xié)方差矩陣(2-1-108)由于u，v相互獨(dú)立，且各噪聲采樣之間也獨(dú)立，則(2-1-109)式中,這樣，所需要的參數(shù)均已具備，可以進(jìn)行迭代運(yùn)算了。2.1.7擴(kuò)展卡爾曼濾波器在目標(biāo)跟蹤和衛(wèi)星軌道確定方面的應(yīng)用

1.目標(biāo)跟蹤假設(shè)被跟蹤的目標(biāo)是在二維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，要根據(jù)所測量的距離和方位數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的跟蹤。所采用的坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系［x(t)，y(t)］，其速度以 表示，目標(biāo)狀態(tài)表示為四維矢量：（2-1-110）我們把目標(biāo)的加速度看作高斯白噪聲，目標(biāo)的動(dòng)態(tài)方程便可以表示為（2-1-111）其中，W(t)是連續(xù)時(shí)間二維高斯白噪聲矢量過程，并有其中Q是2×2階協(xié)方差矩陣。

觀測是由觀測者(也可能是雷達(dá)系統(tǒng))進(jìn)行的，它位于坐標(biāo)原點(diǎn)。觀測數(shù)據(jù)包括距離r(ti)和方位θ(ti)。(2-1-112)距離以米表示，方位以弧度表示（1rad=57.29578°）,如圖2-10所示。圖2-10一個(gè)簡單的目標(biāo)跟蹤

我們假設(shè)，觀測夾雜著高斯白噪聲，于是就可以將觀測矢量Z(tk)寫成(2-1-113)其中Vk是二維離散時(shí)間高斯白噪聲矢量過程，有每5s采樣一次，如表2-1所示。下面的參數(shù)用來產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)序列：表2-1目標(biāo)跟蹤問題的數(shù)據(jù)

為了驗(yàn)證程序的正確性，利用以下給出的初始估計(jì)和初始協(xié)方差矩陣:并利用R，Q的值，得出濾波器的列表輸出。利用該程序確定不同的R值對估值的影響。并討論什么樣的R值是最好的。2.衛(wèi)星軌道確定這里的任務(wù)是確定圍繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星的軌道。我們假設(shè)衛(wèi)星被限定在一個(gè)圓形軌道上運(yùn)行，并且把地球看作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。衛(wèi)星的二維位置和速度由下面的參量描述：v(t)——衛(wèi)星速度，以km/s表示；γ(t)——由本地水平線測量的飛行路徑角，以rad表示；

r(t)——衛(wèi)星對地球中心的距離，以km表示；φ(t)——衛(wèi)星與赤道的夾角，以rad表示。圖2-11衛(wèi)星狀態(tài)參量在沒有擾動(dòng)的情況下，衛(wèi)星的軌跡可由以下差分方程確定：（2-1-114）其中，μ=398602.8225km3/s2是地球的引力常數(shù)。衛(wèi)星的狀態(tài)由下式表示：其動(dòng)態(tài)特性(2-1-115)式中，W(t)表示未知擾動(dòng)，如空氣阻力、地球引力場變化等。我們把W(t)看作一個(gè)四維的連續(xù)時(shí)間高斯白噪聲過程，有其中Q是4×4階協(xié)方差矩陣。

為了簡單起見，我們假設(shè)φ(k)和γ(k)是可直接觀測的，這樣一來，觀測矢量（2-1-116）其中而Vk是離散時(shí)間高斯白噪聲過程,EKF的預(yù)測值（2-1-117）其中， 是非線性微分方程 在時(shí)刻tk+1的解，以tk

時(shí)刻的 值作為初始條件。這個(gè)解通常是利用數(shù)字的方法得到的。對于這個(gè)問題,利用歐拉（Euler）法，我們把區(qū)間［tk

，tk+1］分成L個(gè)子區(qū)間［tk，tk，1］，［tk，1

，tk，2］，…，［tk，L-1，tk+1］。我們根據(jù) 計(jì)算 ，有（2-1-118）

實(shí)現(xiàn)EKF也要求由矩陣 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t,tk)。對于這個(gè)問題，可以利用下面的近似式:這里的l選3或4。

用于模擬的數(shù)據(jù)見表2-2。這個(gè)數(shù)據(jù)的Q=0，即無過程噪聲；R的值為數(shù)據(jù)采樣間隔為200s；初始條件為用Euler法根據(jù) 計(jì)算預(yù)測值 的步長為200。換句話說，即2.1.8目標(biāo)機(jī)動(dòng)檢測1.歸一化殘差功率法

歸一化殘差功率法的基本思想是從當(dāng)前時(shí)刻開始，連續(xù)檢測前m個(gè)采樣時(shí)刻的跟蹤濾波器的短時(shí)間平均殘差功率，根據(jù)它的先驗(yàn)分布，然后按照尼曼—皮爾遜準(zhǔn)則，給定一個(gè)虛警率，信號第一次超過預(yù)先設(shè)定的門限，就認(rèn)為機(jī)動(dòng)開始。我們將短時(shí)間平均殘差功率定義為式中：ε(k)——濾波器的殘差，等于 ；

P(k)——濾波器的誤差方差；

m——窗口寬度，通常取m=5～8。(2-1-119)

由式(2-1-119)可以看出，S（k）是一個(gè)歸一化的殘差平均功率。在跟蹤的過程中，就相當(dāng)于存在一個(gè)窗口，其寬度為m，每次都將窗口內(nèi)的m個(gè)殘差平方求和。所以要對它進(jìn)行平方求和，就是要構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)特性已知的統(tǒng)計(jì)量，以便對它進(jìn)行估計(jì)。我們知道，濾波器殘差服從均值為0的高斯分布，m個(gè)高斯分布的隨機(jī)變量之和服從自由度為m的χ2分布；當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，就相當(dāng)于在高斯隨機(jī)變量中增加了一個(gè)機(jī)動(dòng)分量，使平均值迅速增加，m個(gè)殘差平方之和就變成了非中心的Γ分布。這樣，給定一個(gè)虛警率，如10-6，計(jì)算出一個(gè)門限T，只要信號超過該門限，按照尼曼—皮爾遜準(zhǔn)則，檢測到目標(biāo)機(jī)動(dòng)的概率就是最大的。

2.衰減記憶法衰減記憶法實(shí)際上也是一種χ2檢驗(yàn)法。首先定義一個(gè)歸一化的殘差平方變量S(k)=ε(k)TP-1(k)ε(k)(2-1-120)式中，ε(k)是殘差。與前一種方法相同，P是殘差的誤差協(xié)方差矩陣。然后定義一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(2-1-121)其中，0＜λ＜1。由于該式可迭代運(yùn)算，顯然λ起到了一個(gè)衰減因子的作用，所以有時(shí)將這種方法稱為衰減記憶法。S(k)服從自由度為m1的χ2分布，這里的m1與前一種方法的m意義不同，這里表示測量的維數(shù)，如進(jìn)行的是一維測量，則m1=1。構(gòu)造了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之后，我們首先想到的是，若要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，必須知道μ(k)的概率分布，然后給定虛警率以確定門限。我們知道，式(2-1-121)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，有(2-1-122)對兩側(cè)取平均，就可以得到μ(k)服從自由度為mΔ的χ2分布的隨機(jī)變量，其中Δ=(1-λ)-1

(2-1-123)其它與第一種方法完全相同。

這里需要強(qiáng)調(diào)的是，不管前面介紹的方法，還是后面將要用到的方法，要想檢測到目標(biāo)的機(jī)動(dòng),必須注意三點(diǎn)：

(1)在跟蹤的過程中，目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，在跟蹤濾波器的哪一點(diǎn)上的信號能夠反映目標(biāo)的機(jī)動(dòng)，顯然，這就是殘差；

(2)知道殘差的統(tǒng)計(jì)特性，然后構(gòu)造一個(gè)什么樣的已知特性的統(tǒng)計(jì)量，最后對它進(jìn)行檢測；

(3)我們是把目標(biāo)機(jī)動(dòng)信號當(dāng)作“信號”看的，然后在噪聲中對它進(jìn)行檢測。把握了這些基本原則，就可能構(gòu)造出各種各樣的自適應(yīng)濾波器。2.1.9自適應(yīng)卡爾曼濾波器

1.非零均值相關(guān)加速度正態(tài)截?cái)嗄Ｐ湍繕?biāo)機(jī)動(dòng)就意味著目標(biāo)加速度的變化。假設(shè)目標(biāo)加速度的均值不為0，即它不是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程，因此，可用非零均值相關(guān)模型來描述目標(biāo)的機(jī)動(dòng)：（2-1-124）通過典型離散化處理，可以得到離散化狀態(tài)方程為（2-1-125）其中,（2-1-126）為常數(shù)矩陣,（2-1-127）

正態(tài)分布是自然界中最常見的分布，許多隨機(jī)過程都服從正態(tài)分布或可用正態(tài)分布來近似，或以正態(tài)分布為極限，有些分布可通過正態(tài)分布來導(dǎo)出。所以，將目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度模擬為正態(tài)分布是首先想到的。在每一種具體的戰(zhàn)術(shù)場合，人們所關(guān)心的僅是機(jī)動(dòng)加速度的“當(dāng)前”概率密度,即目標(biāo)機(jī)動(dòng)的當(dāng)前可能性，當(dāng)目標(biāo)正以某一加速度機(jī)動(dòng)時(shí)，它在下一瞬時(shí)的加速度取值范圍是有限的，而且只能在“當(dāng)前”加速度領(lǐng)域內(nèi)。因此，在描述機(jī)動(dòng)加速度的概率密度時(shí)，完全沒有必要考慮機(jī)動(dòng)加速度取值的所有可能性。

目標(biāo)的機(jī)動(dòng)是由未知的飛行指令產(chǎn)生的，而飛行指令的產(chǎn)生受到大氣湍流、地面火力變化、氣候變化等多種因素制約。加上有人駕駛飛行器中操作人員和飛行器本身對加速度承受能力的限制，所以在考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的當(dāng)前模型時(shí)假設(shè)：

(1)目標(biāo)最大加速度是有界的，現(xiàn)階段目標(biāo)機(jī)動(dòng)可達(dá)5g～6g(g=9.8m/s2)，假設(shè)目標(biāo)最大加速度amax=8g；

(2)如果a很大，則下一時(shí)刻目標(biāo)a的變化范圍就很小，反之亦然。

對于正態(tài)分布的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量與數(shù)學(xué)期望的偏差落在3σ的范圍之外的概率上限為0.003。所以我們假設(shè)則方差與均值之間的關(guān)系為(2-1-128)

2.σ2a的實(shí)時(shí)獲取

如果是Kalman濾波器的一個(gè)狀態(tài)變量，則Kalman濾波器的輸出本身包含目標(biāo)機(jī)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)信息。由最優(yōu)估計(jì)理論可知，狀態(tài)的估計(jì)值即為給定輸入的條件均值,（2-1-129）其中：Zk={Z(1),Z(2),Z(3),…,Z(k)}，所以可用代替，則有（2-1-130）這樣擾動(dòng)協(xié)方差矩陣Q即可以實(shí)時(shí)更新，從而達(dá)到自適應(yīng)跟蹤濾波的目的。如果用代替，可得到預(yù)測表達(dá)式和轉(zhuǎn)移矩陣Φ1(k)。3.濾波算法狀態(tài)預(yù)測方程為(2-1-131）預(yù)測協(xié)方差矩陣為(2-1-132）測量預(yù)測值為(2-1-133）新息協(xié)方差矩陣為S(k+1)=H(k+1)P(k+1/k)HT(k+1)+R(k+1)(2-1-134）其中，

增益矩陣為（2-1-135）狀態(tài)濾波估值為（2-1-136）估值誤差協(xié)方差矩陣為（2-1-137）2.2常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器2.2.1目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型對于勻速和勻加速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，有目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型(2-2-1)(2-2-2)式中，w(k)為均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲，T

為對目標(biāo)的采樣周期。2.2.2常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器

對于勻速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，可以采用方差和最小的準(zhǔn)則進(jìn)行濾波和預(yù)測，這就是我們要介紹的α-β和α-β-γ濾波器。常系數(shù)α-β濾波器定義如下。濾波方程：(2-2-3)預(yù)測方程：(2-2-4)濾波方程和預(yù)測方程也可以分別寫成如下形式：濾波器和預(yù)測器如圖2-12和圖2-13所示。圖2-12α-β位置平滑濾波器流程圖圖2-13α-β預(yù)測器流程圖常系數(shù)α-β-γ濾波器定義如下：濾波方程：(2-2-5)預(yù)測方程：(2-2-6)對α-β-γ濾波器，濾波和預(yù)測方程也可寫成(2-2-7)(2-2-8)α，β，γ為系統(tǒng)增益，分別稱為位置增益、速度增益和加速度增益。2.2.3常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器的系數(shù)

α-β和α-β-γ濾波器的系數(shù)可以通過頻域分析得到。

1.α-β濾波器的系數(shù)(2-2-9)2.α-β-γ濾波器的系數(shù)(2-2-10)式中：ω0——濾波器的固有頻率；ωd——濾波器的阻尼固有頻率；ξ——阻尼系數(shù)；d——濾波器的實(shí)根。分析表明，為了保證濾波器的穩(wěn)定工作，濾波系數(shù)α和β應(yīng)滿足如下的關(guān)系：

由于這些參數(shù)均為對應(yīng)模擬濾波器的參數(shù)，使用起來比較復(fù)雜，這里直接給出一組用臨界阻尼法、最佳選擇法給出的系數(shù)。對α-β濾波器，通常在給定α值的情況下，計(jì)算β值:(1)(2)一般取α=0.3～0.5。對α-β-γ濾波器，其參數(shù)如下：(2-2-12)給定α，得R，最后得β和γ。式中R是系統(tǒng)特征方程三重正實(shí)根。(2-2-13)這組系數(shù)也是在給定α的情況下，計(jì)算β和γ。在進(jìn)行頻率分析時(shí)我們會看到，α-β和α-β-γ濾波器是低通濾波器。位置平滑是將位置測量值通過低通濾波器而得到的；而速度和加速度平滑是在足夠低的頻率上，通過對位置測量值的微分得到的。當(dāng)濾波器的實(shí)根d=1時(shí)，α-β-γ濾波器降為α-β濾波器。2.2.4變系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器的系數(shù)1.α-β濾波器假定濾波器采用兩點(diǎn)啟動(dòng)在啟動(dòng)后的N步中，時(shí)刻k的濾波器參數(shù)(2-2-14)N+3步后，α保持不變，β和α的關(guān)系為這時(shí)有預(yù)測方程和濾波方程：預(yù)測方程:(2-2-15)濾波方程:(2-2-16)2.α-β-γ濾波器

濾波器采用三點(diǎn)啟動(dòng)，啟動(dòng)時(shí)α=1,在啟動(dòng)后的N步中，時(shí)刻k的濾波器參數(shù)(2-2-17)N+3步后，α保持不變，β、γ與α的關(guān)系為(2-2-18)2.2.5α-β和α-β-γ組合濾波器對于勻速和勻加速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，可以將α-β和α-β-γ濾波器聯(lián)合使用。在濾波參數(shù)不變的情況下，可以得到更高的跟蹤精度。組合濾波器結(jié)構(gòu)如圖2-14所示。圖2-14組合濾波器結(jié)構(gòu)圖2-14中，其輸出(2-2-19)是組合濾波器的濾波輸出;分別為α-β、α-β-γ濾波器的濾波輸出;d1(k)、d2(k)分別為α-β、α-β-γ濾波器的殘差：、(2-2-20)

這里參數(shù)的選擇可采用上邊給出的變參選擇方法。其基本思想是：目標(biāo)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，濾波器采用穩(wěn)態(tài)濾波參數(shù)；目標(biāo)機(jī)動(dòng)后，為防止目標(biāo)丟失，增加濾波器增益，并使濾波器進(jìn)入暫態(tài)過程，這就是變參的基本思想。目標(biāo)機(jī)動(dòng)與否，可根據(jù)一步預(yù)測方差的大小來判斷。2.3自適應(yīng)α-β濾波器2.3.1目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程和觀測方程

運(yùn)動(dòng)方程：X(k+1)=Φ(k)X(k)+W(k)（2-3-1）其中,E［W(k)］=0,E［W(k)WT(j)］=