貴州省六盤(pán)水市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題含解析

六盤(pán)水市2023~2024學(xué)年度高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．3．本卷命題范圍：人教A版必修第二冊(cè)、必修第二冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第一章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集運(yùn)算計(jì)算出，再求其補(bǔ)集即可.【詳解】解：因?yàn)?，則，故.故選：D.2.以的虛部為實(shí)部，以的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念即得.【詳解】設(shè)所求復(fù)數(shù)為，由題意知復(fù)數(shù)的虛部為7，所以，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，所以，故．故選：A.3.已知向量，則與同向共線的單位向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得的模，再根據(jù)與同向共線的單位向量求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，所以與同向共線的單位向量為：，故選：C.4.在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A.0.55，0.55 B.0.55，0.5 C.0.5，0.5 D.0.5，0.55【答案】B【解析】【分析】根據(jù)頻率的計(jì)算公式可求得頻率，結(jié)合概率的含義可確定概率，即得答案.【詳解】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為,由于每次拋硬幣時(shí)，正面朝上和反面朝上的機(jī)會(huì)相等，都是,故出現(xiàn)正面朝上的概率為,故選︰B．5.已知空間向量，，不共面，且，則x，y，z的值分別是（）A.2，1，2 B.2，1，C.1，，3 D.l，，3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理，不共面向量的線性表達(dá)式中對(duì)應(yīng)向量的系數(shù)相等，即可求x，y，z的值.【詳解】由題設(shè)知：，解得.故選：C6.已知，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求和坐標(biāo),再求,最后應(yīng)用投影向量公式求解即可.【詳解】已知,可得,,又因?yàn)橄蛄吭谏系耐队跋蛄繛?故選:A.7.出租車(chē)司機(jī)老王從飯店到火車(chē)站途中經(jīng)過(guò)六個(gè)交通崗，已知各交通崗信號(hào)燈相互獨(dú)立.假設(shè)老王在各交通崗遇到紅燈的概率都是，則他遇到紅燈前已經(jīng)通過(guò)了兩個(gè)交通崗的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】因?yàn)樗緳C(jī)老王在第一、二個(gè)交通崗未遇到紅燈，在第三個(gè)交通崗遇到紅燈之間是相互獨(dú)立的，且遇到紅燈的概率都是，所以未遇到紅燈的概率都是，所以遇到紅燈前已經(jīng)通過(guò)了兩個(gè)交通崗概率為.故選：B8.如圖，平行六面體所有棱長(zhǎng)都為1，底面為正方形，．則對(duì)角線的長(zhǎng)度為（）A B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用基底法求解即可.【詳解】由題知，所以，所以，即.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于概率的命題，正確的是（）A.對(duì)于任意事件A，都有B.必然事件的概率為1C.如果事件A與事件B對(duì)立，那么一定有D.若A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)必然事件的定義得到B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)得到C正確；D選項(xiàng)，由概率性質(zhì)得到D正確.【詳解】對(duì)于A，對(duì)于任意事件A，都有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，必然事件的概率為1，顯然正確，故B正確；對(duì)于C，如果事件A與事件B對(duì)立，那么一定有，故C正確；對(duì)于D，若A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則，故D正確．故選：BCD．10.給出下列命題，其中正確的有（）A.空間任意三個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底B.已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.已知是空間向量的一個(gè)基底，則也是空間向量的一個(gè)基底D.A、B、M、N是空間四點(diǎn)，若、、不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A、B、M、N共面【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，結(jié)合向量的共面定理，空間點(diǎn)共面的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，空間任意的三個(gè)不共面的向量才可以作為一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，則、與任何向量都共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若共面，則，則共面，這與為空間的一個(gè)基底相矛盾，故可以構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則共面，又過(guò)相同的點(diǎn)B，則A、B、M、N四點(diǎn)共面，故D正確．故選：BCD.11.定義運(yùn)算：，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則ω的可能取值是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由定義運(yùn)算結(jié)合輔助角公式，得函數(shù)解析式，再求平移后的函數(shù)解析式，由此函數(shù)為偶函數(shù)，求出ω的值，對(duì)照選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，可得的圖像，再根據(jù)所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，可得，求得，令，可得；令，求得.故選：BC.12.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是棱的中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).若點(diǎn)在直線上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面B.當(dāng)為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，平面C.在線段的延長(zhǎng)線上，存在一點(diǎn)，使得平面D.不存在點(diǎn)，使與平面垂直【答案】ABC【解析】【分析】通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)，表示出向量，再利用，建立關(guān)系式，從而判斷出無(wú)解，即不存在這樣的點(diǎn)，進(jìn)而判斷出選項(xiàng)ABC不正確，選項(xiàng)D正確.【詳解】如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.假設(shè)平面，且，則.因?yàn)橐彩瞧矫娴姆ㄏ蛄?，所以與共線，所以成立，但此方程關(guān)于無(wú)解，因此不存在點(diǎn)，使與平面垂直，所以選項(xiàng)ABC不正確，選項(xiàng)D正確.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)向量，且，則__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】，解得．故答案為：.14.在中，，則外接圓的半徑為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】正弦定理的直接求解.【詳解】因?yàn)?，可得，由正弦定理得外接圓的半徑．故答案為：2.15.已知平面的法向量為，點(diǎn)，，且，，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式即可求解.【詳解】解：依題意，且平面的法向量為，所以由點(diǎn)到面距離的向量公式可得，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.16.若函數(shù)零點(diǎn)為，函數(shù)零點(diǎn)為，則___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義及反函數(shù)的圖像特征，判斷出A、B兩點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，即可求出.【詳解】令，得：；令，得：；所以分別為和與的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：所以，.因?yàn)楹突榉春瘮?shù)，所以和的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，所以A、B兩點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng).又A、B兩點(diǎn)均在的圖像上，所以，所以2.故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.已知空間三點(diǎn)．（1）若，且分別與，垂直，求的坐標(biāo)；（2）求的值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意得到方程組，求出；（2）計(jì)算出，利用模長(zhǎng)公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，,由題意得，解得或故或．【小問(wèn)2詳解】，故．18.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到即可求出實(shí)數(shù)的值.（2）首先根據(jù)為奇函數(shù)得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）是定義在的奇函數(shù)，，即.（2）∵函數(shù)為奇函數(shù)，所以..又因?yàn)椋紴樯显龊瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，，即，.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，第二問(wèn)考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于簡(jiǎn)單題.19.第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會(huì)成功舉辦的重要保障．某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a，b的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的眾數(shù)和分位數(shù)（百分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中選出2人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來(lái)自不同組的概率．【答案】（1），（2）眾數(shù)為70，分位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程組即能求出的值；（2）觀察頻率分布直方圖即可得眾數(shù)，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的求解公式可得平均值，先確定第分位數(shù)在65-75之間，然后列式求解即可；（3）根據(jù)分層抽樣，在和中分別選取4人和1人，列舉出這5人中選出2人的總的基本事件數(shù)，和選出的兩人來(lái)自不同組的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，，解得，；【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖得眾數(shù)為，前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，第分位數(shù)等于；【小問(wèn)3詳解】根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為，故在和中分別選取4人和1人，分別設(shè)為和，則在這5人中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)有共10個(gè)，即，記事件“兩人來(lái)自不同組”，則事件包含的樣本點(diǎn)有共4個(gè)，即，所以.20.如圖，在菱形ABCD中，，點(diǎn)P是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，，平面ABCD．平面PCD與平面PAB交于直線l．（1）求證：平面ABCD；（2）求點(diǎn)D到平面PAB的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）用線平行于面性質(zhì)定理即可；（2）用等體積法即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，又平面平面，所以．又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為d，因?yàn)椋驗(yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且，所以，又，所以．21.在銳角中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此求得的值.（2）利用余弦定理以及三角恒等變換的知識(shí)判斷出三角形的形狀，由此求得的面積.【小問(wèn)1詳解】依題意，，由余弦定理得，整理得，由于三角形是銳角三角形，所以，則.【小問(wèn)2詳解】由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，所以，由于為銳角，所以，此時(shí)，所以三角形是等邊三角形，所以.22.如圖，在四棱錐中，已知底面ABCD，，異面直線PA和CD所成角等于．（1）求直線CD和平面PAD所成角的正弦值；（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得平面PAB與平面BDE夾角的正切值為？若存在，指出點(diǎn)E在棱PA上的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在這樣的E點(diǎn)，E為棱PA上靠近A的三等分點(diǎn)【解析】【分析】（1）以B為原點(diǎn)，BA，BC，BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用空間向量法求解；（2）先假設(shè)棱PA上存在一點(diǎn)E，求出平面PAB與平面BDE的法向量，進(jìn)而求得二面角的正切值為，求出E點(diǎn)坐