黑龍江省雞西市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

1PAGE第12頁(yè)黑龍江省雞西市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘分值：150分注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷和第II卷兩部分.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(-2，0)，(2，0) B.(0，-2)，(0，2)C.(-，0)，(，0) D.(0，-)，(0，)2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.3.已知向量，則等于（）A. B. C. D.4.橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，則的值等于（）A.3 B.5 C.8 D.5或35.若雙曲線的弦被點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為（）A B. C. D.6.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)相連，則線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A B.C D.7.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決.例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，函數(shù)的最小值是（）A. B.4 C. D.8.已知雙曲線C：分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn).連接交雙曲線C左支于點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（）A. B.2 C. D.5二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.任何一條直線都有唯一的斜率 B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C.任何一條直線都有唯一的傾斜角 D.垂直于軸的直線傾斜角為10.在下列命題中，錯(cuò)誤的有（）A.若共線，則所在直線平行；B.若所在的直線是異面直線，則一定不共面；C.若三向量?jī)蓛晒裁?，則三向量一定也共面；D.已知三向量不共面，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為11.動(dòng)點(diǎn)分別到兩定點(diǎn)，連線的斜率的乘積為，設(shè)的軌跡為曲線，，分別為曲線的左、右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則B.的內(nèi)切圓的面積的最大值為C.到直線的最小距離為D.設(shè)，則最小值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上，則的最大值為_(kāi)__________.13.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，在雙曲線的左支上，是該雙曲線的左焦點(diǎn).為的中點(diǎn)，則______.14.已知.若存在滿足的點(diǎn)使為鈍角，則t的取值范圍是___________.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.在三角形中，.（1）求邊的中線所在直線的一般式方程；（2）求邊上的高所在直線的點(diǎn)斜式方程.16.已知雙曲線的離心率，實(shí)軸長(zhǎng).（1）求C的方程；（2）過(guò)C的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，求；（3）求與C有相同的漸近線且過(guò)點(diǎn)1,2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.17.如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.18.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓與軸正半軸交于點(diǎn).（1）求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被圓截得的弦長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，判斷直線QA，QB的斜率之和是否為定值，若是則求出該定值，若不是則說(shuō)明理由.19.在①，②過(guò)，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，且___________.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)圓D：上任意一點(diǎn)G作橢圓C的兩條切線.求證：；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn).直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與軸交于點(diǎn)，直線AQ與軸交于點(diǎn)，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn).黑龍江省雞西市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.【答案】CD10.【答案】ABC11.【答案】ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.【答案】213.【答案】514.【答案】四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.【解析】【分析】（1）求得中點(diǎn)，進(jìn)而可求解；（2）由垂直關(guān)系求得斜率，進(jìn)而可求解.【小問(wèn)1詳解】由，可得其中點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)中線斜率為：，所以邊的中線方程為：，即；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由垂直關(guān)系可知：邊上的高所在直線斜率為，所以方程為：，即.16.【解析】【分析】（1）由已知列關(guān)于的方程組，求解與的值，則雙曲線的方程可求；（2）寫出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求解；（3）對(duì)于不為0的實(shí)數(shù)，共漸近線的雙曲線方程為，將點(diǎn)代入即可解答.【小問(wèn)1詳解】由已知可得可得：，，所以雙曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式得直線的方程為，由消去得：，所以，，所以【小問(wèn)3詳解】設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將代入可得，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.17.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求證；（2）求得平面法向量，代入夾角公式即可；（3）由點(diǎn)到面距離的向量法即可求解.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，平面，，且為棱的中點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，所以，，則，所以，即；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，所以；【小問(wèn)3詳解】易知，所以點(diǎn)到平面的距離為：.18.【解析】【分析】（1）計(jì)算出圓心到直線的距離，然后根據(jù)半徑、圓心到直線的距離、半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系求解出弦長(zhǎng)；（2）先直接分析直線斜率不存在的情況，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求解出切線方程，由此結(jié)果可知；（3）設(shè)Ax1,y1,B【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)斜率為的直線方程為，圓心到該直線的距離為，所以該直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.【小問(wèn)2詳解】圓的圓心為，半徑為2，若過(guò)點(diǎn)的直線垂直于軸，則方程為，顯然與圓相切，符合題意；若過(guò)點(diǎn)的直線不垂直于軸，設(shè)直線的斜率與，則直線方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以切線方程為；綜上所述，切線方程為和.【小問(wèn)3詳解】由題意知點(diǎn)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，設(shè)Ax1,且，所以，所以是定值，定值為．19.【解析】【分析】（1）由題意確定a，b的值即可確定橢圓方程；（2）分切線斜率存在和不存在兩種情況討論證明即可；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，進(jìn)而求證即可.【小問(wèn)1詳解】選①條件，由橢圓：的右焦點(diǎn)為，可得，因?yàn)殡x心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.選②條件，由橢圓：的右焦點(diǎn)為，可得，過(guò)，則，∴，所以橢圓的方程為.選③條件，由橢圓：的右焦點(diǎn)為，可得，，又由，則，，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，若過(guò)點(diǎn)的切線斜率都存在，設(shè)其方程為，則聯(lián)立方程組，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，整理得，設(shè)橢圓的兩