理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程付佳課后參考答案

讓分別是沿方向的單位向量。(1)計(jì)算：(2)向量和彼此正交，確定，(3)向量在方向上的投影有多長(zhǎng)?解：（1）由正交關(guān)系，它立即得到:（2）由于向量和彼此正交，則（3）在方向上的投影(圖第1.1題):證明：解：(1) (2)(3)證明對(duì)于任意向量a,b,c和，下列恒等式成立：3.和是分別定義軸和軸的兩個(gè)正交向量。質(zhì)點(diǎn)沿路徑線移動(dòng)：是常數(shù)，且。1.從，到新的基底，到新的軸，這樣空間曲線的表示就變得特別簡(jiǎn)單了。在以為參數(shù)的系中，空間曲線的參數(shù)表示是什么?2.空間曲線有什么幾何形式?3.計(jì)算的大小。和之間存在什么關(guān)系?4.計(jì)算解：（1）我們通過(guò)旋轉(zhuǎn)舊的坐標(biāo)系得到新的基底(如圖)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為45時(shí)，表示法變得特別簡(jiǎn)單。因子負(fù)責(zé)正確的歸一化:系中帶t的空間曲線的參數(shù)表示:（2）這就得到了橢圓的中點(diǎn)方程:（3）（4）.注意，一般來(lái)說(shuō):這一項(xiàng)的內(nèi)容如下:在我們的例子中，我們有:計(jì)算單位向量的散度。解:為標(biāo)量場(chǎng)，為矢量場(chǎng)。證明：解：證明以下恒等式適用于任意標(biāo)量和向量場(chǎng)和解：引入轉(zhuǎn)化為旋度的一般表達(dá)式：將前面的行列式展開(kāi)，我們得到：其中，我們假設(shè)是一個(gè)（表現(xiàn)良好的）可微函數(shù)，即等。因?yàn)閷?duì)于第二個(gè)恒等式，使用表達(dá)式?×F：其中，我們?cè)俅渭僭O(shè)是可微函數(shù)。證明：解：為了很好地近似，嵌入等離子體中的點(diǎn)電荷（由帶電粒子組成的“氣體”）的標(biāo)量靜電勢(shì)可以用以下公式描述：(1)確定的偏導(dǎo)數(shù)并記下。(2)計(jì)算，其中是拉普拉斯算子。解：（1）因此，勢(shì)的偏導(dǎo)數(shù)為：這就得到了梯度場(chǎng)：(2)因?yàn)?，最終如下： 求出基上點(diǎn)的坐標(biāo)的一般表達(dá)式，該表達(dá)式由基繞軸旋轉(zhuǎn)得到，并在平面上平移得到，如圖1.5所示。圖1.5繞軸旋轉(zhuǎn)并在平面上平移得到的坐標(biāo)變化解：原基中的坐標(biāo)與引基的關(guān)系由(1)將和寫(xiě)成非素?cái)?shù)基，并將寫(xiě)成素?cái)?shù)基(2)引入旋轉(zhuǎn)矩陣，我們可以用原始基來(lái)表示素?cái)?shù)基，正如我們之前所做的那樣(3)將這個(gè)表達(dá)式插回（2）并簡(jiǎn)化，我們得到(4)因此，素?cái)?shù)基中坐標(biāo)r’的表達(dá)式可以簡(jiǎn)單地由下式給出(5)從圖1.5可以看出，我們可以將和寫(xiě)成和的線性組合，如下所示(6)平移是在平面上執(zhí)行的，因此。因此，（5）特指我們的情況，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是(7)和是笛卡爾坐標(biāo)。拋物柱面坐標(biāo)滿足轉(zhuǎn)換公式：1.計(jì)算雅可比行列式:2.體積元如何自我變換?解：1.2.1.質(zhì)點(diǎn)沿勻速圓周運(yùn)動(dòng)。因此速度矢量在2s內(nèi)改變方向60°。（1）計(jì)算2s時(shí)間間隔內(nèi)的速度變化。（2）勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的大小是多少?解：(1).速度的大小沒(méi)有改變，因此它符合余弦規(guī)則:（2）對(duì)于向心加速度,有:從可以得到:于是:2.粒子受到振蕩力，其中和為常數(shù)。計(jì)算速度和軌跡用和表示。解：運(yùn)動(dòng)方程：(1)可以對(duì)t積分得到(2)其中，是速度的單位。(2)對(duì)的積分得到(3)3.在地球引力場(chǎng)中，兩塊石頭以相同的初速度垂直向上拋出，但時(shí)間間隔為。（1）計(jì)算并積分運(yùn)動(dòng)方程.（2）兩顆石頭什么時(shí)候相遇?（3）那么它們相遇時(shí)的速度有多大?解：（1）這是一個(gè)一維問(wèn)題： （2） （3） 4..如果是常數(shù)(獨(dú)立于和)，確定速度和軌跡用和表示。解：運(yùn)動(dòng)方程是(1)我們?cè)?1)的兩邊對(duì)積分，在和之間，然后，因?yàn)?和是常數(shù)，我們有(2)因此，t時(shí)刻的速度由(3)根據(jù)定義，因此(3)兩邊對(duì)的積分(4)因此，時(shí)刻的位置為(5)式(3)和(5)是期望解。它們分別是的線性函數(shù)和二次函數(shù)，如下所示(對(duì)于)。5.求出在恒定力作用下，粒子沿某慣性參考系軸作直線運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。解：因此，的表達(dá)式為的表達(dá)式最終為因此：6.給定一個(gè)描述圓形軌跡為常數(shù)，(逆時(shí)針運(yùn)動(dòng))的類點(diǎn)粒子，計(jì)算解：軌道由給出因此v和微分弧長(zhǎng)的表達(dá)式為這里還是。從前面的方程可以明顯看出切向量是由給出的(我們?cè)跇O坐標(biāo)中確定了與)，并且。利用第一個(gè)弗萊內(nèi)公式，曲率由給出。因此，正如前面提到的，對(duì)于圓。同樣明顯的是法向量的表達(dá)式是：其中是極坐標(biāo)中基底的另一個(gè)分量。圖3.2中的情況顯示了和。最后，加速度由通常定義角速度為，角加速度為。因此，我們可以把表示為：我們可以觀察到，即使在速度恒定的情況下，加速度中仍然有一個(gè)非零分量，法向加速度，它導(dǎo)致了運(yùn)動(dòng)方向的改變。7.設(shè)為兩個(gè)平行軸相對(duì)移動(dòng)的笛卡爾坐標(biāo)系。粒子在任意時(shí)間t處的位置用在中表示:和在中描述:（1）粒子在相對(duì)于的速度是多少?（2）粒子分別在中經(jīng)歷了怎樣的加速度?（3）如果是一個(gè)慣性系，那么也是一個(gè)慣性系嗎?解：根據(jù)圖A.21:相對(duì)速度:（2）（3）如果是一個(gè)慣性系，那么也是一個(gè)慣性系，因?yàn)楹汀Ｈ绻粋€(gè)無(wú)力體在中勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么在中也是如此。8.考察以下力場(chǎng)是否保守:解：9.給定勢(shì)能，點(diǎn)和點(diǎn)(笛卡爾)坐標(biāo)，計(jì)算功。計(jì)算相應(yīng)的力。檢查路徑上的功由兩段的和給出，其中，等于之前計(jì)算的10.一個(gè)質(zhì)量為，動(dòng)量為的粒子撞擊了一個(gè)在實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)中靜止的質(zhì)量相同的粒子(見(jiàn)圖3.16)。圖3.16兩個(gè)質(zhì)量相同的粒子之間的碰撞若該碰撞為彈性碰撞,推導(dǎo)出和與之間的關(guān)系。解：粒子2在碰撞前處于靜止?fàn)顟B(tài)(圖a.45)，運(yùn)動(dòng)發(fā)生在一個(gè)固定的平面上。動(dòng)量守恒定律：逐分量:這可以歸納為:因?yàn)樵撨^(guò)程為,能量定理:1.質(zhì)點(diǎn)沿勻速圓周運(yùn)動(dòng)。因此速度矢量在2s內(nèi)改變方向60°。（1）計(jì)算2s時(shí)間間隔內(nèi)的速度變化。（2）勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的大小是多少?解：(1).速度的大小沒(méi)有改變，因此它符合余弦規(guī)則:（2）對(duì)于向心加速度,有:從可以得到:于是:2.粒子受到振蕩力，其中和為常數(shù)。計(jì)算速度和軌跡用和表示。解：運(yùn)動(dòng)方程：(1)可以對(duì)t積分得到(2)其中，是速度的單位。(2)對(duì)的積分得到(3)3.在地球引力場(chǎng)中，兩塊石頭以相同的初速度垂直向上拋出，但時(shí)間間隔為。（1）計(jì)算并積分運(yùn)動(dòng)方程.（2）兩顆石頭什么時(shí)候相遇?（3）那么它們相遇時(shí)的速度有多大?解：（1）這是一個(gè)一維問(wèn)題： （2） （3） 4..如果是常數(shù)(獨(dú)立于和)，確定速度和軌跡用和表示。解：運(yùn)動(dòng)方程是(1)我們?cè)?1)的兩邊對(duì)積分，在和之間，然后，因?yàn)?和是常數(shù)，我們有(2)因此，t時(shí)刻的速度由(3)根據(jù)定義，因此(3)兩邊對(duì)的積分(4)因此，時(shí)刻的位置為(5)式(3)和(5)是期望解。它們分別是的線性函數(shù)和二次函數(shù)，如下所示(對(duì)于)。5.求出在恒定力作用下，粒子沿某慣性參考系軸作直線運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。解：因此，的表達(dá)式為的表達(dá)式最終為因此：6.給定一個(gè)描述圓形軌跡為常數(shù)，(逆時(shí)針運(yùn)動(dòng))的類點(diǎn)粒子，計(jì)算解：軌道由給出因此v和微分弧長(zhǎng)的表達(dá)式為這里還是。從前面的方程可以明顯看出切向量是由給出的(我們?cè)跇O坐標(biāo)中確定了與)，并且。利用第一個(gè)弗萊內(nèi)公式，曲率由給出。因此，正如前面提到的，對(duì)于圓。同樣明顯的是法向量的表達(dá)式是：其中是極坐標(biāo)中基底的另一個(gè)分量。圖3.2中的情況顯示了和。最后，加速度由通常定義角速度為，角加速度為。因此，我們可以把表示為：我們可以觀察到，即使在速度恒定的情況下，加速度中仍然有一個(gè)非零分量，法向加速度，它導(dǎo)致了運(yùn)動(dòng)方向的改變。7.設(shè)為兩個(gè)平行軸相對(duì)移動(dòng)的笛卡爾坐標(biāo)系。粒子在任意時(shí)間t處的位置用在中表示:和在中描述:（1）粒子在相對(duì)于的速度是多少?（2）粒子分別在中經(jīng)歷了怎樣的加速度?（3）如果是一個(gè)慣性系，那么也是一個(gè)慣性系嗎?解：根據(jù)圖A.21:相對(duì)速度:（2）（3）如果是一個(gè)慣性系，那么也是一個(gè)慣性系，因?yàn)楹汀Ｈ绻粋€(gè)無(wú)力體在中勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么在中也是如此。8.考察以下力場(chǎng)是否保守:解：9.給定勢(shì)能，點(diǎn)和點(diǎn)(笛卡爾)坐標(biāo)，計(jì)算功。計(jì)算相應(yīng)的力。檢查路徑上的功由兩段的和給出，其中，等于之前計(jì)算的10.一個(gè)質(zhì)量為，動(dòng)量為的粒子撞擊了一個(gè)在實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)中靜止的質(zhì)量相同的粒子(見(jiàn)圖3.16)。圖3.16兩個(gè)質(zhì)量相同的粒子之間的碰撞若該碰撞為彈性碰撞,推導(dǎo)出和與之間的關(guān)系。解：粒子2在碰撞前處于靜止?fàn)顟B(tài)(圖a.45)，運(yùn)動(dòng)發(fā)生在一個(gè)固定的平面上。動(dòng)量守恒定律：逐分量:這可以歸納為:因?yàn)樵撨^(guò)程為,能量定理:質(zhì)量為m的粒子在地球引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)（）。因此，它做一維運(yùn)動(dòng)。計(jì)算作用量函數(shù) 對(duì)于路徑 因此，是一個(gè)原則上任意但連續(xù)可微的函數(shù)，。證明對(duì)于是極小的。解：拉格朗日算符： 它適用于給定的軌跡： 作用量函數(shù)： 其中 因?yàn)?，則 第一項(xiàng)與無(wú)關(guān)，第二項(xiàng)的最小值為 因?yàn)?，則 用柱坐標(biāo)描述粒子的位置，粒子的勢(shì)能為 寫(xiě)出拉格朗日函數(shù)推導(dǎo)拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程 解：（1） 拉格朗日函數(shù)： （2）（2） 例子(彈簧擺):考慮一個(gè)末端質(zhì)量為的彈簧構(gòu)成的擺(見(jiàn)圖6.1)。彈簧被布置成一條直線(我們可以通過(guò)，比如說(shuō)，將彈簧纏繞在一根剛性的無(wú)質(zhì)量桿上)。彈簧的平衡長(zhǎng)度為。彈簧的長(zhǎng)度為，彈簧與垂直線的夾角為。假設(shè)運(yùn)動(dòng)發(fā)生在垂直平面上，求的運(yùn)動(dòng)方程。解：動(dòng)能可以分解成徑向部分和切向部分，所以我們有 勢(shì)能來(lái)自重力和彈簧，所以我們有 因此，拉格朗日方程為： 因此，歐拉-拉格朗日方程是 和 確定下列函數(shù)的勒讓德變換（1）（2）解：（1）（2）證明對(duì)于函數(shù)以下關(guān)系是有效的：解：（1）（2）（3） 質(zhì)量為m的物體受到約束（圖2.1）， 求該物體的哈密頓運(yùn)動(dòng)方程。解：因此具有恰好一個(gè)自由度，使用廣義坐標(biāo): 變換公式如下： 動(dòng)能和勢(shì)能則為： 由此我們導(dǎo)出廣義動(dòng)量： 我們將其插入: 并由此執(zhí)行勒讓德變換： 哈密頓運(yùn)動(dòng)方程為： 我們考慮彈簧上的質(zhì)量，彈簧常數(shù)服從胡克定律 其中表示質(zhì)量塊從其靜止位置的位移（圖2.2）。約束條件 求該物體的哈密頓運(yùn)動(dòng)方程。解：注意質(zhì)量是一維運(yùn)動(dòng)，使用廣義坐標(biāo) 我們立即發(fā)現(xiàn)： 在最后一個(gè)方程中，我們用廣義動(dòng)量代替： 則 我們得到該物體的哈密頓函數(shù)為： 這是一個(gè)具有嚴(yán)格約束的保守系統(tǒng)的例子。因?yàn)?等于總能量,可以寫(xiě)為： 然后得到橢圓的中點(diǎn)方程。系統(tǒng)在相空間中的路徑是具有半軸的橢圓 正則方程組： (1)確定由質(zhì)點(diǎn)的線動(dòng)量p和角動(dòng)量L=r*p的笛卡爾分量構(gòu)成的泊松括號(hào)。(2)計(jì)算由L組成的泊松括號(hào)。解：對(duì)于任意相函數(shù)，有：我們?cè)谶@里使用:類似地，我們可以找到其他括號(hào):其中和循環(huán)，三階完全反對(duì)稱單位張量2.其他括號(hào)的計(jì)算方法完全類似:其中和循環(huán)建立無(wú)力粒子的Hamilton-Jacobi微分方程，求解特征函數(shù)W。解： 哈密爾頓-雅可比微分方程： 給出了具有Hamilton函數(shù)的機(jī)械系統(tǒng)，以及正則變換的生成函數(shù):解：1.變換公式是什么新的漢密爾頓函數(shù)是什么解：1.2.由于，我們有:1.一個(gè)剛體有多少個(gè)自由度(即需要多少個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能唯一確定它在給定時(shí)刻的空間位置):（1）繞著空間中固定的軸旋轉(zhuǎn)?（2）在過(guò)渡時(shí)期（轉(zhuǎn)變中的）（3）在二維（平面或?qū)恿鳎┻\(yùn)動(dòng)中？（4）一般情況下呢?解：只需要一個(gè)坐標(biāo)，即旋轉(zhuǎn)角度:。（2）由于沒(méi)有旋轉(zhuǎn)，只要指定物體內(nèi)(或相對(duì)于)一點(diǎn)的軌跡就足夠了:（3）平面運(yùn)動(dòng)包括平行于固定平面的平移和繞垂直于固定平面的軸的旋轉(zhuǎn)。平移需要兩個(gè)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)需要一個(gè):。（4）一般來(lái)說(shuō)，如果剛體上固定或相對(duì)于剛體的三個(gè)非線性共線點(diǎn)的坐標(biāo)已知，那么剛體的位置就確定了。這需要個(gè)坐標(biāo)。然而，并非所有這些坐標(biāo)都是獨(dú)立的。剛性要求提供了它們之間的三種關(guān)系，因此。(這也可以通過(guò)首先指定一個(gè)點(diǎn)的位置來(lái)推導(dǎo)——例如，質(zhì)心。這需要個(gè)坐標(biāo)。第二個(gè)點(diǎn)的位置需要個(gè)坐標(biāo)，因?yàn)槭枪潭ǖ?，第三個(gè)非共線點(diǎn)B的位置只需要一個(gè)坐標(biāo)，因?yàn)楹褪枪潭ǖ?，?2.考慮一個(gè)剛體，該剛體繞固定軸（比如軸）旋轉(zhuǎn)，角速度。a. 表明物體繞旋轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的分量是：12.4b. 表明旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為：,。解：a.第個(gè)粒子的速度為 所以 b. 3.將問(wèn)題2關(guān)于繞固定軸旋轉(zhuǎn)的結(jié)果擴(kuò)展為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。12.5解：在剛體的平面運(yùn)動(dòng)中，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)平行于固定平面運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)可以用CM的二維運(yùn)動(dòng)和繞的旋轉(zhuǎn)來(lái)表示(意思是通過(guò)繞軸旋轉(zhuǎn)并垂直于固定平面)。對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，我們考慮的角動(dòng)量： 讓固定平面平行于平面。然后，，的計(jì)算如問(wèn)題2所示。的結(jié)果為 是關(guān)于（即關(guān)于軸線）的慣性矩。對(duì)于剛體，與無(wú)關(guān)，因此旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量： 這里，是繞軸的力矩?？倓?dòng)能由平移和旋轉(zhuǎn)貢獻(xiàn)組成： 對(duì)于保守外力，相對(duì)于慣性系的機(jī)械能為 4.定義剛體繞某軸旋轉(zhuǎn)的角速度，然后推導(dǎo)出物體中一個(gè)點(diǎn)的速度與相對(duì)于該軸原點(diǎn)的位置向量的關(guān)系。（提示：首先，繪制一張圖表，顯示旋轉(zhuǎn)軸、向量及其軌跡。）12.3解：5.假設(shè)剛體的一個(gè)點(diǎn)固定在慣性空間中。設(shè)為固定在物體內(nèi)的坐標(biāo)系，為物體相對(duì)于原點(diǎn)為的慣性系的角速度。關(guān)于的角動(dòng)量，用物體坐標(biāo)表示，為：12.6 證明是由的分量表示的： 其中： 解：我們從矢量積開(kāi)始，在系統(tǒng)中表示為： 直接計(jì)算得出 通過(guò)在（1）中代入（6），我們得到（2）-（4）。6.設(shè)為剛體繞軸通過(guò)點(diǎn)的慣性矩，設(shè)為繞平行軸通過(guò)質(zhì)心的慣性矩,證明: 其中是物體的質(zhì)量，是軸之間的距離。解：例如，考慮繞軸的轉(zhuǎn)