高中數(shù)學(xué)-解三角形常考考點(diǎn)分類(lèi)

PAGE9-大一輪復(fù)習(xí)解三角形☆☆☆考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。2018，全國(guó)卷Ⅲ，4，15,10分(解三角形，零點(diǎn))2017，全國(guó)卷Ⅰ，17,12分(正、余弦定理，三角形周長(zhǎng))2017，全國(guó)卷Ⅱ，17,12分(解三角形，求邊長(zhǎng))2017，全國(guó)卷Ⅲ，17,12分(求邊長(zhǎng)，面積)2016，全國(guó)卷Ⅰ，17,12分(正、余弦定理，三角形面積)2016，全國(guó)卷Ⅱ，13,5分(解三角形)2016，全國(guó)卷Ⅲ，8,5分(解三角形)2015，全國(guó)卷Ⅰ，16,5分(解三角形，取值范圍)2015，全國(guó)卷Ⅱ，17,12分(解三角形，三角形面積，恒等變換)2014，全國(guó)卷Ⅰ，16,5分(解三角形，三角形面積，最值)命題形式多種多樣，選擇題、填空題常常出一些簡(jiǎn)單的邊、角、面積計(jì)算或測(cè)量問(wèn)題，屬于容易題，解答題常常結(jié)合三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行考查，具有一定的綜合性，屬于中檔題。1．正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R,其中2R為△ABC外接圓直徑。變式：=1\*GB3①化角為邊：，，；=2\*GB3②化邊為角：，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④=2R2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。變式：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)。sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcos注明：余弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，當(dāng)題中含有二次項(xiàng)時(shí)，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：余弦定理主要解決的問(wèn)題：=1\*GB3①已知兩邊和夾角，求其余的量；=2\*GB3②已知三邊求角如何判斷三角形的形狀：判斷三角形形狀的兩種思路：一是化邊為角；二是化角為邊，并用正弦定理(余弦定理)實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換。例如當(dāng)a2＋b2<c2時(shí)判斷三角形的形狀，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，得∠C為鈍角，則三角形為鈍角三角形。設(shè)、、是的角、、的對(duì)邊，則：=1\*GB3①若，則；=2\*GB3②若，則；=3\*GB3③若，則．3．解三角形：在一個(gè)三角形中，邊和角共有6個(gè)量，已知三個(gè)量(其中至少有一邊)就可解三角形。(1)已知三邊a，b，c。運(yùn)用余弦定理可求三角A，B，C。(2)已知兩邊a，b及夾角C。運(yùn)用余弦定理可求第三邊c。(3)已知兩邊a，b及一邊對(duì)角A。先用正弦定理，求sinB，sinB＝eq\f(bsinA,a)。①A為銳角時(shí)，若a<bsinA，無(wú)解；若a＝bsinA，一解；若bsinA<a<b，兩解；若a≥b，一解。②A為直角或鈍角時(shí)，若a≤b，無(wú)解；若a>b，一解。(4)已知一邊a及兩角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一邊，后求另一邊。4．三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R)。(2)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)。5、相關(guān)知識(shí)：(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1;商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.(2)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”）誘導(dǎo)公式一：（其中：）誘導(dǎo)公式二：（其中：）誘導(dǎo)公式三：（其中：）誘導(dǎo)公式四：（其中：），注意：sinA＝sinB，因?yàn)樗运约碅＝B或誘導(dǎo)公式五：（其中：）誘導(dǎo)公式六：（其中：）(3)三角形中的基本關(guān)系：(4)和角與差角公式;;.(5)二倍角公式,.(6)輔助角公式（化一公式）其中(1)設(shè)，則：⑴；⑵；⑶⑷(2)設(shè)，則：.(3)兩向量的夾角公式7、三角形的五心：垂心——三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)；重心——三角形三條中線(xiàn)的相交于一點(diǎn)；外心——三角形三邊垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)；內(nèi)心——三角形三內(nèi)角的平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)；旁心——三角形的一條內(nèi)角平分線(xiàn)與其他兩個(gè)角的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn).考點(diǎn)一：求角1．在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，則∠A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°2．在△ABC中，c＝5，b＝3，a＝7，則∠A＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)3．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cosA＝eq\f(1,3)，則B等于()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(2π,3)4．(2016·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則角CA.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)5.(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC邊上的高等于eq\f(1,3)BC，則cosA＝()A.eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),10)D．－eq\f(3\r(10),10)6．△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(1,4)考點(diǎn)二：求邊長(zhǎng)1．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．32.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則b＝________。反思?xì)w納1.已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多樣，其中a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化。2．已知兩邊和它們的夾角或已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知三邊都能直接運(yùn)用余弦定理解三角形，在運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用。3.在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，C＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則邊BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______。4.(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝()A．1B．2C．3D．45.(2016·北京高考)在△ABC中，∠A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，則eq\f(b,c)＝________?？键c(diǎn)三：判斷三角形形狀1.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定【變式】1.若將本典例條件改為“2sinAcosB＝sinC”，試判斷△ABC的形狀。2．若將本典例條件改為“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，試判斷三角形的形狀。3．若將本典例條件改為：“2asinA＝(2b＋c)·sinB＋(2c＋b)sinC，且sinB＋sinC＝1”，試判斷△ABC反思?xì)w納1.判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別。4．在△ABC中，如果有性質(zhì)acosA＝bcosB，那么這個(gè)三角形的形狀是()A．直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形或等腰三角形D．不確定【變式訓(xùn)練】(2016·山東高考)△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c。已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)。則A＝()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)考點(diǎn)四：判斷解的個(gè)數(shù)3．解的個(gè)數(shù)：在△ABC中，若a＝18，b＝24，∠A＝45°，則此三角形有()A．無(wú)解B．兩解C．一解D．解的個(gè)數(shù)不確定考點(diǎn)五：與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題1.(2016·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝eq\r(7)，△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周長(zhǎng)。.反思?xì)w納與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略(1)求三角形的面積。對(duì)于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式。(2)已知三角形的面積解三角形。與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化?！咀兪接?xùn)練】在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c。已知cos2A－3cos(B＋C)＝1。(1)求角A的大?。?2)若△ABC的面積S＝5eq\r(3)，b＝5，求sinBsinC的值。2.△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為_(kāi)_________。考點(diǎn)六：解三角形的范圍問(wèn)題(最值問(wèn)題)解三角形問(wèn)題屬于高考熱點(diǎn)問(wèn)題，而其中的范圍問(wèn)題是難點(diǎn)。任何范圍問(wèn)題，其本質(zhì)都是函數(shù)問(wèn)題，三角形的范圍(或最值)問(wèn)題也不例外。三角形中的范圍(或最值)問(wèn)題的解法主要有兩種：一種是用函數(shù)求解；另一種是利用基本不等式求解。由于三角形中的范圍問(wèn)題一般是以角為自變量的三角函數(shù)問(wèn)題，所以，除遵循函數(shù)問(wèn)題的基本要求外，還有自己獨(dú)特的解法?？v觀(guān)近幾年高考，三角形中的范圍問(wèn)題大致分成三類(lèi)：邊的范圍問(wèn)題、角的范圍問(wèn)題、面積的范圍問(wèn)題。下面結(jié)合高考題或模擬題舉例說(shuō)明其解法要領(lǐng)。（一）與邊有關(guān)的范圍問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解三角形問(wèn)題是本題的本質(zhì)。解法一轉(zhuǎn)換成兩個(gè)邊的關(guān)系，但是一直含有兩個(gè)變量，不容易看出兩個(gè)量之間的關(guān)系，不好把握，但是這種解法捕捉到了題中含有等腰三角形這一核心條件。解法二也是轉(zhuǎn)化成解三角形問(wèn)題，通過(guò)三角函數(shù)求邊的范圍，是通性通法。1．在△ABC中，taneq\f(A＋B,2)＝2sinC，若AB＝1，則eq\f(1,2)AC＋BC的最大值為_(kāi)_______。2.(2017·蘭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知eq\f(a,\r(3)cosA)＝eq\f(c,sinC)。(1)求A的大?。?2)若a＝6，求b＋c的取值范圍。（二）與角有關(guān)的范圍問(wèn)題3.在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且BC邊上的高為eq\f(\r(3),6)a，則eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值時(shí)，內(nèi)角A的值為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,6)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,3)【變式訓(xùn)練】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A＋cos2B＝2cos2C，則（三）與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題4.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足4cos2eq\f(A,2)－cos2(B＋C)＝eq\f(7,2)，若a＝2，則△ABC的面積的最大值是________?！痉椒c(diǎn)睛】與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題主要有以下策略：1.求三角形面積，對(duì)于公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB，一般是知道某個(gè)角就選含該角的公式；2.已知三角形面積解三角形一般要用正弦定理或余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化；3.求面積的最值問(wèn)題一般要用到基本不等式。【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______。考點(diǎn)七：解三角形的應(yīng)用1.一船向正北航行，看見(jiàn)正東方向有相距8海里的兩個(gè)燈塔恰好在一條直線(xiàn)上。繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏東60°，另一燈塔在船的南偏東75°，則這艘船每小時(shí)航行__________海里。2.(1)如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_______m。(2)如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m、50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于________。（第2題）（第1題）反思?xì)w納利用正、余弦定理解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題，實(shí)際上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到相關(guān)三角形中，利用三角形的邊、角關(guān)系。解答題（一）正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用1．(2016·福建師大附中聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，則ED＝________。2.(2016·石家莊質(zhì)檢)△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2bcosC＋c＝2a(1)求角B的大??；(2)若BD為AC邊上的中線(xiàn)，cosA＝eq\f(1,7)，BD＝eq\f(\r(129),2)，求△ABC的面積。反思?xì)w納此類(lèi)題目求解時(shí)，一般有如下思路：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果。做題過(guò)程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問(wèn)題?！咀兪接?xùn)練】如圖，在△ABC中，sineq\f(∠ABC,2)＝eq\f(\r(3),3)，AB＝2，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，且AD＝2DC，BD＝eq\f(4\r(3),3)，則cosC＝________。3.(2016·廣東惠州三調(diào))如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝eq\f(\r(3),3)。(1)求△ACD的面積；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的長(zhǎng)。(二)正、余弦定理與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合應(yīng)用3.已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，－1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)sin\f(x,2)，cos2\f(x,2)))，函數(shù)f(x)＝m·n＋1。(1)求函數(shù)f(x)在[0，π]上的最值，并求此時(shí)x的值；(2)將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度并向下平移eq\f(1,2)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象。若在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝eq\f(1,2)，a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面積。反思?xì)w納1.向量是一種解決問(wèn)題的工具，是一個(gè)載體，通常是用向量的數(shù)量積運(yùn)算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題。2．三角形中的三角函數(shù)要結(jié)合正弦定理、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，注意角的范圍對(duì)變形過(guò)程的影響?！咀兪接?xùn)練】(2017·日照模擬)已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且函數(shù)f(x)＝2cosxsin(x－A)＋sinA在x＝eq\f(5π,12)處取得最大值。(1)當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若a＝7且sinB＋sinC＝eq\f(13\r(3),14)，求△ABC的面積。大一輪復(fù)習(xí)解三角形☆☆☆考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。2018，全國(guó)卷Ⅲ，4，15,10分(解三角形，零點(diǎn))2017，全國(guó)卷Ⅰ，17,12分(正、余弦定理，三角形周長(zhǎng))2017，全國(guó)卷Ⅱ，17,12分(解三角形，求邊長(zhǎng))2017，全國(guó)卷Ⅲ，17,12分(求邊長(zhǎng)，面積)2016，全國(guó)卷Ⅰ，17,12分(正、余弦定理，三角形面積)2016，全國(guó)卷Ⅱ，13,5分(解三角形)2016，全國(guó)卷Ⅲ，8,5分(解三角形)2015，全國(guó)卷Ⅰ，16,5分(解三角形，取值范圍)2015，全國(guó)卷Ⅱ，17,12分(解三角形，三角形面積，恒等變換)2014，全國(guó)卷Ⅰ，16,5分(解三角形，三角形面積，最值)命題形式多種多樣，選擇題、填空題常常出一些簡(jiǎn)單的邊、角、面積計(jì)算或測(cè)量問(wèn)題，屬于容易題，解答題常常結(jié)合三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行考查，具有一定的綜合性，屬于中檔題。1．正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R,其中2R為△ABC外接圓直徑。變式：=1\*GB3①化角為邊：，，；=2\*GB3②化邊為角：，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④=2R2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。變式：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)。sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcos注明：余弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，當(dāng)題中含有二次項(xiàng)時(shí)，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：余弦定理主要解決的問(wèn)題：=1\*GB3①已知兩邊和夾角，求其余的量；=2\*GB3②已知三邊求角如何判斷三角形的形狀：判斷三角形形狀的兩種思路：一是化邊為角；二是化角為邊，并用正弦定理(余弦定理)實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換。例如當(dāng)a2＋b2<c2時(shí)判斷三角形的形狀，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，得∠C為鈍角，則三角形為鈍角三角形。設(shè)、、是的角、、的對(duì)邊，則：=1\*GB3①若，則；=2\*GB3②若，則；=3\*GB3③若，則．3．解三角形：在一個(gè)三角形中，邊和角共有6個(gè)量，已知三個(gè)量(其中至少有一邊)就可解三角形。(1)已知三邊a，b，c。運(yùn)用余弦定理可求三角A，B，C。(2)已知兩邊a，b及夾角C。運(yùn)用余弦定理可求第三邊c。(3)已知兩邊a，b及一邊對(duì)角A。先用正弦定理，求sinB，sinB＝eq\f(bsinA,a)。①A為銳角時(shí)，若a<bsinA，無(wú)解；若a＝bsinA，一解；若bsinA<a<b，兩解；若a≥b，一解。②A為直角或鈍角時(shí)，若a≤b，無(wú)解；若a>b，一解。(4)已知一邊a及兩角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一邊，后求另一邊。4．三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高)。(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R)。(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)。5、相關(guān)知識(shí)：(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1;商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.(2)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”）誘導(dǎo)公式一：（其中：）誘導(dǎo)公式二：（其中：）誘導(dǎo)公式三：（其中：）誘導(dǎo)公式四：（其中：），注意：sinA＝sinB，因?yàn)樗运约碅＝B或誘導(dǎo)公式五：（其中：）誘導(dǎo)公式六：（其中：）(3)三角形中的基本關(guān)系：(4)和角與差角公式;;.(5)二倍角公式,.(6)輔助角公式（化一公式）其中(1)設(shè)，則：⑴⑵⑶⑷(2)設(shè)，則：.(3)兩向量的夾角公式7、三角形的五心：垂心——三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)；重心——三角形三條中線(xiàn)的相交于一點(diǎn)；外心——三角形三邊垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)；內(nèi)心——三角形三內(nèi)角的平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)；旁心——三角形的一條內(nèi)角平分線(xiàn)與其他兩個(gè)角的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn).考點(diǎn)一：求角1．在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，則∠A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1＋4－3,2×1×2)＝eq\f(1,2)，又∵0°<A<180°，∴A＝60°。故選C?！敬鸢浮緾2．在△ABC中，c＝5，b＝3，a＝7，則∠A＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)【解析】因?yàn)樵凇鰽BC中，c＝5，b＝3，a＝7，所以由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋25－49,30)＝－eq\f(1,2)，所以∠A＝eq\f(2π,3)。故選C?！敬鸢浮緾3．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cosA＝eq\f(1,3)，則B等于()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(2π,3)解析因?yàn)閏osA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\r(1－\f(1,9))＝eq\f(2\r(2),3)，由正弦定理，得eq\f(4,sinA)＝eq\f(3,sinB)，所以sinB＝eq\f(\r(2),2)，又因?yàn)閎<a，所以0<B<eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,4)。故選A。答案A4．(2016·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則角CA.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)解析因?yàn)?sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b。因?yàn)閎＋c＝2a，所以c＝2a－eq\f(3,5)a＝eq\f(7,5)a。令a＝5，b＝3，c＝7，則由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解得cosC＝－eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(2π,3)。故選A。答案A5.(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC邊上的高等于eq\f(1,3)BC，則cosA＝()A.eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),10)D．－eq\f(3\r(10),10)【解析】設(shè)△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，由題意可得eq\f(1,3)a＝csineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)c，則a＝eq\f(3\r(2),2)c。在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－eq\r(2)ac＝eq\f(9,2)c2＋c2－3c2＝eq\f(5,2)c2，則b＝eq\f(\r(10),2)c。由余弦定理，可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(5,2)c2＋c2－\f(9,2)c2,2×\f(\r(10),2)c×c)＝－eq\f(\r(10),10)。故選C。6．△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(1,4)解析∵a，b，c成等比數(shù)列，且c＝2a∴b2＝ac＝2a2，∴b＝eq\r(2)a。由余弦定理可得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(3,4)。故選A。答案A考點(diǎn)二：求邊長(zhǎng)1．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3解析由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)。故選D。答案D2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則b＝________?！窘馕觥?1)因?yàn)閏osA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，所以sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，從而sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAcosC＝eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(63,65)。由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13)。反思?xì)w納1.已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多樣，其中a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化。2．已知兩邊和它們的夾角或已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知三邊都能直接運(yùn)用余弦定理解三角形，在運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用。3.在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，C＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則邊BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______?！窘馕觥恳?yàn)镾＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×2×ACsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1。由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即BC2＝22＋12－2×2×1×eq\f(1,2)，解得BC＝eq\r(3)。【答案】eq\r(3)4.(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝()A．1B．2C．3D．4【解析】設(shè)△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c則a＝3，c＝eq\r(13)，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1。故選A?！敬鸢浮緼5.(2016·北京高考)在△ABC中，∠A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，則eq\f(b,c)＝________。解析∵a＝eq\r(3)c，∴sin∠A＝eq\r(3)sin∠C，∵∠A＝eq\f(2π,3)，∴sin∠A＝eq\f(\r(3),2)，∴sin∠C＝eq\f(1,2)，又∠C必為銳角，∴∠C＝eq\f(π,6)，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝eq\f(π,6)，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴eq\f(b,c)＝1?？键c(diǎn)三：判斷三角形形狀1.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【解析】依據(jù)題設(shè)由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，從而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝eq\f(π,2)。故選B?！敬鸢浮緽【母題變式】1.若將本典例條件改為“2sinAcosB＝sinC”，試判斷△ABC的形狀?！窘馕觥拷夥ㄒ唬河梢阎?sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因?yàn)椋?lt;A－B<π，所以A＝B，故△ABC為等腰三角形。解法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c?a2＝b2?a＝b，故△ABC為等腰三角形?！敬鸢浮康妊切?．若將本典例條件改為“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，試判斷三角形的形狀?！窘馕觥俊?a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB。解法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B在△ABC中，0<2A<2π，0<2B∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)。∴△ABC為等腰三角形或直角三角形。解法二：由正弦定理、余弦定理得：a2beq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2aeq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0。即a＝b或a2＋b2＝c2。∴△ABC為等腰三角形或直角三角形?！敬鸢浮康妊切位蛑苯侨切?．若將本典例條件改為：“2asinA＝(2b＋c)·sinB＋(2c＋b)sinC，且sinB＋sinC＝1”，試判斷△ABC【解析】由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)即a2＝b2＋c2＋bc，cosA＝－eq\f(1,2)，sinA＝eq\f(\r(3),2)，則sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsin又sinB＋sinC＝1，所以sinBsinC＝eq\f(1,4)，解得sinB＝sinC＝eq\f(1,2)。因?yàn)?<B<eq\f(π,2)，0<C<eq\f(π,2)，故B＝C＝eq\f(π,6)，所以△ABC是等腰鈍角三角形?！敬鸢浮康妊g角三角形反思?xì)w納1.判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別。4．在△ABC中，如果有性質(zhì)acosA＝bcosB，那么這個(gè)三角形的形狀是()A．直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形或等腰三角形D．不確定【解析】由已知及正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形。故選C。【答案】C【變式訓(xùn)練】(2016·山東高考)△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c。已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)。則A＝()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【解析】由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,4)。故選C。【答案】C考點(diǎn)四：判斷解的個(gè)數(shù)3．解的個(gè)數(shù)：在△ABC中，若a＝18，b＝24，∠A＝45°，則此三角形有()A．無(wú)解 B．兩解C．一解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【解析】∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(24,18)sin45°，∴sinB＝eq\f(2\r(2),3)，又∵a<b，∴∠B有兩個(gè)解。故選B?！敬鸢浮緽考點(diǎn)五：與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題1.(2016·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝eq\r(7)，△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周長(zhǎng)。.【解析】(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC。又因?yàn)镃為△ABC的內(nèi)角，可得cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3)。(2)由已知，eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2)。又C＝eq\f(π,3)，所以ab＝6。由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25。所以△ABC的周長(zhǎng)為5＋eq\r(7)。【答案】(1)eq\f(π,3)(2)5＋eq\r(7)反思?xì)w納與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略(1)求三角形的面積。對(duì)于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式。(2)已知三角形的面積解三角形。與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化?！咀兪接?xùn)練】在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c。已知cos2A－3cos(B＋C)＝1(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面積S＝5eq\r(3)，b＝5，求sinBsinC的值。【解析】(1)由cos2A－3cos(B＋C得2cos2A＋3cosA即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)。因?yàn)?＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3)。(2)由S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)bc＝5eq\r(3)，得bc＝20。又b＝5，所以c＝4。由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝eq\r(21)。又由正弦定理得sinBsinC＝eq\f(b,a)sinA·eq\f(c,a)sinA＝eq\f(bc,a2)sin2A＝eq\f(20,21)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,7)。答案(1)eq\f(π,3)(2)eq\f(5,7)2.△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為_(kāi)_________。【解析】設(shè)BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos120°，整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3。因此S△ABC＝eq\f(1,2)AB×BC×sinB＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)?！敬鸢浮縠q\f(15\r(3),4)考點(diǎn)六：解三角形的范圍問(wèn)題（最值問(wèn)題）解三角形問(wèn)題屬于高考熱點(diǎn)問(wèn)題，而其中的范圍問(wèn)題是難點(diǎn)。任何范圍問(wèn)題，其本質(zhì)都是函數(shù)問(wèn)題，三角形的范圍(或最值)問(wèn)題也不例外。三角形中的范圍(或最值)問(wèn)題的解法主要有兩種：一種是用函數(shù)求解；另一種是利用基本不等式求解。由于三角形中的范圍問(wèn)題一般是以角為自變量的三角函數(shù)問(wèn)題，所以，除遵循函數(shù)問(wèn)題的基本要求外，還有自己獨(dú)特的解法?？v觀(guān)近幾年高考，三角形中的范圍問(wèn)題大致分成三類(lèi)：邊的范圍問(wèn)題、角的范圍問(wèn)題、面積的范圍問(wèn)題。下面結(jié)合高考題或模擬題舉例說(shuō)明其解法要領(lǐng)。（一）與邊有關(guān)的范圍問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解三角形問(wèn)題是本題的本質(zhì)。解法一轉(zhuǎn)換成兩個(gè)邊的關(guān)系，但是一直含有兩個(gè)變量，不容易看出兩個(gè)量之間的關(guān)系，不好把握，但是這種解法捕捉到了題中含有等腰三角形這一核心條件。解法二也是轉(zhuǎn)化成解三角形問(wèn)題，通過(guò)三角函數(shù)求邊的范圍，是通性通法。1．在△ABC中，taneq\f(A＋B,2)＝2sinC，若AB＝1，則eq\f(1,2)AC＋BC的最大值為_(kāi)_______。解析因?yàn)閠aneq\f(A＋B,2)＝2sinC，所以eq\f(sin\f(A＋B,2),cos\f(A＋B,2))＝2sinC?eq\f(2sin\f(A＋B,2)·cos\f(A＋B,2),2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2))))＝2sinC?eq\f(sinA＋B,1＋cosA＋B)＝2sinC，因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，所以eq\f(sinC,1－cosC)＝2sinC，因?yàn)?<C<π，所以sinC≠0，所以cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3)。因?yàn)閑q\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(2\r(3),3)，所以eq\f(1,2)AC＋BC＝eq\f(\r(3),3)sinB＋eq\f(2\r(3),3)sinA＝eq\f(\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＋eq\f(2\r(3),3)sinA＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosA＋\f(1,2)sinA＋2sinA))＝eq\f(\r(21),3)·sin(A＋φ)，其中0<φ<eq\f(π,2)且tanφ＝eq\f(\r(3),5)，所以當(dāng)sin(A＋φ)＝1時(shí)，eq\f(1,2)AC＋BC取得最大值，為eq\f(\r(21),3)。答案eq\f(\r(21),3)2.(2017·蘭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知eq\f(a,\r(3)cosA)＝eq\f(c,sinC)。(1)求A的大?。?2)若a＝6，求b＋c的取值范圍?！窘馕觥?1)∵eq\f(a,\r(3)cosA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)，∴eq\r(3)cosA＝sinA，∴tanA＝eq\r(3)?！?<A<π，∴A＝eq\f(π,3)。(2)∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(6,sin\f(π,3))＝4eq\r(3)，∴b＝4eq\r(3)sinB，c＝4eq\r(3)sinC，∴b＋c＝4eq\r(3)sinB＋4eq\r(3)sinC＝4eq\r(3)[sinB＋sin(π－A－B)]＝4eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋B))))＝12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))?！遝q\f(π,6)<B＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，∴6<12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))≤12，即b＋c∈(6,12]?！敬鸢浮?1)eq\f(π,3)(2)(6,12]（二）與角有關(guān)的范圍問(wèn)題3.在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且BC邊上的高為eq\f(\r(3),6)a，則eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值時(shí)，內(nèi)角A的值為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,6)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,3)【解析】利用等面積法可得，eq\f(1,2)·BC·eq\f(\r(3),6)a＝eq\f(1,2)·b·c·sinA，整理得eq\f(\r(3),6)a2＝bcsinA。又eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＝eq\f(c2＋b2,bc)＝eq\f(a2＋2bccosA,bc)，∴eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＝2eq\r(3)sinA＋2cosA＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，所以當(dāng)A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，A＝eq\f(π,3)時(shí)，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值。故選D?！敬鸢浮緿【方法點(diǎn)睛】與角有關(guān)的范圍問(wèn)題，當(dāng)然用三角函數(shù)解決，實(shí)現(xiàn)邊與角的互化用正、余弦定理。【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A＋cos2B＝2cos2C，則【解析】由cos2A＋cos2B＝2cos2C，得1－2sin2A＋1－2sin2B即sin2A＋sin2B＝2sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝2c2。由余弦定理可得c2＋2abcosC＝2c2，所以cosC＝eq\f(c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2,4ab)≥eq\f(2ab,4ab)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以eq\f(1,2)≤cosC<1，∴C的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))?！敬鸢浮縠q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))（三）與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題4.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足4cos2eq\f(A,2)－cos2(B＋C)＝eq\f(7,2)，若a＝2，則△ABC的面積的最大值是________。【解析】因?yàn)锽＋C＝π－A，所以cos2(B＋C)＝cos(2π－2A)＝cos2A＝2cos2A－1，又cos2eq\f(A,2)＝eq\f(1＋cosA,2)，所以4cos2eq\f(A,2)－cos2(B＋C)＝eq\f(7,2)可化為4cos2A－4cosA＋1＝0，解得cosA＝eq\f(1,2)。又A為三角形的內(nèi)角，所以A＝eq\f(π,3)，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，即△ABC的面積的最大值為eq\r(3)?！敬鸢浮縠q\r(3)【方法點(diǎn)睛】與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題主要有以下策略：1.求三角形面積，對(duì)于公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB，一般是知道某個(gè)角就選含該角的公式；2.已知三角形面積解三角形一般要用正弦定理或余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化；3.求面積的最值問(wèn)題一般要用到基本不等式?！咀兪接?xùn)練3】已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______?！窘馕觥坑烧叶ɡ?，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c。∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)∴sinA＝eq\f(\r(3),2)。由b2＋c2－a2＝bc，得b2＋c2＝4＋bc?！遙2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4∴S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA≤eq\r(3)，即(S△ABC)max＝eq\r(3)?！敬鸢浮縠q\r(3)考點(diǎn)七：解三角形的應(yīng)用1.一船向正北航行，看見(jiàn)正東方向有相距8海里的兩個(gè)燈塔恰好在一條直線(xiàn)上。繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏東60°，另一燈塔在船的南偏東75°，則這艘船每小時(shí)航行__________海里。【解析】如圖，由題意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝15°，∠B＝15°，∴AC＝AB＝8。在Rt△AOC中，OC＝AC·sin30°＝4?！噙@艘船每小時(shí)航行eq\f(4,\f(1,2))＝8(海里)?！敬鸢浮?2.(1)如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_______m。(2)如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m、50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于________。（第2題）（第1題）【解析】(1)在△ABC中，∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝30°。由正弦定理得AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)。(2)依題意可得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°?！敬鸢浮?1)50eq\r(2)(2)45°反思?xì)w納利用正、余弦定理解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題，實(shí)際上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到相關(guān)三角形中，利用三角形的邊、角關(guān)系求解。解答題（一）正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用1．(2016·福建師大附中聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，則ED＝________。解析在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝eq\r(3)，所以∠BAC＝60°。因?yàn)锽E⊥AC，AB＝eq\r(3)，所以AE＝eq\f(\r(3),2)，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝eq\f(3,4)＋9－2×eq\f(\r(3),2)×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(21,4)，故ED＝eq\f(\r(21),2)。答案eq\f(\r(21),2)2.(2016·石家莊質(zhì)檢)△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2bcosC＋c＝2a(1)求角B的大小；(2)若BD為AC邊上的中線(xiàn)，cosA＝eq\f(1,7)，BD＝eq\f(\r(129),2)，求△ABC的面積?！窘馕觥?1)2bcosC＋c＝2a，由正弦定理，得2sinBcosC＋sinC＝2sinA，∵A＋B＋C∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴2sinBcosC＋sinC＝2(sinBcosC＋cosBsinC)，∴sinC＝2cosBsinC?！?<C<π，∴sinC≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)。又0<B<π，∴B＝eq\f(π,3)。(2)在△ABD中，由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(129),2)))2＝c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2－2c·eq\f(b,2)cosA，∴eq\f(129,4)＝c2＋eq\f(b2,4)－eq\f(1,7)bc，①在△ABC中，由正弦定理得eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，由已知得sinA＝eq\f(4\r(3),7)，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(5\r(3),14)，∴c＝eq\f(5,7)b，②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝7，,c＝5，))∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝10eq\r(3)。【答案】(1)eq\f(π,3)(2)10eq\r(3)反思?xì)w納此類(lèi)題目求解時(shí)，一般有如下思路：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果。做題過(guò)程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問(wèn)題?！咀兪接?xùn)練】如圖，在△ABC中，sineq\f(∠ABC,2)＝eq\f(\r(3),3)，AB＝2，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，且AD＝2DC，BD＝eq\f(4\r(3),3)，則cosC＝________。【解析】由條件得cos∠ABC＝eq\f(1,3)，sin∠ABC＝eq\f(2\r(2),3)。在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝3b，則9b2＝a2＋4－eq\f(4,3)a①因?yàn)椤螦DB與∠CDB互補(bǔ)，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以eq\f(4b2＋\f(16,3)－4,\f(16\r(3),3)b)＝－eq\f(b2＋\f(16,3)－a2,\f(8\r(3),3)b)，所以3b2－a2＝－6②。聯(lián)立①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3。在△ABC中，cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq\f(32＋32－22,2×3×3)＝eq\f(7,9)?！敬鸢浮縠q\f(7,9)3.(2016·廣東惠州三調(diào))如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝eq\f(\r(3),3)。(1)求△ACD的面積；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的長(zhǎng)。解析(1)cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－eq\f(1,3)。因?yàn)椤螪∈(0，π)，所以sinD＝eq\f(2\r(2),3)，所以△ACD的面積S＝eq\f(1,2)·AD·CD·sinD＝eq\r(2)。(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2eq\r(3)。在△