高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練29證明、探究性問題含答案及解析

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練29證明、探究性問題[考情分析]解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學(xué)的主要知識模塊，證明問題和探究性問題是高考考查的重點知識，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等，試題難度較大，多次以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、證明問題圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系．二、探究性問題存在性問題的求解策略解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在．(1)當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論．(2)當給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件．(3)當要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結(jié)論符合題意．一、單選題1．（24-25高三上·湖南衡陽·開學(xué)考試）橢圓，若橢圓上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．2．（2021·四川涼山·三模）已知曲線C：y2＝2px（p＞0），過它的焦點F作直線交曲線C于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，可證明是一個定值m，則m＝（）A． B．1 C．2 D．二、多選題3．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知橢圓，分別為橢圓左右焦點，點，為橢圓上任意一點，則下列說法正確的是（

）A．存在點使得B．的最大值為5C．若直線與橢圓交于兩點（均不同于點），則直線和直線的斜率之積為D．△內(nèi)切圓面積的最大值為4．（23-24高二上·湖北·期末）設(shè)拋物線E：的焦點為F，從點F發(fā)出的光線經(jīng)過E上的點(不同于E的頂點)反射，可證明反射光線平行于E的對稱軸，這種特點稱為拋物線的光學(xué)性質(zhì)．過E上的動點A向準線l作垂線，垂足為B，過點A的直線m與E相切，設(shè)m交l于點C，連接CF，F(xiàn)B，F(xiàn)B交AC于點D，則以下結(jié)論正確的是（

）A．m平分 B．C．與的面積之比為定值 D．點D在定直線上三、填空題5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓上存在關(guān)于直線對稱的點，則的取值范圍是.6．（21-22高三上·北京·期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地，他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有橢圓，、為橢圓長軸的端點，、為橢圓短軸的端點，動點滿足，的面積的最大值為，的面積的最小值為，則橢圓的離心率為.四、解答題7．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知雙曲線的離心率為2，實軸長為2.(1)求雙曲線C的標準方程(2)設(shè)直線l:y=kx+1與雙曲線C交于A，B兩點，是否存在k滿足（其中O為坐標原點）若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.8．（24-25高二上·安徽黃山·期中）若橢圓：上的兩個點滿足，則稱M，N為該橢圓的一個“共軛點對”，點M，N互為共軛點.顯然，對于橢圓上任意一點，總有兩個共軛點.已知橢圓，點是橢圓上一動點，點的兩個共軛點分別記為.(1)當點坐標為時，求；(2)當直線斜率存在時，記其斜率分別為，其中，求的最小值；(3)證明：的面積為定值.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（24-25高二上·山東德州·期中）已知橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱.若橢圓離心率為，則的中點坐標為（

）A． B． C． D．2．（22-23高三上·北京·階段練習(xí)）十七世紀法國數(shù)學(xué)家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì).若從橢圓上任意一點（異于兩點）向長軸引垂線，垂足為，記，則（

）A．方程表示的橢圓的焦點落在軸上B．C．的值與點在橢圓上的位置有關(guān)D．M越來越小，橢圓越來越扁二、多選題3．（23-24高二下·湖南·期末）已知拋物線，直線過的焦點，且與交于兩點，則（

）A．的準線方程為B．線段的長度的最小值為4C．存在唯一直線，使得為線段的中點D．以線段為直徑的圓與的準線相切三、填空題4．（23-24高三上·山東聊城·期末）橢圓：的左右焦點分別為，，為坐標原點，給出以下四個命題：①過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為12；②橢圓上存在點，使得；③橢圓的離心率為；④為橢圓：上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為4.其中正確的序號有.四、解答題5．（24-25高二上·江蘇泰州·期中）在平面直角坐標系中，已知直線過拋物線的焦點，與交于兩點.(1)若線段中點的橫坐標為2，線段的長為6，求拋物線的方程；(2)在軸上是否存在一定點，使得直線和直線的斜率之積為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.6．（24-25高二上·吉林·期中）已知分別為橢圓的左?右焦點，分別為橢圓的左?右頂點，Px0,y0為橢圓上的動點，過動點Px0,y0作橢圓的切線.分別與直線和相交于兩點，四邊形的對角線相交于點，記動點的軌跡為.(1)證明：橢圓在點處的切線方程為.(2)求動點的軌跡的方程.(3)過點作斜率不為的直線與相交于點，直線與的交點為，判斷點是否在定直線上.7．（24-25高二上·江蘇常州·期中）如圖，已知拋物線C：（）的焦點F，且經(jīng)過點，．(1)求A點的坐標；(2)直線l交拋物線C于M，N兩點，過點A作于D，且，證明：存在定點Q，使得DQ為定值．8．（24-25高二上·河北滄州·期中）已知橢圓經(jīng)過點A?2,0與點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于異于的，兩點，且.①證明：直線過定點；②求的面積的最大值.【能力提升訓(xùn)練】一、解答題1．（24-25高三上·上?！て谥校┤鐖D所示，由橢圓和橢圓組合而成的曲線，由圖形特點，這里稱曲線為“貓眼曲線”.特別地，若兩個橢圓的離心率相等，則稱其為“優(yōu)美貓眼曲線”.(1)已知貓眼曲線滿足a，b，t成等比數(shù)列，試判斷該曲線是否為“優(yōu)美貓眼曲線”；(2)在曲線中，若，，，斜率為的直線l不經(jīng)過坐標原點，且l與橢圓相交所得弦的中點為M，與橢圓相交所得弦的中點為N，證明：直線OM，ON的斜率之比為定值；(3)在（2）的條件下，若直線l的斜率，且l與橢圓相切，與橢圓相交于A，B兩點，Q為橢圓上異于A，B的任意一點，求面積的最大值.2．（24-25高二上·吉林延邊·階段練習(xí)）已知橢圓C：經(jīng)過點，且焦距與長半軸相等，(1)求橢圓C的標準方程(2)點（）與上的點之間的距離的最大值為6．過點且斜率不為0的直線交于，兩點（點在點的右側(cè)），點關(guān)于軸的對稱點為．①證明：直線過定點；②已知為坐標原點，求面積的取值范圍．3．（24-25高三上·江西新余·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的焦點為，斜率為的直線經(jīng)過且交于兩點（在第一象限）.(1)求的坐標與的長；(2)設(shè)，如下構(gòu)造：直線分別與交于，證明：（ⅰ）的縱坐標是等差數(shù)列；（ⅱ）.4．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）已知橢圓的兩個焦點是、，點在橢圓上，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知為坐標原點，直線與橢圓交于、兩點，且，證明：直線與圓相切．5．（24-25高三上·上海楊浦·開學(xué)考試）中國古典園林洞門、洞窗具有增添園林意境，豐富園林文化內(nèi)涵的作用，門、窗裝飾圖案成為園林建筑中具有文化價值以及文化內(nèi)涵的裝飾.如圖1所示的一種橢圓洞窗，由橢圓和圓組成，，是橢圓的兩個焦點，圓以線段為直徑，(1)設(shè)計如圖所示的洞窗，橢圓的離心率應(yīng)滿足怎樣的范圍？(2)經(jīng)測量橢圓的長軸為4分米，焦距為2分米.（i）從射出的任意一束光線照在左側(cè)距橢圓中心4分米的豎直墻壁上，如圖2所示.建模小組的同學(xué)用長繩拉出橢圓洞窗的切線AB，B為切點，然后用量角器探究猜測是定值，請幫他們證明上述猜想.（ii）建模小組的同學(xué)想設(shè)計一個如圖3的四邊形裝飾，滿足：點是上的一個動點，P，Q關(guān)于原點對稱，過和分別做圓的切線，交于R，S，求四邊形裝飾面積的取值范圍.6．（24-25高三上·廣西貴港·開學(xué)考試）已知平面內(nèi)一動點到點的距離與點到定直線的距離之比為，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程.(2)在直線上有一點，過點的直線與曲線相交于兩點.設(shè)，證明：只與有關(guān).7．（24-25高三上·云南德宏·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，，，是平面內(nèi)的動點，且內(nèi)切圓的圓心在直線上.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點作三條不同的直線，，，且軸，與交于，兩點，與交于，兩點，，都在第一象限，直線，與分別交于點，，證明：為定值.8．（24-25高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0經(jīng)過點，，為C的左、右頂點，M，N為C上不同于，的兩動點，若直線的斜率與直線的斜率的比值恒為常數(shù)，按下面方法構(gòu)造數(shù)列bn：C的短半軸長為時，直線MN與x(1)求橢圓C的離心率；(2)證明：數(shù)列bn(3)設(shè)頂點到直線MN的最大距離為d，證明.9．（24-25高二上·江蘇·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為.(1)若直線與雙曲線交于P，Q兩點，求線段的長；(2)若雙曲線上存在兩點，，滿足，求直線的斜率.10．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）若一個橢圓的焦距為質(zhì)數(shù)，且離心率的倒數(shù)也為質(zhì)數(shù)，則稱這樣的橢圓為“質(zhì)樸橢圓”.(1)證明：橢圓為“質(zhì)樸橢圓”.(2)是否存在實數(shù)，使得橢圓為“質(zhì)樸橢圓”？若存在，求的值；若不存在，說明理由.(3)設(shè)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與交于，兩點，，試問是否為“質(zhì)樸橢圓”，說明你的理由.11．（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）已知點在橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上，右準線方程為，過右焦點作垂直于(1)求以為直徑圓的方程；(2)以橢圓上、兩點為直徑端點作圓，圓心恰好在直線上，再過點作的垂線，試問直線是否經(jīng)過某定點，若存在，求此定點；若不存在，請說明理由.12．（2024·廣東·三模）已知拋物線：，過點的直線l交C于P，Q兩點，當PQ與x軸平行時，的面積為16，其中O為坐標原點.(1)求的方程；(2)已知點，，（）為拋物線上任意三點，記面積為，分別在點A、B、C處作拋物線的切線、、，與的交點為D，與的交點為E，與的交點為F，記面積為，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練29證明、探究性問題[考情分析]解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學(xué)的主要知識模塊，證明問題和探究性問題是高考考查的重點知識，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等，試題難度較大，多次以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、證明問題圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系．二、探究性問題存在性問題的求解策略解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在．(1)當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論．(2)當給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件．(3)當要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結(jié)論符合題意．一、單選題1．（24-25高三上·湖南衡陽·開學(xué)考試）橢圓，若橢圓上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．2．（2021·四川涼山·三模）已知曲線C：y2＝2px（p＞0），過它的焦點F作直線交曲線C于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，可證明是一個定值m，則m＝（）A． B．1 C．2 D．二、多選題3．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知橢圓，分別為橢圓左右焦點，點，為橢圓上任意一點，則下列說法正確的是（

）A．存在點使得B．的最大值為5C．若直線與橢圓交于兩點（均不同于點），則直線和直線的斜率之積為D．△內(nèi)切圓面積的最大值為4．（23-24高二上·湖北·期末）設(shè)拋物線E：的焦點為F，從點F發(fā)出的光線經(jīng)過E上的點(不同于E的頂點)反射，可證明反射光線平行于E的對稱軸，這種特點稱為拋物線的光學(xué)性質(zhì)．過E上的動點A向準線l作垂線，垂足為B，過點A的直線m與E相切，設(shè)m交l于點C，連接CF，F(xiàn)B，F(xiàn)B交AC于點D，則以下結(jié)論正確的是（

）A．m平分 B．C．與的面積之比為定值 D．點D在定直線上三、填空題5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓上存在關(guān)于直線對稱的點，則的取值范圍是.6．（21-22高三上·北京·期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地，他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有橢圓，、為橢圓長軸的端點，、為橢圓短軸的端點，動點滿足，的面積的最大值為，的面積的最小值為，則橢圓的離心率為.四、解答題7．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知雙曲線的離心率為2，實軸長為2.(1)求雙曲線C的標準方程(2)設(shè)直線l:y=kx+1與雙曲線C交于A，B兩點，是否存在k滿足（其中O為坐標原點）若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.8．（24-25高二上·安徽黃山·期中）若橢圓：上的兩個點滿足，則稱M，N為該橢圓的一個“共軛點對”，點M，N互為共軛點.顯然，對于橢圓上任意一點，總有兩個共軛點.已知橢圓，點是橢圓上一動點，點的兩個共軛點分別記為.(1)當點坐標為時，求；(2)當直線斜率存在時，記其斜率分別為，其中，求的最小值；(3)證明：的面積為定值.參考答案：題號1234答案BABDABD1．B【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,【詳解】橢圓，即：，設(shè)橢圓上兩點Ax1,y1,Bx則，，所以，所以，所以，代入直線方程得，即，因為在橢圓內(nèi)部，所以，解得，即的取值范圍是．故選：B．2．A【分析】設(shè)直線MN的方程，與拋物線聯(lián)立切線兩根之和，進而求出MN的中點Q的坐標，再由拋物線的性質(zhì)可得弦長|MN|的值，及|QF|的值，在△QFP中，求出|PF|的值，求出是一個定值，求出定值m．【詳解】由拋物線的方程可得焦點F（，0），準線的方程為：x，由題意可得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為：x＝ty，設(shè)t＞0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：，所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（t1+y2）+p＝2pt2+p，所以MN的中點Q（pt2，pt），由拋物線的性質(zhì)可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p（1+t2），|QF|pt，由直線MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由題意在Rt△QFP中，|PF|p（1+t2），所以為定值，所以m的值為，故選：A．3．BD【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示可得，即可判斷A；根據(jù)橢圓的定義可得（當三點共線時等號成立），即可判斷B；利用點差法和兩點表示斜率公式計算可得，即可判斷C；由三角形面積公式可得，求出的最大值即可判斷D.【詳解】如圖，，則.A：，設(shè)，則，即，，所以不成立，故A錯誤；B：由橢圓的定義知，，得，，所以，當且僅當三點共線時等號成立，所以的最大值為5，故B正確；C：設(shè)Ax1,y1得，兩式相減得，即，又，所以，故C錯誤；D：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，要使內(nèi)切圓的面積取到最大值，需取到最大值，當點位于橢圓的上或下頂點時，取到最大值，此時，有，解得，所以內(nèi)切圓的面積為，故D正確.故選：BD4．ABD【分析】不妨假設(shè)點M在第一象限，由光學(xué)性質(zhì)得到，判斷A選項，再由拋物線定義，可判斷選項B,再由三角形的面積計算公式進行計算，判斷選項C,利用全等三角形可以判斷選項D.【詳解】如圖，由光學(xué)性質(zhì)得到，因為，所以，所以A正確；因為，所以，所以，所以B正確；因為，所以，所以，顯然不是定值，所以C不正確，因為由A可得，所以D為BF的中點，所以D在y軸上，所以D正確.故選：ABD.5．【分析】根據(jù)題意利用點差法可得，進而可求的中點為，結(jié)合點在橢圓內(nèi)，列式求解即可.【詳解】由題意可知：直線的斜率，設(shè)橢圓上關(guān)于直線對稱的兩點分別為，的中點為，可得，且，，因為點在上，則，兩式相減得，整理可得，可得，即，則，聯(lián)立方程，解得，即，因為點在橢圓內(nèi)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.6．【分析】設(shè)點Mx,y，根據(jù)可得出點的軌跡方程，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，求出的值，進而可得出橢圓的離心率的值.【詳解】設(shè)點Mx,y，設(shè)點、，由可得，即，整理可得，即，所以，點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓，點到軸的距離的最大值為，則的面積的最大值為，解得；點到軸距離的最小值為，則的面積的最小值為，可得.，因此，橢圓的離心率為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.7．(1)(2)不存在【分析】（1）根據(jù)題意得出即可得雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及數(shù)量積運算求出，不滿足知不存在.【詳解】（1）因為，所以，，所以，故所求雙曲線方程為.（2）如圖，設(shè)，由，消元可得，，當，即時，，，所以，所以，解得，此時不滿足，故不存在，使得成立.8．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）將點坐標代入橢圓方程，再根據(jù)共軛點的條件得到滿足的方程，進而求出.（2）斜率公式和共軛點條件表示出，再利用均值不等式求的最小值.（3）利用三角形面積公式，結(jié)合前面求出的關(guān)系來證明面積為定值.【詳解】（1）的共軛點分別記為，，直線的方程為，聯(lián)立得，，；（2）點Ax0,y，即，由（1）知，直線的方程為，即，當時，直線的方程為，代入，得，即，，，當時，易知，對應(yīng)共軛點為，此時，故也成立，，當且僅當時等號成立；（3）由（2）知，對任意點Ax0,，點Ax0,y0的面積，故的面積為定值.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（24-25高二上·山東德州·期中）已知橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱.若橢圓離心率為，則的中點坐標為（

）A． B． C． D．2．（22-23高三上·北京·階段練習(xí)）十七世紀法國數(shù)學(xué)家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì).若從橢圓上任意一點（異于兩點）向長軸引垂線，垂足為，記，則（

）A．方程表示的橢圓的焦點落在軸上B．C．的值與點在橢圓上的位置有關(guān)D．M越來越小，橢圓越來越扁二、多選題3．（23-24高二下·湖南·期末）已知拋物線，直線過的焦點，且與交于兩點，則（

）A．的準線方程為B．線段的長度的最小值為4C．存在唯一直線，使得為線段的中點D．以線段為直徑的圓與的準線相切三、填空題4．（23-24高三上·山東聊城·期末）橢圓：的左右焦點分別為，，為坐標原點，給出以下四個命題：①過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為12；②橢圓上存在點，使得；③橢圓的離心率為；④為橢圓：上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為4.其中正確的序號有.四、解答題5．（24-25高二上·江蘇泰州·期中）在平面直角坐標系中，已知直線過拋物線的焦點，與交于兩點.(1)若線段中點的橫坐標為2，線段的長為6，求拋物線的方程；(2)在軸上是否存在一定點，使得直線和直線的斜率之積為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.6．（24-25高二上·吉林·期中）已知分別為橢圓的左?右焦點，分別為橢圓的左?右頂點，Px0,y0為橢圓上的動點，過動點Px0,y0作橢圓的切線.分別與直線和相交于兩點，四邊形的對角線相交于點，記動點的軌跡為.(1)證明：橢圓在點處的切線方程為.(2)求動點的軌跡的方程.(3)過點作斜率不為的直線與相交于點，直線與的交點為，判斷點是否在定直線上.7．（24-25高二上·江蘇常州·期中）如圖，已知拋物線C：（）的焦點F，且經(jīng)過點，．(1)求A點的坐標；(2)直線l交拋物線C于M，N兩點，過點A作于D，且，證明：存在定點Q，使得DQ為定值．8．（24-25高二上·河北滄州·期中）已知橢圓經(jīng)過點A?2,0與點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于異于的，兩點，且.①證明：直線過定點；②求的面積的最大值.參考答案：題號123答案CDBCD1．C【分析】設(shè)點Mx1,y1、Nx2,y2，線段的中點為，由已知條件可得出，利用點差法以及點在直線上，可得出關(guān)于、【詳解】設(shè)點Mx1,y1、Nx2由題意，橢圓的離心率為，可得，因為、關(guān)于直線對稱，且直線的斜率為，則，將點、的坐標代入橢圓方程可得，上述兩個等式作差可得，可得，即，即，即，①又因為點在直線上，則，②聯(lián)立①②可得，故線段的中點為.故選：C.2．D【分析】分和兩種情況，即可判斷A；設(shè)，不妨設(shè)橢圓的長軸在軸上，分別求出，即可判斷C；根據(jù)表示得意義結(jié)合離心率公式即可判斷B；根據(jù)離心率與橢圓扁平程度得關(guān)系即可判斷D.【詳解】解：對于A，由題得，當時，，所以橢圓的焦點在軸上；當時，，所以橢圓的焦點在軸上，故A錯誤；對于C，設(shè)，不妨設(shè)橢圓的長軸在軸上，則，，所以（常數(shù)），所以的值與點在橢圓上的位置無關(guān)，故C錯誤；對于B，由方程方得，所以是橢圓的短軸長與長軸長的比值的平方，即，所以離心率，同理可得橢圓的長軸在軸上時結(jié)論一致，所以，故B錯誤；對于D，M越來越小，橢圓的離心率越大，橢圓越來越扁，故D正確.故選：D.3．BCD【分析】由拋物線方程就可求出準線方程，即可判斷A；設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，進而可求出，再逐一判斷BCD即可.【詳解】對于A，拋物線的準線方程為，故A錯誤；對于B，F(xiàn)1,0由題意可得直線的斜率不等于零，設(shè)方程為，，聯(lián)立，消得，，則，所以，所以，時取等號，所以線段的長度的最小值為4，故B正確；對于C，由B選項得線段的中點坐標為，若點為線段的中點，則，解得，所以存在唯一直線，使得為線段的中點，故C正確；對于D，由C選項知線段的中點坐標為，則中點到準線的距離為，所以以線段為直徑的圓與的準線相切，故D正確.故選：BCD.4．①②④【分析】①由的周長為4a求解判斷；②根據(jù)以原點為圓心以c為半徑的圓交y軸于橢圓的外部判斷；③根據(jù)橢圓方程判斷；④設(shè)，求得點P到圓心（0，0）的距離判斷.【詳解】由橢圓得，，，①過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為，故①正確；②因為，所以以原點為圓心以為半徑的圓交軸于橢圓的外部，所以存在點，使得，即使得，故②正確；③橢圓的離心率為，故③錯誤；④因為為橢圓上一點，設(shè)，，則點到圓心的距離為則其最大值為3，所以最大值為：，故④正確；故答案為：①②④.5．(1)(2)存在定點【分析】（1）設(shè)的方程為，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達定理及弦長公式即可求解；（2）設(shè)，直線和直線的斜率分別為，結(jié)合韋達定理得到由其為定值即可求解.【詳解】（1）拋物線的焦點為，直線的方程可設(shè)為，代入整理得，設(shè)Ax1,所以，，因為線段中點的橫坐標為2，所以①，因為線段的長為6，所以②，由①②解得，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，直線和直線的斜率分別為，則若為定值，由的任意性知，即，此時為原點，所以存在定點，使得直線和直線的斜率之積為定值.6．(1)證明見解析(2)(3)在【分析】（1）直曲聯(lián)立，求出交點，證明即可；（2）令，得坐標，求出直線方程，求出交點，得到動點的軌跡的方程.（3）設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立，借助韋達定理，得到,聯(lián)立，方程，得到滿足的條件即可.【詳解】（1）證明：聯(lián)立方程組，消去整理得，又，即，整理得，解得，所以直線與橢圓有且僅有一個交點Px0,即切線方程為.（2）解：由（1）中切線方程，令，得，令，得，因為，所以直線，①因為，所以直線，②由①②得.因為，得，所以動點的軌跡的方程為）.（3）解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，則，所以.因為直線的方程為，直線的方程為，所以，所以，所以，整理得所以，即點在定直線上.

7．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線定義有求，由在拋物線上求m即可得的坐標.（2）令，，，聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，應(yīng)用韋達定理，根據(jù)及向量垂直的坐標表示列方程，求k、n數(shù)量關(guān)系，確定所過定點，再由易知在以為直徑的圓上，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由拋物線定義知：，則，故，又在拋物線上，則，可得，故.（2）設(shè)，，由（1）知：，所以，，又，故，所以，因為的斜率不為零，故設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，且，所以，，則，，綜上，，當時，過定點；當時，過定點，即共線，不合題意；所以直線過定點，又，故在以為直徑的圓上，而中點為，即為定值，得證.8．(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可；（2）①設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，利用條件，結(jié)合韋達定理，表示出直線方程即可得到結(jié)果；②由①的結(jié)論，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理，表示出的面積，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓為，因為橢圓經(jīng)過點A?2,0與點，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）①由（1）知，橢圓的方程為，設(shè)，不妨令在軸上方，則，假設(shè)直線斜率不存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，可得，所以解得或（舍去），所以直線方程為；假設(shè)斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，得，所以，，由，可得，解得或，所以直線方程為或，所以直線恒過或（舍去），綜上，直線恒過定點.②由上述可知，當直線斜率不存在時，，設(shè)定點為點，則，所以；當直線斜率存在時，，則設(shè)方程為，聯(lián)立得，則，，所以，設(shè)，則，所以，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知，所以，當且僅當，即時取等，故的面積的最大值為.

【能力提升訓(xùn)練】一、解答題1．（24-25高三上·上?！て谥校┤鐖D所示，由橢圓和橢圓組合而成的曲線，由圖形特點，這里稱曲線為“貓眼曲線”.特別地，若兩個橢圓的離心率相等，則稱其為“優(yōu)美貓眼曲線”.(1)已知貓眼曲線滿足a，b，t成等比數(shù)列，試判斷該曲線是否為“優(yōu)美貓眼曲線”；(2)在曲線中，若，，，斜率為的直線l不經(jīng)過坐標原點，且l與橢圓相交所得弦的中點為M，與橢圓相交所得弦的中點為N，證明：直線OM，ON的斜率之比為定值；(3)在（2）的條件下，若直線l的斜率，且l與橢圓相切，與橢圓相交于A，B兩點，Q為橢圓上異于A，B的任意一點，求面積的最大值.2．（24-25高二上·吉林延邊·階段練習(xí)）已知橢圓C：經(jīng)過點，且焦距與長半軸相等，(1)求橢圓C的標準方程(2)點（）與上的點之間的距離的最大值為6．過點且斜率不為0的直線交于，兩點（點在點的右側(cè)），點關(guān)于軸的對稱點為．①證明：直線過定點；②已知為坐標原點，求面積的取值范圍．3．（24-25高三上·江西新余·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的焦點為，斜率為的直線經(jīng)過且交于兩點（在第一象限）.(1)求的坐標與的長；(2)設(shè)，如下構(gòu)造：直線分別與交于，證明：（?。┑目v坐標是等差數(shù)列；（ⅱ）.4．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）已知橢圓的兩個焦點是、，點在橢圓上，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知為坐標原點，直線與橢圓交于、兩點，且，證明：直線與圓相切．5．（24-25高三上·上海楊浦·開學(xué)考試）中國古典園林洞門、洞窗具有增添園林意境，豐富園林文化內(nèi)涵的作用，門、窗裝飾圖案成為園林建筑中具有文化價值以及文化內(nèi)涵的裝飾.如圖1所示的一種橢圓洞窗，由橢圓和圓組成，，是橢圓的兩個焦點，圓以線段為直徑，(1)設(shè)計如圖所示的洞窗，橢圓的離心率應(yīng)滿足怎樣的范圍？(2)經(jīng)測量橢圓的長軸為4分米，焦距為2分米.（i）從射出的任意一束光線照在左側(cè)距橢圓中心4分米的豎直墻壁上，如圖2所示.建模小組的同學(xué)用長繩拉出橢圓洞窗的切線AB，B為切點，然后用量角器探究猜測是定值，請幫他們證明上述猜想.（ii）建模小組的同學(xué)想設(shè)計一個如圖3的四邊形裝飾，滿足：點是上的一個動點，P，Q關(guān)于原點對稱，過和分別做圓的切線，交于R，S，求四邊形裝飾面積的取值范圍.6．（24-25高三上·廣西貴港·開學(xué)考試）已知平面內(nèi)一動點到點的距離與點到定直線的距離之比為，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程.(2)在直線上有一點，過點的直線與曲線相交于兩點.設(shè)，證明：只與有關(guān).7．（24-25高三上·云南德宏·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，，，是平面內(nèi)的動點，且內(nèi)切圓的圓心在直線上.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點作三條不同的直線，，，且軸，與交于，兩點，與交于，兩點，，都在第一象限，直線，與分別交于點，，證明：為定值.8．（24-25高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0經(jīng)過點，，為C的左、右頂點，M，N為C上不同于，的兩動點，若直線的斜率與直線的斜率的比值恒為常數(shù)，按下面方法構(gòu)造數(shù)列bn：C的短半軸長為時，直線MN與x(1)求橢圓C的離心率；(2)證明：數(shù)列bn(3)設(shè)頂點到直線MN的最大距離為d，證明.9．（24-25高二上·江蘇·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為.(1)若直線與雙曲線交于P，Q兩點，求線段的長；(2)若雙曲線上存在兩點，，滿足，求直線的斜率.10．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）若一個橢圓的焦距為質(zhì)數(shù)，且離心率的倒數(shù)也為質(zhì)數(shù)，則稱這樣的橢圓為“質(zhì)樸橢圓”.(1)證明：橢圓為“質(zhì)樸橢圓”.(2)是否存在實數(shù)，使得橢圓為“質(zhì)樸橢圓”？若存在，求的值；若不存在，說明理由.(3)設(shè)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與交于，兩點，，試問是否為“質(zhì)樸橢圓”，說明你的理由.11．（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）已知點在橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上，右準線方程為，過右焦點作垂直于(1)求以為直徑圓的方程；(2)以橢圓上、兩點為直徑端點作圓，圓心恰好在直線上，再過點作的垂線，試問直線是否經(jīng)過某定點，若存在，求此定點；若不存在，請說明理由.12．（2024·廣東·三模）已知拋物線：，過點的直線l交C于P，Q兩點，當PQ與x軸平行時，的面積為16，其中O為坐標原點.(1)求的方程；(2)已知點，，（）為拋物線上任意三點，記面積為，分別在點A、B、C處作拋物線的切線、、，與的交點為D，與的交點為E，與的交點為F，記面積為，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.參考答案：1．(1)是“優(yōu)美貓眼曲線”(2)證明見解析(3)【分析】（1）求解兩個橢圓的離心率，結(jié)合，即可利用“優(yōu)美貓眼曲線”的定義求解，（2）利用點差法可得，同理可得，即可求解為定值，或者利用聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理可得的坐標為，即可求解斜率得解，（3）根據(jù)相切，結(jié)合判別式可得，即可結(jié)合的三角換元，結(jié)合弦長公式以及點到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）由a，b，t成等比數(shù)列，得，則橢圓的離心率為，橢圓的離心率為，因為，所以，即，所以，該曲線是“優(yōu)美貓眼曲線”.（2）方法一：設(shè)直線與橢圓相交于，，線段CD的中點，則，，兩式相減，得，，即，由已知，，所以，即，同理可得，所以，為定值.方法二：由題知，可設(shè)直線，聯(lián)立，得，故，，則中點的坐標為，可得；同理可得：，所以，為定值.（3）設(shè)直線的方程為，代入，得，因為與橢圓相切，所以，，根據(jù)對稱性，不妨取，則將直線的方程代入橢圓的方程，得，設(shè)，則，，所以，設(shè)，則點到直線的距離（其中，，），當，時，取最大值，所以，面積取最大值.若取，根據(jù)圖形的對稱性可得相同的結(jié)論.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.2．(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）將點的坐標代入，結(jié)合，，即可求解，（2）①根據(jù)兩點距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即可聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理，根據(jù)點斜式求解直線的方程為，代入化簡即可求解，②根據(jù)點到直線距離公式以及弦長公式表達出面積，，利用換元法，以及對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意可得，且，，解得，故橢圓方程為：（2）設(shè)是橢圓上一點，則，所以，所以（），因為，所以當時，，，解得或（舍去），所以證明：由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為（），，，，聯(lián)立直線和的方程，得消去并化簡，得，所以，解得，且．又點在點的右側(cè)，則，且，，所以直線的方程為，所以，因為，所以，所以直線過定點．②由①知直線的方程為，設(shè)，則，，將，代入，可得，由，且，得的取值范圍為．由消去并化簡得，則，，．，原點到直線的距離為，所以，令，由的取值范圍為，得的取值范圍為．又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，的值域為．所以的取值范圍是，所以面積的取值范圍為．【點睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.3．(1)，，.(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）聯(lián)立方程組即可求出交點坐標，然后求出線段長；（2）（i）設(shè)、坐標，得到直線方程，聯(lián)立方程組得到關(guān)于的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系找到交點縱坐標與的關(guān)系，用等差中項性質(zhì)證明結(jié)論即可.（ii）找到點坐標，得到直線斜率相等即可證明直線平行.【詳解】（1）解：，即：且故，，.（2）（?。┰O(shè)，其中：，，，，聯(lián)立可得，，化簡得：，于是：，故，，所以①，②，①+②得：，要證：的縱坐標是等差數(shù)列，即證：，即證：，即證：，即證：，①當時：成立；②假設(shè)時，成立；③則當時：成立，故：為等差數(shù)列.（ⅱ）設(shè)：，，，，于是：，，同理可證的縱坐標滿足：，，下面證明：，即證：，這顯然成立，故4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用橢圓的定義可求得的值，求出的值，可得出的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，當直線的斜率不存在時，寫出直線的方程，直接驗證；當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，設(shè)點Ax1,y1、Bx2,y2，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)可得出，再利用直線與圓的位置關(guān)系可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓的標準方程為，由橢圓定義可得，則，由已知可得，所以，，所以，橢圓的標準方程為．（2）證明：由題意，圓的圓心為O0,0，半徑為．當直線的斜率不存在時，由對稱性可知，不妨設(shè)Ax0,y0即直線的方程為或，此時直線與圓相切；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點Ax1,y1、聯(lián)立得，由，得，由韋達定理得，，則則，即．圓心到的距離為，此時直線與圓相切．綜上，直線與圓相切．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.5．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)，即可根據(jù)橢圓中的關(guān)系以及離心率公式求解，（2）（i）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式為0可得，進而可得，利用向量的坐標運算，即可求證；（ii）根據(jù)法向量可得切線方程，進而根據(jù)點到直線的距離公式可得是平行四邊形，結(jié)合全等和切線長性質(zhì)可得是菱形，即可根據(jù)三角形相似，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）由題意可知橢圓滿足，故.（2）（i）由測量數(shù)據(jù)可得，，故，，墻壁所在直線，易知直線斜率存在，設(shè)，可得，設(shè)切線，聯(lián)立，則，相切可得，則，則，切點，，故，，，，故，則.（ii）設(shè)動點Px0,y0，則，不妨設(shè)過過點的兩條切線法向量為，均為非零向量，故切線方程為和，則滿足和.由此可知兩組切線分別對應(yīng)平行，四邊形是平行四邊形，過圓心做一組鄰邊的垂線，垂足為,由于關(guān)于原點對稱，故也關(guān)于原點對稱，又,故故，故平行四邊形是菱形.下面研究菱形的面積：過作PR的垂線GH，則，由（i）可知,故，設(shè)，則有：，解得，則，其中的取值范圍是，設(shè)，在上是單調(diào)函數(shù)，故的取值范圍是.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，如本題需先將四邊形的面積用表示出來，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值．6．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)點，依題可得，化簡得；（2）設(shè)，由題意求出，由消去整理得，應(yīng)用韋達定理，結(jié)合圖形將表示為，利用向量數(shù)量積的坐標式計算化簡，并將以上各式代入整理，化成即得.【詳解】（1）設(shè)，依題意得，，兩邊取平方，，整理得，，即曲線的方程為：.（2）

如圖設(shè)點，因點既在直線上，又在直線上，故得：，解得，.由消去可得，，因，故點的直線與曲線相交于兩點，設(shè)，則，則，由圖知，，故只與有關(guān).7．(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)分析可得，結(jié)合雙曲線的定義分析求解；（2）設(shè)直線方程和交點坐標，利用韋達定理整理可得，，再求，的坐標，代入化簡整理即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，且與三邊切于點，則，可得，且A?2,0，，，即，可得，可知動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右半支（頂點E除外），則，所以動點的軌跡的方程為.（2）由題意可知：，雙曲線的漸近線為，設(shè)，，且，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，整理可得，同理可得，則直線，令，可得，則，同理可得，則，所以為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.8．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）代入點坐標即可得，再利用離心率公式即可；（2）首先討論直線斜率為0的情況，再設(shè)設(shè)方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理式，計算并化簡，最后整體代入韋達定理即可；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論得，再利用其單調(diào)性得，最后利用點到直線的距離公式即可.【詳解】（1）由橢圓經(jīng)過