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答案第=page11頁,共=sectionpages22頁專題15數(shù)列的求和方法和不等式問題【練基礎(chǔ)】單選題1.(2021·北京海淀·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列SKIPIF1<0若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則該數(shù)列的前六項和為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)已知條件,分別求出前六項,計算求和即可.【詳解】因為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以數(shù)列的前六項和為SKIPIF1<0.故選:SKIPIF1<02.(2022秋·安徽滁州·高三校考期中)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的前2022項和為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列奇偶交替的性質(zhì)相加求和即可.【詳解】當SKIPIF1<0為奇數(shù)時,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0為偶數(shù)時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選:D3.(2022秋·四川成都·高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試)已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】已知SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0,做差求SKIPIF1<0,再檢驗SKIPIF1<0,求出SKIPIF1<0的通項公式,代入求SKIPIF1<0,裂項法求和計算結(jié)果.【詳解】SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故選:D.4.(2022秋·河南洛陽·高三孟津縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0(
)A.2021 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意整理得SKIPIF1<0,結(jié)合等差數(shù)列通項公式可得SKIPIF1<0,再利用裂項相消SKIPIF1<0運算處理.【詳解】∵SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0是以首項SKIPIF1<0,公差SKIPIF1<0的等差數(shù)列則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故選:B.5.(2022·安徽滁州·校考模擬預(yù)測)已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0,且滿足SKIPIF1<0,記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0,若對于任意SKIPIF1<0,不等式SKIPIF1<0恒成立,則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用累加法求出SKIPIF1<0的通項公式,即可得到SKIPIF1<0,再利用裂項相消法求出SKIPIF1<0,即可求出SKIPIF1<0的取值范圍;【詳解】解:因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,……,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選:C6.(2022·廣東廣州·校聯(lián)考三模)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則數(shù)列SKIPIF1<0的前2022項和為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】由已知可得出SKIPIF1<0為等差數(shù)列,即可求出SKIPIF1<0,進而得出SKIPIF1<0,利用裂項相消法可求出.【詳解】當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0;當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是一個首項為3,公差為1的等差數(shù)列,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故選:A7.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則下列有可能成立的是(
)A.若SKIPIF1<0為等比數(shù)列,則SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列,則SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0為等比數(shù)列,則SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列,則SKIPIF1<0【答案】B【分析】若SKIPIF1<0為等比數(shù)列,可得SKIPIF1<0,進而可得SKIPIF1<0可判斷AC;若SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列,利用累乘法可得SKIPIF1<0,再利用裂項相消法可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,利用累加法可得SKIPIF1<0,進而可得SKIPIF1<0,可判斷BD.【詳解】因為SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0為等比數(shù)列,則SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故AC錯誤;若SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列,SKIPIF1<0,公差SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0則SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0則SKIPIF1<0,∴當SKIPIF1<0時,不等式SKIPIF1<0恒成立,故SKIPIF1<0,故B正確,D錯誤.故選:B.8.(2023春·廣東揭陽·高三??茧A段練習(xí))我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有人持金出五關(guān),前關(guān)二稅一,次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一,并五關(guān)所稅,適重一斤.問本持金幾何?”其意思為“今有人持金出五關(guān),第1關(guān)收稅金為持金的SKIPIF1<0,第2關(guān)收稅金為剩余金的SKIPIF1<0,第3關(guān)收稅金為剩余金的SKIPIF1<0,第4關(guān)收稅金為剩余金的SKIPIF1<0,第5關(guān)收稅金為剩余金的SKIPIF1<0,5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤.問原來持金多少?”.記這個人原來持金為SKIPIF1<0斤,設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.7 C.13 D.26【答案】C【分析】根據(jù)題意求得每次收的稅金,結(jié)合題意得到SKIPIF1<0,求得SKIPIF1<0的值,代入函數(shù)的解析式,即可求解.【詳解】由題意知:這個人原來持金為SKIPIF1<0斤,第1關(guān)收稅金為:SKIPIF1<0斤;第2關(guān)收稅金為SKIPIF1<0斤;第3關(guān)收稅金為SKIPIF1<0斤,以此類推可得的,第4關(guān)收稅金為SKIPIF1<0斤,第5關(guān)收稅金為SKIPIF1<0斤,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,又由SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故選:C.二、多選題9.(2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚中市第二高級中學(xué)校考期末)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則下列說法正確的是(
)A.若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減B.若存在無數(shù)個自然數(shù)SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0C.當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0的最小值不存在D.當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】A選項,根據(jù)SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0,再由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0,從而得到SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減,A正確;B選項,可舉出反例;C選項,由SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0可證得數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減,所以最小值不存在;D選項,對SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0,采用裂項相消進行求和,結(jié)合數(shù)列的項的正負性和單調(diào)性求出其取值范圍.【詳解】A選項,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0綜上:SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減,A正確;B選項,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以存在無數(shù)個自然數(shù)SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,故B錯誤;C選項,當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減,所以最小值不存在,C正確;D選項,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞減,所以當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又因為SKIPIF1<0單調(diào)遞減,所以當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0取得最大值,最大值為SKIPIF1<0,綜上:SKIPIF1<0,D正確.故選:ACD【點睛】由數(shù)列通項公式研究數(shù)列的性質(zhì),要對數(shù)列的通項公式進行變形,轉(zhuǎn)化為熟悉的知識點進行處理,本題D選項,要將SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0,采用裂項相消進行求和,結(jié)合數(shù)列的項的正負性和單調(diào)性求出其取值范圍.10.(2022·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考三模)已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,則下列結(jié)論正確的是(
)A.SKIPIF1<0是等差數(shù)列B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最小正整數(shù)解為SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根據(jù)題意得SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,即可判斷A;由A知,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即可判斷B;因為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0,求解判斷即可;根據(jù)題意得SKIPIF1<0,求和得SKIPIF1<0,再根據(jù)題意求解判斷即可.【詳解】因為SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0,公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列,所以SKIPIF1<0,又正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故A正確;當SKIPIF1<0時,解得SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故B不正確;因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,所以原不等式為:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0恒成立,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0成立,故C正確;因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,化簡整理得:SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最小正整數(shù)解為SKIPIF1<0,故D正確.故選:ACD.【點睛】給出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的遞推關(guān)系,求SKIPIF1<0,常用思路是:一是利用SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的遞推關(guān)系,再求其通項公式;二是轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的遞推關(guān)系,先求出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關(guān)系,再求SKIPIF1<0.11.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足,SKIPIF1<0,則下列說法正確的是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】A選項直接由遞推關(guān)系式即可求出SKIPIF1<0即可;C選項由SKIPIF1<0即可判斷;B選項由SKIPIF1<0即可判斷;D選項由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.【詳解】SKIPIF1<0,A正確;對于SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0,兩式相加得SKIPIF1<0,C正確;由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,B錯誤;由偶數(shù)項均為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0為偶數(shù)時,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,D正確.故選:ACD.12.(2022·全國·模擬預(yù)測)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0,則下列說法正確的有(
)A.對任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不可能為常數(shù)數(shù)列B.當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0為遞減數(shù)列C.若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根據(jù)遞推公式、基本不等式,結(jié)合不等式放縮法、錯位相減法逐一判斷即可.【詳解】因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.對于A,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,即數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)數(shù)列,故A錯誤;對于B,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,若存在SKIPIF1<0,使得等號成立,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,依次有SKIPIF1<0,矛盾,故SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為遞減數(shù)列,故B正確;對于C,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,由A,B知,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,當n=2時,SKIPIF1<0,此時等號成立,故C正確;對于D,由題有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,兩式相減得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0(提示:SKIPIF1<0),故D正確.故選:BCD.【點睛】關(guān)鍵點睛:利用放縮法是解題的關(guān)鍵.三、填空題13.(2022·全國·高三專題練習(xí))若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則其前SKIPIF1<0項和為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用分組求和法求得正確答案.【詳解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為:SKIPIF1<014.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知正項數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0,進而求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式,再利用裂項相消法即可求解.【詳解】由題意可知,因為正項數(shù)列SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍),SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍),當SKIPIF1<0時,此式也滿足SKIPIF1<0,故正項數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.15.(2022秋·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題設(shè)SKIPIF1<0,討論n的奇偶性求SKIPIF1<0的通項公式,再求SKIPIF1<0.【詳解】由題設(shè),SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0且n≥2,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0故答案為:SKIPIF1<0.16.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0,點O為坐標原點,點SKIPIF1<0,向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角,則SKIPIF1<0的值為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)已知條件及斜率公式,結(jié)合裂項相消法即可求解.【詳解】由題意可得SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的傾斜角,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.四、解答題17.(2023·全國·高三專題練習(xí))記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式;(2)設(shè)m為整數(shù),且對任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求m的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)7【分析】(1)由數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系可得SKIPIF1<0,再結(jié)合等比數(shù)列的通項可得解;(2)利用錯位相減法求出SKIPIF1<0,結(jié)合范圍即可得解.【詳解】(1)因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0不滿足上式,故數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0(2)設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.整理可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以符合題設(shè)條件的m的最小值為7.18.(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足對任意m,SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的通項公式;(2)設(shè)SKIPIF1<0,求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)根據(jù)條件證得數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列,再由已知求得數(shù)列SKIPIF1<0的公差、SKIPIF1<0的公比,寫出通項公式即可;(2)使用錯位相減求和.【詳解】(1)因為對任意m,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0是公差SKIPIF1<0的等差數(shù)列,SKIPIF1<0.設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q,因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(2)因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,兩式相減,得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.19.(2023·全國·模擬預(yù)測)已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是公差為1的等差數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0的通項公式;(2)證明:SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式,求出SKIPIF1<0的通項公式,得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系,得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系,利用累乘法即可求得SKIPIF1<0的通項公式.(2)由(1)結(jié)論求得SKIPIF1<0,對SKIPIF1<0進行放縮并裂項,即可得結(jié)論.【詳解】(1)當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,由題可知,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,
故SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.(2)證明:由(1)可知:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.20.(2023·全國·模擬預(yù)測)已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式;(2)設(shè)SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)將SKIPIF1<0代入已知式子可得SKIPIF1<0是等差數(shù)列,進而得到SKIPIF1<0的通項公式,再由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系求出SKIPIF1<0的通項公式.(2)由裂項相消求和可得SKIPIF1<0,再由SKIPIF1<0的單調(diào)性可求得其范圍.【詳解】(1)因為SKIPIF1<0,所以由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中,令n=1,得SKIPIF1<0,所以a1=1.所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以SKIPIF1<0,即:SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0也適合上式,所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.(2)由(1)知,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因為bn>0,所以SKIPIF1<0隨著n的增大而增大,所以SKIPIF1<0,又顯然SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.【提能力】一、單選題21.(2020·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和.若SKIPIF1<0(常數(shù)),SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的最小值是A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】當SKIPIF1<0時,類比寫出SKIPIF1<0,兩式相減整理得SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,求得SKIPIF1<0,從而求得數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式.;再運用錯位相減法求出SKIPIF1<0,結(jié)合SKIPIF1<0的性質(zhì),確定SKIPIF1<0的最小值.【詳解】SKIPIF1<0①當SKIPIF1<0時,類比寫出SKIPIF1<0
②由①-②得
SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0③SKIPIF1<0
④③-④得,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(常數(shù)),SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0故選C.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式的求法和數(shù)列前n項和的計算方法,解題時要認真審題,仔細解答,注意公式的合理選用.1、已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系式,求數(shù)列的通項公式的方法如下:(1)當SKIPIF1<0時,用SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0得到一個新的關(guān)系,利用SKIPIF1<0SKIPIF1<0便可求出當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的表達式;(2)當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0;(3)對SKIPIF1<0時的結(jié)果進行檢驗,看是否符合SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的表達式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩段來寫.2、錯位相減法:若SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是等差數(shù)列,SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列,那么這個數(shù)列的前SKIPIF1<0項和即可用此法來求.數(shù)列前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0,兩式錯位相減并整理即得.22.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0…SKIPIF1<0,設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足:SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0恒成立,則SKIPIF1<0的取值范圍是A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】先求出SKIPIF1<0的通項,再求出SKIPIF1<0的通項,從而可求SKIPIF1<0,利用參變分離可求SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】因為SKIPIF1<0…SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0…SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.而令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0恒成立等價于SKIPIF1<0即SKIPIF1<0恒成立,化簡得到SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故選D.【點睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式,如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和,則用分組求和法;如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,則用錯位相減法;如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差,那么用裂項相消法;如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn),則用并項求和法.
參數(shù)的數(shù)列不等式的恒成立問題,可以用參變分離的方法構(gòu)建新數(shù)列,通過討論新數(shù)列的最值來求參數(shù)的取值范圍.23.(2022·河南·統(tǒng)考一模)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則數(shù)列SKIPIF1<0的前40項和SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】由已知,根據(jù)題意由SKIPIF1<0可得:SKIPIF1<0,從而計算SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0遞推可得:SKIPIF1<0,結(jié)合SKIPIF1<0可得:SKIPIF1<0,從而計算SKIPIF1<0,將兩組和合并即可完成求解.【詳解】由已知,數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0①,SKIPIF1<0②,②SKIPIF1<0①得;SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0遞推可得:SKIPIF1<0③,③SKIPIF1<0②得;SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選:D.24.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和,對任意SKIPIF1<0,不等式SKIPIF1<0恒成立,則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】本題首先可根據(jù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0,然后根據(jù)SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0,再然后根據(jù)錯位相減法求出SKIPIF1<0,最后根據(jù)題意得出對任意SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0恒成立,根據(jù)SKIPIF1<0即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,對任意SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0恒成立,即對任意SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0恒成立,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選:C.【點睛】方法點睛:本題考查根據(jù)數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查數(shù)列求和,常見的數(shù)列求和方法有等差等比公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法、倒序相加法,考查計算能力,是難題.25.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0,記SKIPIF1<0,若數(shù)列SKIPIF1<0也為等比數(shù)列,則SKIPIF1<0(
)A.12 B.32 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q,對q分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況進行討論即可.【詳解】解:設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q,①當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,不可能為等比數(shù)列;②當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列,必有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0.故選:D.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題解題的關(guān)鍵是(1)要分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況進行討論;(2)當SKIPIF1<0時,利用等比數(shù)列前n項和公式及分組求和法求出SKIPIF1<0,然后結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可求解.二、多選題26.(2023·遼寧盤錦·盤錦市高級中學(xué)??家荒#┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和,則下列說法正確的有(
)A.n為偶數(shù)時,SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0的最大值為20【答案】AC【分析】對選項A,偶數(shù)項構(gòu)成等比數(shù)列,即可求得通項;對選項B,檢驗當SKIPIF1<0時,所給表達式不滿足;對選項C,按照n為奇數(shù)和偶數(shù)分別討論,根據(jù)SKIPIF1<0,可直接求得;對選項D,SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【詳解】根據(jù)遞推關(guān)系可知,n為奇數(shù)時,SKIPIF1<0n為偶數(shù)時,SKIPIF1<0,故A對;SKIPIF1<0根據(jù)奇數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列可得:SKIPIF1<0而又:SKIPIF1<0則有:SKIPIF1<0,故B錯誤;SKIPIF1<0,故C對;根據(jù)SKIPIF1<0中的奇數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列,而偶數(shù)項之和不是1就是0,因此根據(jù)SKIPIF1<0特點可知:SKIPIF1<0的最大值在奇數(shù)項之和取得最大值的附近,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0,故D錯故選:AC27.(2022·福建福州·福州三中校考模擬預(yù)測)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則(
)A.SKIPIF1<0是遞減數(shù)列 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的判斷方法,累加法,累乘法以及裂項求和法,結(jié)合已知條件,對每個選項進行逐一分析,即可判斷和選擇.【詳解】對A:SKIPIF1<0,又當SKIPIF1<0時,與SKIPIF1<0矛盾,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故該數(shù)列遞增數(shù)列,A錯誤;對B:SKIPIF1<0,根據(jù)A知:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故B正確;對C:SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0(當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時取得等號),故SKIPIF1<0,C錯誤;對D:由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,D正確.故選:BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查數(shù)列的單調(diào)性,累加法,累乘法以及裂項求和法,處理問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)常見的地推關(guān)系,選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼?,屬困難題.28.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和,若SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0
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