新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對點題型第21講雙曲線（學(xué)生版）

第21講雙曲線真題展示2022新高考一卷第21題已知點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和為0．（1）求SKIPIF1<0的斜率；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．知識要點整理知識點一雙曲線的定義1．定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡．2．定義的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦點：兩個.4．焦距：的距離，表示為|F1F2|.知識點二雙曲線標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1()eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1()焦點a，b，c的關(guān)系c2＝知識點三雙曲線的性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點坐標A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c間的關(guān)系c2＝(c>a>0，c>b>0)知識點四等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線方程是，離心率為eq\r(2).知識點五直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，①雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)當b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線．(2)當b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0?直線與雙曲線有兩個公共點；Δ＝0?直線與雙曲線有一個公共點；Δ<0?直線與雙曲線有0個公共點．知識點六弦長公式若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).試題亮點圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中重要且基本的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時也是高考考查的重點．試題分步設(shè)問，逐步推進，注重對基本概念、基本方法的考查，考查內(nèi)容由淺入深，層次分明，重點突出，能很好地引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教材，試題對考生的邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及靈活地應(yīng)用解析幾何的基本方法將問題合理轉(zhuǎn)化的能力有一定的要求.因此，試題不僅有利于高校選拔人才，也有利于中學(xué)教學(xué)創(chuàng)新，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有積極的引導(dǎo)作用.三年真題1．已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點SKIPIF1<0在C上，且SKIPIF1<0．過P且斜率為SKIPIF1<0的直線與過Q且斜率為SKIPIF1<0的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在SKIPIF1<0上；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.2．如圖，SKIPIF1<0為橢圓的兩個頂點，SKIPIF1<0為橢圓的兩個焦點．(1)寫出橢圓的方程及準線方程；(2)過線段SKIPIF1<0上異于O，A的任一點K作SKIPIF1<0的垂線，交橢圓于P，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點M．求證：點M在雙曲線SKIPIF1<0上．3．如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面上的兩點，動點P滿足：SKIPIF1<0．(1)求點P的軌跡方程；(2)若SKIPIF1<0，求點P的坐標．4．設(shè)動點P到兩定點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．(1)證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；(2)如圖，過點SKIPIF1<0的直線與雙曲線C的右支交于SKIPIF1<0兩點．問：是否存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是以點B為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，說明理由．5．已知中心在原點的雙曲線SKIPIF1<0的一個焦點是SKIPIF1<0，一條漸近線的方程是SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若以SKIPIF1<0為斜率的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于兩個不同的點M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為SKIPIF1<0，求k的取值范圍．6．如圖，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為SKIPIF1<0，其左半部分記為SKIPIF1<0，右半部分記為SKIPIF1<0．(1)分別用不等式組表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若區(qū)域SKIPIF1<0中的動點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離之積等于SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(3)設(shè)不過原點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與（2）中的曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，且與SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0兩點．求證SKIPIF1<0的重心與SKIPIF1<0的重心重合．7．如圖，雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為左、右焦點，M為左準線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點，且SKIPIF1<0．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是x軸上的兩點過點A作斜率不為0的直線l，使得l交雙曲線于C、D兩點，作直線SKIPIF1<0交雙曲線于另一點E．證明：直線SKIPIF1<0垂直于x軸．8．已知SKIPIF1<0是過點SKIPIF1<0的兩條互相垂直的直線，且SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0各有兩個交點，分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.9．已知雙曲線C的實半軸長與虛半軸的乘積為SKIPIF1<0，C的兩個焦點分別為SKIPIF1<0，直線l過SKIPIF1<0且與直線SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，l與線段SKIPIF1<0的垂直平分線的交點是P，線段SKIPIF1<0與雙曲線C的交點為Q，且SKIPIF1<0，求雙曲線C的方程．10．雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，雙曲線右焦點且斜率為SKIPIF1<0的直線交雙曲線于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，求雙曲線的方程.11．如圖，已知兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．有一動圓（圓心和半徑都在變動）與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都相交，并且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求圓心SKIPIF1<0的軌跡方程，并說出軌跡的名稱．12．設(shè)SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右兩個焦點．(1)若橢圓C上的點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程；(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段SKIPIF1<0的中點的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線SKIPIF1<0的斜率都存在，并記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0時，那么SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線SKIPIF1<0寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．三年模擬1．（2022·陜西·咸陽市高新一中模擬預(yù)測（文））已知焦點在SKIPIF1<0軸上的雙曲線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標準方程；(2)若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，求弦長SKIPIF1<0．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0為坐標原點,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）的左,右焦點,SKIPIF1<0,若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0點的右支有公共點SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的離心率的最小值;(2)當雙曲線SKIPIF1<0的離心率最小時,直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點,求SKIPIF1<0的值.3．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，A，B分別是C的左?右頂點，點SKIPIF1<0在C上，點SKIPIF1<0，直線AD，BD與C的另一個交點分別為P，Q．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)證明：直線PQ經(jīng)過定點．4．（2022·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離比到SKIPIF1<0的距離大2，點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過點SKIPIF1<0且斜率不為0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0關(guān)于原點對稱，求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率的比值.5．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））在平面直角坐標系xOy中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3．(1)求動點C的軌跡方程E．(2)過點SKIPIF1<0作直線l交曲線E于P，Q兩點（P，Q在y軸兩側(cè)），過原點O作直線SKIPIF1<0的平行線SKIPIF1<0交曲線E于M，N兩點（M，N在y軸兩側(cè)），試問SKIPIF1<0是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．6．（2022·全國·安陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知雙曲線C：SKIPIF1<0與x軸的正半軸交于點M，動直線l與雙曲線C交于A，B兩點，當l過雙曲線C的右焦點且垂直于x軸時，SKIPIF1<0，O為坐標原點．(1)求雙曲線C的方程；(2)若SKIPIF1<0，求點M到直線l距離的最大值．7．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測）已知動圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0及圓SKIPIF1<0中的一個外切，另一個內(nèi)切．(1)求動圓圓心SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與軌跡SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，以線段SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過軌跡SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸正半軸的交點SKIPIF1<0，證明直線SKIPIF1<0經(jīng)過一個不在軌跡SKIPIF1<0上的定點，并求出該定點的坐標．8．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0，(1)求軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且法向量為SKIPIF1<0，直線與軌跡SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點．①過SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，試確定SKIPIF1<0的取值范圍；②在SKIPIF1<0軸上是否存在定點SKIPIF1<0，無論直線SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0怎樣轉(zhuǎn)動，使SKIPIF1<0恒成立？如果存在，求出定點SKIPIF1<0；如果不存在，請說明理由．9．（2022·云南云南·模擬預(yù)測）己知雙曲線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有相同的漸近線，A，F(xiàn)分別為雙曲線C的左頂點和右焦點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于第一象限的點B，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與雙曲線的左?右兩支分別交于M，N兩點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.10．（2022·浙江紹興·一模）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左焦點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上的一點.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)已知過坐標原點且斜率為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0