新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)題型第19講空間距離、二面角與空間向量（學(xué)生版）

第19講空間距離、二面角與空間向量真題展示2022新高考一卷第19題如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為4，△SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；（2）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．知識(shí)要點(diǎn)整理知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)P到直線l的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)P到平面α的距離設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．思考怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離？答案兩條直線平行，其中一條直線到另一條直線間的距離是其中一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離；一條直線和一個(gè)平面平行，直線到平面的距離就是這條直線上任一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離；兩個(gè)平面平行，平面到平面的距離就是一個(gè)平面上任一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．知識(shí)點(diǎn)三兩個(gè)平面的夾角平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角．知識(shí)點(diǎn)四空間角的向量法解法角的分類(lèi)向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個(gè)平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))利用空間向量的方法解決立體幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將其他向量用坐標(biāo)表示，通過(guò)向量運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離問(wèn)題的探求．所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要，下面簡(jiǎn)述空間建系的四種方法，希望同學(xué)們面對(duì)空間幾何問(wèn)題能做到有的放矢，化解自如．一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱例1在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)反思感悟本例以長(zhǎng)方體為背景，求異面直線所成角．顯然可以是從長(zhǎng)方體中的共點(diǎn)的三條棱互相垂直關(guān)系處著手，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可．二、利用線面垂直關(guān)系例2如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E為棱C1C的中點(diǎn)，已知AB＝eq\r(2)，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝eq\f(π,3).試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)．反思感悟空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運(yùn)算帶來(lái)了方便．本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB⊥平面BB1C1C”，可作為建系的突破口．三、利用面面垂直關(guān)系例3如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F(xiàn)分別為PQ，AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線EM與AF所成角的余弦值是________．反思感悟本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系，先證在兩平面內(nèi)共點(diǎn)的三線垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系．四、利用底面的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系例4如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證：平面O1DC⊥平面ABCD；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，問(wèn)點(diǎn)F在何處時(shí)，EF⊥AD?反思感悟依托于平行六面體的高所在直線與底面正方形的兩對(duì)角線便可建立空間直角坐標(biāo)系．三年真題1．直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，F(xiàn)為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角的余弦值．2．如圖，四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)F在SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0的面積最小時(shí)，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．3．如圖，已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0．設(shè)M，N分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．4．如圖，SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．5．在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求PD與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．6．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別為SKIPIF1<0，AC的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．7．如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為4，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．(1)求A到平面SKIPIF1<0的距離；(2)設(shè)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（II）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．（III）求二面角SKIPIF1<0的正弦值．9．在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，若SKIPIF1<0．（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．10．如圖：在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．11．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，M，N分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.12．如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的正弦值．13．已知直三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)，D為棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)．SKIPIF1<0（1）證明：SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的二面角的正弦值最小?三年模擬1．如圖，將長(zhǎng)方形SKIPIF1<0（及其內(nèi)部）繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中SKIPIF1<0，劣弧SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0的直徑.(1)在弧SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的同側(cè)），使SKIPIF1<0，若存在，確定其位置，若不存在，說(shuō)明理由；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.2．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0.(1)求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的大小.3．如圖，已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是菱形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.4．在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)且SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面MEC；(2)P為線段AM上一點(diǎn)，若二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，求AP的長(zhǎng)．5．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.6．如圖，多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小.7．在平面五邊形ABCDE中（如圖1），ABCD是梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿AD折起，連接EB，EC得四棱錐SKIPIF1<0（如圖2）且SKIPIF1<0．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面ABCD；(2)在棱EB上有點(diǎn)F，滿足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．8．在平面五邊形ABCDE中（如圖1），ABCD是梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿AD折起，連接EB，EC得四棱錐SKIPIF1<0（如圖2）且SKIPIF1<0．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面ABCD；(2)在棱EB上有點(diǎn)F，滿足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．9．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0底面ABSKIPIF1<0，且SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.10．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面SKIPIF1<0為菱形，點(diǎn)SKIPIF1<0在底面上的投影為AC的中點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到側(cè)面SKIPIF1<0的距離；(3)在線段SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線DE與側(cè)面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，請(qǐng)求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．已知三棱臺(tái)SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0