高考數(shù)學第一輪復習 第七篇 立體幾何細致講解練 理 新人教A版

第七篇立體幾何

第1講空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖

［最新考綱］

1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡

單物體的結構.

2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡單組合)的三視圖，能識別

，述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.

3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形

的不同表示形式.

4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格

要求).

診斷■基礎知識由淺入深芬基固本

知識梳理

1.多面體的結構特征

(D棱柱的側棱都平行且杷笠，上下底面是全等且田的多邊形.

(2)棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形.

(3)棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形.

2.旋轉體的結構特征

(1)圓錐可以由直角三角形繞其任一直角邊旋轉得到.

(2)圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉得到，也可由平行于圓

錐底面的平面截圓錐得到.

(3)球可以由半圓面或圓面繞直徑旋轉得到.

3.空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平

面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖.

4.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸、/軸的夾角為45°(或135°),

z，軸與/軸、/軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于*軸和z軸的線

段在直觀圖中保持原長度丕變，平行于尸軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼?半.

辨析感悟

1.對棱柱、棱錐、棱臺的結構特征的認識

(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的兒何體是棱柱.(X)

(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(X)

(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.(V)

2.對?圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征的認識

(4)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱.(義)

(5)上下底面是兩個平行的圓面的旋轉體是圓臺.(X)

(6)用一個平面去截一個球，截面是一個圓面.(J)

3.對直觀圖和三視圖的畫法的理解

⑺在用斜二測畫法畫水平放置的N/I時，若N/1的兩邊分別平行于*軸和y軸，且/力=90°,

則在直觀圖中乙4=45°.(X)

(8)(教材習題改編)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三個視圖均相同.(X)

［感悟?提升］

1.兩點提醒一是從棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的定義入手，借助幾何模型強

化空間幾何體特征.如(1)中例如幺(2)中例如.

二是圖形中與淘、y軸、z軸都不平行的線段可通過確定端點的辦法來解，即過端點作坐

標軸的平行線段，再借助所作的平行線段來確定端點在直觀圖中的位置.如(7).

2.一個防范二視圖的長度特征：“長對正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側視圖一樣

高、正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交，表面的交

線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法.如(8)中正方體與球各自的三視

圖相同，但圓錐的不同.

學生用書第106頁

突破?高頻考點以例求法舉一反三

考點一空間幾何體的結構特征

【例1】給出下列四個命題：

①在圓柱的上、下底面的員1周上各取?點，則這兩點的連線是圓柱的母線：

②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；

④棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是().

A.0B.1C.2D.3

解析①不一定，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線：②正確；③錯誤.當以斜邊所在直

線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐.如圖所示，它是由兩個同

底圓錐組成的幾何體；④錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形，各側棱延

長線交于一點，但是側棱長不一定相等.

答案B

規(guī)律方法(D緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據(jù)條件構建幾何

模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)

題意判定.

(2)通過舉反例對結構特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.

【訓練1】給出下列四個命題：

①有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱；

②側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；

③側面都是矩形的直四棱柱是長方體；

④若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.

其中錯誤的命題的序號是_______.

解析認識棱柱一般要從側棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③

都不準確，②中對等腰三角形的腰是否為側棱未作說明，故也不正確，④平行六面體的兩個

相對側面也可能與底面垂百且互相平行，故④也不正確.

答案①②③④

考點二由空間幾何體的直觀圖識別三視圖

[例2](?新課標全國I【卷)一個四面體的頂點在空間直角坐標系仆燈z中的坐標分別是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投

影面，則得到正視圖可以為().

審題路線在空間直角坐標系中畫出四面體=以z公平面為投影面=可得正視圖.

zB

解析在空間直角坐標系中，先畫出四面體力4%的直觀圖，如圖，設0(0,0,0),1),

Ml,1,0),r(0,1,1),將以0,力，B,。為頂點的四面體被還原成一正方體后，由于勿_L6C,

所以該幾何體以/"平面為投影面的正視圖為a.

答案A

規(guī)律方法空間幾何體的三視圖是分別從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法

得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底

面，然后根據(jù)正視圖或側視圖確定幾何體的側棱與側面的特征，調整實線和虛線所對應的棱、

面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結果.

【訓練2】(?濟宇一模)點MN分別是正方體493/1心G〃的棱4兒44的中點，用過

4M*和僅反G的兩個截面截去正方體的兩個角后得到的幾何體如圖1,則該幾何體的

正視圖，側視圖、俯視圖依次為圖2中的().

A.①②③B.②③④C.①③④D.②??

解析由正視圖的定義可知；點兒B,笈在后面的投影點分別是點〃，C,G,線段小在后

面的投影面上的投影是以〃為端點且與線段CG平行且相等的線段，即正視圖為正方形，另

外線段川/在后面的投影線要畫成實線，被遮擋的線段。。要畫成虛線，正視圖為②；同理

可得側視圖為③，俯視圖為④.

答案B

考點三由空間幾何體的三視圖還原直觀圖

【例3】(1)(?四川卷)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是().

(2)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是().

解析(1)由于俯視圖是兩個圓，所以排除A,B,C,故選D.

(2)A,B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.

答案(1)D(2)1)

學生用書第107頁

規(guī)律方法在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視

圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在

還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮.

【訓練3】若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是().

正視圖側視圖

S

俯視圖

經(jīng)鋁占粵

ABCD

解析所給選項中，A,C選項的正視圖、俯視圖不符合，D選項的側視圖不符合，只有選項

B符合.

答案B

I課堂小結I

1.棱柱、棱錐要掌握各剖分的結構特征，計算問題往往轉化到一個三角形中進行解決.

2.旋轉體要抓住“旋轉”特點，弄清底面、側面及展開圖形狀.

3.三視圖畫法：(1)實虛線的畫法：分界線和可見輪廓線用實線，看不見的輪廓線用虛線；

(2)理解“長對正、寬平齊、高相

等”.

培養(yǎng)?解題能力教你解題提升他力

易錯辨析7——三視圖識圖不準致誤

【典例】（?陜西卷）將正方體（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則

該幾何體的側視圖為（）.

［錯解］選A或D.

［錯因］致錯原因是根據(jù)提示觀測位置確定二視圖時其實質是正投影，將幾何體中的可見輪

廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線，錯選A或D都是沒有抓住看到的輪廓線在面

上的投影位置，從而導致失誤.

［正解］還原正方體后，將4,D,4三點分別向正方體右側面作垂線，。力的射影為U8

且為實線，4c被遮擋應為虛線.故選B.

［答案］B

［防范措施］空間幾何體為三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得

到的三個平面投影圖.因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，就要抓住正投影，結合具體

問題和空間幾何體的結構特征進行解答.

【自主體驗】

（?東北三校模擬）如圖，多面體被切一板的底面力?切為正方形，F(xiàn)C=GI）=2EA,其俯視圖

如下，則其正視圖和側視圖正確的是（）.

AB俯視圖

解析注意BE,選在平面微節(jié)上的投影為實線，旦由已知長度關系確定投影位置，排除A,

C選項，觀察B,D選項，側視圖是指光線從幾何體的左面向右面正投影，則8C,跖的投影

為虛線，故選D.

答案I）

課時?題組訓練階梯訓練練出高分

對應學生用書P307

基礎鞏固題組

（建議用時：40分鐘）

一、選擇題

1.一個棱柱是正四棱柱的條件是（）.

A.底面是正方形，有兩個側面是矩形

B.底面是正方形，有兩個側面垂直于底面

C.底面是菱形，具有?個頂點處的三條棱兩兩垂直

D.每個側面都是全等矩形的四棱柱

解析A,B兩選項中側棱與底面不一定垂直，I）選項中底面四邊形不一定為正方形，故選

C.

答案c

2.（?福州模擬）沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側視

圖為（）.

CD

解析給幾何體的各頂點標上字母，如圖1.4〃在側投影面上的投影重合，C,。在側投影

面上的投影重合，幾何體在側投影面上的投影及把側投影面展平后的情形如圖2所示，故正

確選項為B（而不是A）.

161圉2

答案B

3.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）.

□△◎A

①正方體②圓錐③三棱臺④正四極錐

A.①②B.①③C.①④D.②④

解析正方體的三視圖都是正方形，不合題竟：圓錐的正視圖和側視圖都是等腰三角形，俯

視圖是圓，符合題意；三棱臺的正視圖和側視圖、俯視圖各不相同，不合題意；正四棱錐的

正視圖和側視圖都是三角形，而俯視圖是正方形，符合題意，所以②④正確.

答案D

4.（?汕頭二模）如圖，某簡單幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，且其體積

為寧，則該幾何體的俯視圖可以是（）.

□□

正視圖側視圖

解析若該幾何體的俯視是選項A,則其體積為1,不滿足題意；由正視圖、側視圖可知俯

視圖不可能是B項；若該幾何體的俯視圖是選項C,則其體積為不符合題意：若該幾何

體的俯視圖是選項D,則其體積為:，滿足題意.

答案D

5.

俯視圖斜視圖

已知三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一直角

邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（）.

解析空間幾何體的正視圖和側視圖的“高平齊”，故正視圖的高一定是2,正視圖和俯視

圖“長對正”，故正視圖的底面邊長為2,根據(jù)側視圖中的直角說明這個空間幾何體最前面

的面垂直于底面，這個面遮住了后面的一個側棱，綜合以上可知，這個空間幾何體的正視圖

可能是C.

答案C

二、填空題

6.利用斜二測畫法得到的以下結論，正確的是（寫出所有正確的序號）.

①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是立行四邊形；③正方形的直觀圖是正

方形；④圓的直觀圖是橢圓；⑤菱形的直觀圖是菱形.

解析①正確；由原圖形中平行的線段在直觀圖中仍平行可知②正確；但是原圖形中垂直的

線段在直觀圖中一般不垂直，故③錯；④正確；⑤中原圖形中相等的線段在直觀圖中不一定

相等，故錯誤.

答案①②④

7.一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的（填入

所有可能的幾何體前的編號）.

①三棱錐；②四棱錐；③三楂柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱.

解析

顯然，三棱錐、圓錐的正視圖可以是三角形；三楂柱的王視圖也可以是三角形（把三楂柱放

倒，使一側面貼在地面上：并讓其底面面對我們，如圖所示）；只要形狀合適、擺放適當（如

一個側面正對著觀察者的正四棱錐），四棱錐的正視圖也可以是三角形（當然，不是任意擺放

的四棱錐的正視圖都是三角形），即正視圖為三角形的幾何體完全有可能是四棱錐：不論四

棱柱、圓柱如何擺放，正視圖都不可能是三角形(可以驗證，隨意擺放的任意四棱柱的正視

圖都是四邊形，圓柱的正視圖可以是圓或四邊形).綜L所述，應填①②?⑤.

答案①②③⑤

8.如圖，用斜二測畫法得到四邊形力懶是下底角為45°的等腰梯形，/

其下底長為5,一腰長為成，則原四邊形的面積是_______..42一

解析作"'_L/18于'CF1AB于F,則力￡=8Q/Wbos45。=1,???⑦=跖=3.將原圖復原

(如圖)，則原四邊形應為直角梯形，ZJ=90a,/俗=5,緩=3,AD=2y[2,AS四邊形皿=1

X(5+3)義2鏡=8，1

答案8^2

三、解答題

9.如圖所示的是?個零件?的直觀圖，試畫出這個幾何體的三視圖.

解這個幾何體的三視圖如圖.

10.如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖.

(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；

⑵畫出其側視圖，并求該平面圖形的面積;

（3）求出該幾何體的體積.

解（1）正六棱錐.

（2）其側視圖如圖：其中，仍=月4AD1BC,且8C的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離,

即比=小/，的長是正六棱錐的高，即4?=小a,

，該平面圖形的面積5=7小a-小a=

(3)/=；X6X平才X小

能力提升題組

（建議用時：25分鐘）

一、選擇題

1.一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是（）.

A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱

解析球的正視圖、側視圖和俯視圖均為圓，且形狀相同、大小相等；三棱錐的止視圖、側

視圖和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖、側視圖和俯視圖可以為形狀相同、大

小相等的正方形；圓柱的正視圖、側視圖均為矩形，俯視圖為圓.

答案D

2.一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面

積等于（）.

A.B.2,^2C.才D.

解析根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖形的面積S與它的

直觀圖的面積S'之間的關系是S'本題中直觀圖的面枳為才，所以原平面四邊形

的面積等于=2//

4

答案B

二、填空題

3.

4

日7

A

如圖所示，E,6分別為正方體/收N—48C〃的面力如M、面8s8的中心，則四邊形③叨￡

在該正方體的面上的正投影可能是(填序號).

解析由正投影的定義，四邊形身切￡在面力與面國GC上的正投影是圖③；其在面

月防M與面以Z4上的正投影是圖②；其在面力筋與面4644上的正投影也是②，故①④

錯誤.

答案②③

三、解答題

4.已知正三棱錐，一力比’的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示.

(1)畫出該三棱錐的直觀圖;

(2)求出側視圖的面積.

解(1)直觀圖如圖所示：

(2)根據(jù)三視圖間的關系可得BC=2季,

???側視圖中

Sz蛻=3X2yX2^3=6.

學生用書第108頁

第2講空間幾何體的表面積與體積

［最新考綱］

1.了解球體、柱體、錐體、臺體的表面積的計算公式.

2.了解球體、柱體、錐體、臺體的體積計算公

式.

診斷?基礎知識由淺入深夯基固本

知識梳理

1.柱、錐、臺和球的側面積和體積

面積體積

圓柱S則=2nrhV=Sh=n

11

V=-Sh=-nfh

JJ

圓錐Jirl

o

/=：（Si.+S下+dSi：S卜）Z?=1n（才+成+八心）h

圓臺S值=n（n+n）1

Jo

直楂柱S^\=ChV=Sh

S例=；汨

正棱錐V=\sh

J

【/=5(S上+S卜+75毋)。

正楂臺）h'

*5

v=\nR

球S球詡=4——

<5

2.幾何體的表面積

(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和.

(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形;它們的表面積等于側面積

與底面面積之和.

辨析感悟

1.柱體、錐體、臺體與球的面積

(1)圓柱的一個底面積為，側面展開圖是?個正方形,那么這個圓柱的側面積是21Ts(X)

(2)設長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為

3.(X)

2.柱體、錐體、臺體的體積

(3)(教材練習改編)若一個球的體積為4小n,則它的表面積為12n.(V)

(4)(?浙江卷改編)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于24

cm\(V)

H-4TH-3-H

俯視圖

(5)在△力比中，AB=2fBC=3,ZABC=\20°,使△45C繞直線旗旋轉一周所形成的幾何

體的體積為9n.(X)

3.柱體、錐體、臺體的展開與折疊

(6)將圓心角為鋁，面積為3”的扇形作為圓錐的側面，則圓錐的表面積等于4兀.(J)

(7)(?青州模擬改編)將邊長為a的正方形力應刀沿對角線力。折起，使劭=&,則三楂錐〃

一/1回的體積為點/(x)

1乙

［感悟?提升］

兩點注意?是求幾何體的體積，要注意分割與補形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將

其轉化為規(guī)則的幾何體求解.

二是幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關系.

學生用書第109頁

突破?高頻考點以例求法舉一反三

考點一空間幾何體的表面積

【例11(?日照?模)如圖是■個幾何體的正視圖和側視圖，具俯視圖

是面積為8鏡的矩形.則該幾何體的表面積是().

A.8B.20+8\傷

C.16D.24+8\歷

解析由已知俯視圖是矩形，則該幾何體為一個三棱柱，根據(jù)三視圖的性質，俯視圖的矩形

寬為2鏡，由面積隊得長為4,則該兒何體的表面積為S=2X+2X2+2鏡X4+2X2X4

=20+8*.

答案B

規(guī)律方法(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當?shù)?/p>

分析，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系.

(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理.

(3)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而

表面積是側面積與底面圓的面積之和.

【訓練1】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.

解析如圖所示：

該幾何體為長為4,寬為3,高為1的長方體內部挖去一個底面半徑為1,高為1的圓柱后

剩卜的部分.

，S表=(4X1+3X4+3X1)X2+2JiX1X1-2JTXl2=38.

答案38

考點二空間幾何體的體枳

[例2](1)(?新課標全國I卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該兒何體的體積為().

A.16+8nB.8+8n

C.16+16“D.8+16n

（2）（?福州模擬）如圖所示，己知三棱柱ABC—ABQ的所有棱長均為1,且底面ABC,

則三棱錐片一/1施；的體積為（）.

碑

D羋

解析（1）由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成.其中長方體的長、寬、高分

別為4,2,2,圓柱的底面半徑為2、而為4.所以P=2X2X4+1X22XJTX4=16+8”.故選

A.

⑵三棱錐R—ABC的體積等于三棱錐的體積，三楂錐A-B.BG的高為坐，底面積

為I，故其體積為:X：x^=噌.

乙J乙乙1乙

答案（DA（2）A

規(guī)律方法（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形

狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解；（2）若所給幾何體的

體積不能直接利用公式得出，則常用等枳法、分割法、外形法等方法進行求解.

【訓練2】如圖所示，已知反，.分別是棱長為a的正方體力自笫一44G〃的棱CG的

中點，求四棱錐G一笈切尸的體積.

解法一連接4G，4〃交于點4,連接打〃，/:五,

過。作RH【B\D于H.

???臣〃4G,且4GQ平面區(qū)瓦方

E/a平面BMF.

???4G〃平面笈垃應

???C到平面劣及*的距離就是4G到平面〃/步’的距離.

???平面笈〃〃_L平面8及泥，且平面呂。〃CI平面8\EDF=B\D,

平面笈切E

即〃〃為棱錐的高.

,:叢B\RH^叢B\DD\,

.八,，乖

?,"”一民D-6?

「1，-、1

「?Vc「B]EDF=三-S四邊形為EOF*°1"=與—?EF?B7?

?g?/a?y(3a?^a=^a.

法二連接EF,HJ）.

設笈到平面O的距離為力】，〃到平面G環(huán)的距離為/力，則力+力尸笈&

由題意得，TC[B]EDF=I'D—C]EF=馬?S4Q印?（加十九）

考點三球與空間幾何體的接、切問題

【例3】（1）（?福建卷）已知某一多面體內接于球構成一個簡單組合體，如果該組合體的正

視圖、側視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積

是______________

（2）（?遼寧卷）已知直三棱柱4?。一/出G的6個頂點都在球。的球面上，若48=3,AC=\,

ABLAC,力4=12,則球〃的半徑為

B.2y/10

C竽D.3-^76

審題路線（1）正方體內接于球=正方體的體對角線長等于球的直徑=求得球的半徑=代入

球的表面積公式（注意只算球的表面積）.

⑵比為過底面4比’的截面圓的直徑=取比'中點〃，則球心在a'的垂直平分線上，再由對

稱性求解.

解析（1）由三視圖知，梭長為2的正方體內接于球，故正方體的體對角線長為2小，即為

球的直徑.

所以球的表面積為S=4n?圖）=]2口.

（2）因為在直三棱柱中[6=3,AC=4,力4=12,ABLAC,所以公5,且比為過底面力8C

的截面圓的直徑，取比'中點D,則勿J_底面則。在側面BCC8內,矩形6s5的對

.______12

角線長即為球的直徑，所以2r=N12-'+5'=13,即「=?.

答案（l）12n（2）C

學生用書第110頁

規(guī)律方法解決球與其他幾何體的切、接問題，關鍵在于仔細觀察、分析，弄清相關元素的

關系和數(shù)最關系，選準最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種

元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關系），達到空間問題平面化的目的.

【訓練3】(?新課標全國I卷)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8

cm,將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如

果不計容器的厚度，則球的體積為

500n

A.~--cm

2048Ji

I).-------------cm

解析作出該球的軸截面，如圖所示，依題意BE=2cir,AE=CE=\cm,設DE=x,故AD

=24-x,因為+於，解得x=3(cm),故該球的半徑AD=5cm,所以J/=^nt='°：」

oJ

答案A

考點四幾何體的展開與折售問題

【例4】⑴如圖所示，在邊長為4的正方形紙片力伙為中，然與做相交于，剪去△/!如,

將剩余部分沿3,勿折疊，使。1，OB重合,則以4B,C,〃，。為頂點的四面體的體積為

(2)如圖所示，在直三棱柱力比一力心G中，△/1比為直角三角形，N[3=90°,1C=4,BC

=笫=3.〃是〃。上一動點，則CP+/H的最小值為(其中表示只4兩點沿棱

柱的表面距離).

解析(1)折疊后的四面體如圖所示.

OA,0C,5兩兩相互垂直，且OA=0C=00=2*\/2?體積K=~5A(O?O/1=~X~X(2*\^2)3="

J3乙J

(2)由題總知，把面669。沿做展開與面/勿山。在一個平面上，如圖所示，連接4。即可.

則4、P、C三點共線時，"十處|最小,

???/力⑦=90°,月C=4,BC=GC=3,

.\/1I^I=^=^/42+32=5,???4G=5+3=8,

???4。=亞百=/.故CP+PA,的最小值為班.

⑵/

規(guī)律方法(1)有關折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間

圖形)各元素間的位置和數(shù)量關系，哪些變，哪些不變.

(2)研究兒何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當?shù)哪妇€或棱展開，轉化為平面上兩

點間的最短距離問題.

【訓練4】如圖為一幾何體的展開圖，其中/以力是邊長為6的正方形，SD-PD-GCR-

SC,AQ=AP,點S,D,月，0共線，點、P,D,C,〃共線，沿圖中虛線將它們折置起來，使巴

0,R,S四點重合，則需要個這樣的幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體.

Q

解析由題意知，將該展開圖沿虛線折疊起來以后，得到一個四棱錐〃一/仍⑦（如圖所示），

其中"L平面因此該四棱錐的體積P=；X6X6X6=72,而棱長為6的正方體的體

V

積『=6X6X6=216,故需要等=3個這樣的幾何體，才能拼成一個棱長為6的正方體.

答案3

I課堂小結I

1.對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結合它們

的結構特點與平面幾何知識來解決.

2.求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三楂錐的三條側棱兩兩

垂直，我們就選擇其中的一個側面作為底面，另一條側棱作為高來求體積.

3.與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點

和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切

點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均

在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

培養(yǎng)?解題能力

方法優(yōu)化5一一特殊點在求解幾何體的體積中的應用

【典例】（?山東卷）如圖，正方體/山⑺一力歸G〃的棱長為1,E,廠分別為線段4八BxC

上的點，則三棱錐〃一板的體積為

［一般解法］三棱錐〃一的體積即為三棱錐少一〃4少的體積.因為分別為力人4。

1

上的點，所以在正方體力比7＞一力心6〃中△拉族的面積為定值萬，〃到平面力44〃的距離為定

T7j_[I

值1,所以'P-JJU￡=3X2X1=6.

1

［優(yōu)美解法］￡點移到1點，尸點移到。點，則TD］-EDF=D^—\DC=3X2

X1X1X1=g.

［答案］1

［反思感悟］(1)一般解法利用了轉化思想，把三棱錐

〃一以田的體積轉化為三棱錐少一〃〃少的體積，但這種解法還是難度稍大，不如采用特殊點

的解法易理解、也簡單易求.

(2)在求幾何體體積時還經(jīng)常用到等積法、害ij補法.

【自主體驗】

如圖，在三棱柱力4c一力歸G中，側棱44與側面灰的距離為2,側面灰的面積為4,

此三楂柱ABC—ABG的體枳為

解析補形法將三棱柱補成四棱柱，如圖所示.

記4到平面BCCB的距離為d,則d=2.

11Q

則四邊形8“巧=，X4X2=4.

Dy

G

答案4

課時?題組訓練階梯訓練練出高分

對應學生用書P309

基礎鞏固題組

（建議用時：40分鐘）

一、選擇題

1.（?廣東卷）某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）.

便視圖

俯視圖

A.4B."C."D.6

oJ

解析由四棱臺的三視圖可知該四棱臺的上底面是邊長為1的正方形；下底面是邊長為2

的正方形，高為2.由棱臺的體積公式可知該四棱臺的體積r=-（l2+V^>^+22）X2=，

JTJ

故選B.

答案B

2.（?湖南卷）已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正

視圖的面積不可能等于（）.

A.1B.mC.嚀1D.畢

解析由俯視圖的面積為1可知,該正方體的放置如圖所示,當正視圖的方向與正方體的側

面垂直時，正視圖的面積最小，其值為1,當正視圖的方向與正方體的對角面〃〃或

垂宜時，正視圖的面積最大，其值為出,由于正視圖的方向不同，因此正視圖的面積S￡[l,

p.故選C.

答案C

3.（?許昌模擬）如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，俯

視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為1）.

正視圖側視圖

俯視圖

3

A.4JTB.-JiC.3nD.2n

乙

解析由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱，S衣=2X五x（g）+JIX1X1=^

答案B

4.

如圖，在多面體力比被中，已知是邊長為1的正方形，且△/1%；均為正三角

形，/:尸〃4〃，/:尸=2,則該多面體的體積為（）.

A.平B.乎C.|D.|

JJJ4

解析如圖，分別過點4/，作融的垂線，垂足分別為G,//,連接%，CH,容易求得用=

AG=GD=BH=和=乎，/.加.=義嘩XI=平，:.V=匕-候?+/-做+加）■畋

乙乙乙乙士

=2必所眥=五義"^~乂wX.2義1=^^~.故選A.

j4/qj

答案A

5.（?新課標全國卷）平面a截球。的球面所得圓的半徑為】，球心。到平面a的距離為小,

則此球的體積為（）.

A.乖RB.4^/3JTC.4季nD.673n

解析

如圖，設截面圓的圓心為0',1V為截面圓上任一點，貝IJ0（/=&O'M=l,；.0洶=

y/y[22+1=A/3,即球的半徑為小，???1/=[兀（譙尸=4鋪八.

答案B

二、填空題

6.（?遼寧卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________.

l-kt*-2-+.k<

解析由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內部挖去一個三四棱柱，圓柱底面圓半徑為2,高

為4,故體積為16n；正四棱柱底面邊長為2,高為4,故體積為16,所以兒何體的體積為

16”—16.

答案16n-16

7.（?陜西卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為

解析該幾何體為一個半到錐，故其體枳為JiK12x22=q".

J乙J

答案

TJ

8.（?江蘇卷）如圖，在三棱柱/出G—月及?中，D,E,k分別是防，AC,力4的中點，設三

楂錐尸-4應的體積為匕三棱柱48￡一力緲的體積為心則匕：V2=.

解析設三棱柱45G—肪。的高為力，底面三角形4%的面積為S,則％=Jx；S?力

=』％,即匕：叢=1：24.

答案1：24

三、解答題

9.如圖，」知某幾何體的三視圖如下（單位：cm）：

俯視圖

（1）畫出這個幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）；

（2）求這個幾何體的表面積及體積.

解

（1）這個幾何體的直觀圖如圖所示.

（2）這個幾何體可看成是正方體力G及直三棱柱840—4〃/的組合體.

由剛=9=鏡cm,A^=AD=2cm,可得處.故所求幾何體的表面積

5=5X22+2X2X^2+2X1X（隹了=22+4啦（end,

體積K=23+1X(^2)2X2=10(cm3).

10.有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內放一個半徑為T的鐵球,

并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度.

解如圖所示，作出軸械面，因軸橫面是正三角形，根據(jù)切線性質知當球在容器內時，水的

深度為3八水面半徑皮的長為十八則容器內水的體積為

p=〃球=；丸（水■?、）"?3?一

將球取出后，設容器中水的深度為力，

則水面圓的半徑為半瓦從而容器內水的體積為

O

V="”力="714，由v=v，,得力=即%，:

能力提升題組

（建議用時:25分鐘）

一、選擇題

1.已知球的直徑SC=4,A,8是該球球面上的兩點，/伊=小，4ASC=/BSC=30：則棱

錐S—49。的體枳為（）.

A.B.2鎘C./D.1

解析由題意知，如圖所示，在棱錐5一力仇?中，△必￡△$%都是有一個角為30°的直角

三角形，其中/仍=/，SC=4,所以SA=SB=2小,AC=BC=2,作8〃_LSC于〃點，連接

AD,易證SC_L平面月6Z4因此Vs-.inc-(^3)JX4-^3.

答案C

2.(?臨沂一模)具有如圖所示的正視圖和俯視圖的幾何體中，體積最大的幾何體的表面積

A.3B.7+3也

7

C.-n[).14

解析由正視圖和俯視圖可知，該幾何體可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放

置的圓柱.由圖可知四棱柱的體積最大.四棱柱的高為1,底面邊長分別為1,3,所以表面

積為2(1X3+1X1+3X1)=14.

答案D

二、填空題

3.如圖，已知正三棱柱"。一48￡的底面邊長為2cm、高為5cm,則一質點自點力出發(fā),

沿著三楂柱的側面繞行兩周到達點4的最短路線的長為________(cm).

解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所

示的實線部分，則可知所求最短路線的長為卡不訪=13(cm).

答案13

三、解答題

4.如圖1,在直角梯形四⑦中，N4T=90°,CD//AB,48=4,AD=CD=2,將沿

折起，使平面4T_L平面力比；得到幾何體〃一如圖2所示.

圖2

（1）求證：8aL平面力切:

（2）求兒何體/?-/1/'的體積.

⑴證明在圖中，可得〃'二優(yōu)三2小,

從而AC+Bd=AE,

故ACLBC,

又平面力〃C_L平面ABC,

平面ADCC\平面ABC=AC,

BCu平面ABC,

，夕UL平面ACI）.

⑵解由（1）可知，%為三楂錐6一.4。的高，BC=2^i,以心=2,二％,心=<&心?%=J

JJ

X2X2^=羋，由等體積性可知，兒何體6月%的體積為羋.

JJ

學生用書第111頁

第3講空間點、直線、平面之間的位置關系

［最新考綱］

1.理解空間直線、平面位置關系的定義.

2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.

3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題.

診斷?基礎知識由淺入深夯基固本

知識梳理

1.平面的基本性質

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.

(2)公理2：過不在?條直線上的三點,有且只有一個平面.

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有二±公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直

線.

⑷公理2的三個推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；

推論2：經(jīng)過兩條亞交直線有且只有一個平面；

推論3：經(jīng)過兩條亞直線有且只有一個平面.

2.空間中兩直線的位置關系

(1)空間兩直線的位置關系

「共面直喘I

、異面直線：不同在任何一個平面內

(2)異面直線所成的角

①定義：設a,6是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點。作直線a'Ha,bl//b,把a'與

所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

②范圍：(0,y.

(3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于回二條直線的兩條直線互相平行.

②等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

3.空間直線與平面、平面與平面的位置關系

（1）直線與平面的位置關系有相交、平行、在平面內三種情況.

（2）平面與平面的位置關系有拉、相交兩種情況.

辨析感悟

1.對平面基本性質的認識

（1）兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.（X）

（2）兩個平面a,8有一個公共點力，就說a,B相交于力點，記作（義）