3.1.3空間向量的數量積運算

3.1.3空間向量的數量積運算2021/6/271一、引入1.共線向量定理：2.共線向量定理的推論：(1)若直線l過點A且與向量平行，則(2)三點P、A、B共線的充要條件有：2021/6/2723.共面向量定理：4.P、A、B、C四點共面充要條件：2021/6/273一、兩個向量的夾角兩條相交直線的夾角是指這兩條直線所成的銳角或直角，即取值范圍是(0°,90°],而向量的夾角可以是鈍角,其取值范圍是[0°,180°]2021/6/2742021/6/275BB1AA1一、空間向量數量積的定義

已知空間兩個非零向量,則叫做的數量積，記作,即注意:①兩個向量的數量積是數量，而不是向量.②規(guī)定:零向量與任意向量的數量積等于零.2021/6/276不一定為銳角不一定為鈍角2021/6/277三、空間兩個向量的數量積的性質(1)空間向量的數量積具有和平面向量的數量積完全相同的性質.(2)性質(2)是用來判斷兩個向量是否垂直，性質(5)是用來求兩個向量的夾角．(3)性質(3)是實數與向量之間轉化的依據．2021/6/278空間向量數量積可以解決的立體幾何問題：3）向量的夾角（兩異面直線所成的角）；2）證明垂直問題；1）線段的長（兩點間的距離）；，也就是說2021/6/279四、空間向量數量積的運算律與平面向量一樣，空間向量的數量積滿足如下運算律：

向量數量積的運算適合乘法結合律嗎?即(a?b)c一定等于a(b·c)嗎?注意：數量積不滿足結合律即2021/6/2710已知空間向量a，b滿足|a|=4，|b|=8，a與b的夾角是150°，計算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．2021/6/2711如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點。求下列向量的數量積：練習1ABCDEFG2021/6/2712在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B，D間的距離．練習22021/6/2713練習3解：2021/6/2714已知空間四邊形OABC中，M，N，P，Q分別為BC，AC，OA，OB的中點，若AB=OC，求證：PM⊥QN．證明：練習42021/6/2715練習5如圖，在正三棱柱中，若，則與所成的角的大小為（）

A.B.C.D.2021/6/27162021/6/27172021/6/2718證明：如圖,已知:求證：在直線l上取向量,只要證為逆命題成立嗎?2021/6/2719分析:同樣可用向量,證明思路幾乎一樣,只不過其中的加法運算用減法運算來分析.2021/6/2720分析：要證明一條直線與一個平面垂直,由直線與平面垂直的定義可知,就是要證明這條直線與平面內的任意一條直線都垂直.例2:(試用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理)

已知直線m,n是平面內的兩條相交直線,如果⊥m,⊥n,求證:⊥.mng

取已知平面內的任一條直線g,拿相關直線的方向向量來分析,看條件可以轉化為向量的什么條件?要證的目標可以轉化為向量的什么目標?怎樣建立向量的條件與向量的目標的聯系?

共面向量定理.2021/6/2721mng解:在內作不與m,n重合的任一直線g,在上取非零向量因m與n相交,故向量m,n不平行,由共面向量定理,存在唯一實數,使例2:已知直線m,n是平面內的兩條相交直線,如果⊥m,⊥n,求證:⊥.2021/6/2722

小結：通過學習,體會到我們可以利用向