【數(shù)學(xué)】一元一次方程的應(yīng)用第3課時(shí)（同步課件） 2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（北師大版2024）

5.3一元一次方程的應(yīng)用北師大版（2024）

七年級(jí)

上冊(cè)

第5章

一元一次方程第3課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能分析行程問(wèn)題中已知量與未知量之間的等量關(guān)系，利用路程、時(shí)間與速度三個(gè)量之間的關(guān)系列出一元一次方程解決問(wèn)題;(重點(diǎn))2.會(huì)用“線(xiàn)段圖”分析復(fù)雜問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，從而建立方程解決實(shí)際問(wèn)題；(難點(diǎn))3.掌握一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，并能驗(yàn)證解的合理性；4.培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步體會(huì)方程模型的作用.新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧1.審——通過(guò)審題找出等量關(guān)系（關(guān)鍵）.6.答——注意單位名稱(chēng).5.檢——檢驗(yàn)求出的值是否為方程的解，并檢驗(yàn)是否符合實(shí)際問(wèn)題.4.解——求出方程的解(對(duì)間接設(shè)的未知數(shù)切記繼續(xù)求解).3.列——依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程.2.設(shè)——設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱(chēng).列一元一次方程解應(yīng)用題的主要步驟：新課導(dǎo)入情境引入

小明每天早上要到距家1000m的學(xué)校上學(xué).一天,小明以80m/min的速度出發(fā)，出發(fā)后

5min,小明的爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘了帶語(yǔ)文書(shū).于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一條路去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多長(zhǎng)時(shí)間？追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？

你能用一元一次方程解決這個(gè)問(wèn)題嗎？新課講授

探究一：應(yīng)用一元一次方程解決追及問(wèn)題思考：(1)上述問(wèn)題中有哪些已知量和未知量？解：（1）已知量:小明家到學(xué)校1000m、小明的速度80m/min、

小明已出發(fā)5min、小明爸爸的速度180m/min；

未知量:小明爸爸追上小明用的時(shí)間、

小明爸爸追上小明時(shí)距離學(xué)校多遠(yuǎn).(2)想象一下追及的過(guò)程，你能用一個(gè)圖直觀(guān)表示問(wèn)題中各個(gè)量之間的關(guān)系嗎？新課講授設(shè)爸爸追上小明用了

x分鐘,當(dāng)爸爸追上小明時(shí),所行路程相等,如下圖所示.學(xué)校小明家180x爸爸追上小明的位置.80x小明5min走的路程:80×5.小明在爸爸追時(shí)走的路程:80x.爸爸追趕小明時(shí)走的路程:180x.80×5新課講授根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：

.

解這個(gè)方程，得x=

.因此，爸爸追上小明用了

min,此時(shí)距離學(xué)校還有

m.44180x=5×80+80x280(3)你是怎樣列出方程的，與同伴進(jìn)行交流.1000－180×4＝280(m)

畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法.根據(jù)相等量的兩種不同表達(dá)式就可以建立等量關(guān)系，列出方程了.新課講授追及問(wèn)題：知識(shí)歸納甲、乙兩人同向出發(fā)，甲追乙這類(lèi)問(wèn)題為追及問(wèn)題：對(duì)于行程問(wèn)題，通常借助“線(xiàn)段圖”來(lái)分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系．(1)對(duì)于同向同時(shí)不同地的問(wèn)題，如圖所示，甲的行程－乙的行程＝兩出發(fā)地的距離；注意：同向而行注意始發(fā)時(shí)間和地點(diǎn)．(2)對(duì)于同向同地不同時(shí)的問(wèn)題，如圖所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．新課講授1.《九章算術(shù)》中有一道題，原文：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？”意思：同樣時(shí)間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？(

)A．300步

B．250步

C．200步

D．150步B新課講授

探究二：應(yīng)用一元一次方程解決相遇問(wèn)題線(xiàn)段圖：甲乙甲、乙兩站間的路程為450千米，一列慢車(chē)從甲站開(kāi)出，每小時(shí)行駛65千米，一列快車(chē)從乙站開(kāi)出，每小時(shí)行駛85千米.（1）兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，相向而行，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)相遇？解：（1）設(shè)兩車(chē)行駛了xh相遇，根據(jù)題意得65x+85x=450，

解，得

x=3.

答：兩車(chē)經(jīng)過(guò)3h相遇.分析：等量關(guān)系：慢車(chē)路程＋快車(chē)路程=甲乙之間的距離.相遇慢車(chē)行駛的路程65x甲乙兩地之間的距離450km快車(chē)行駛的路程85x新課講授甲乙線(xiàn)段圖：（2）快車(chē)先開(kāi)30min，兩車(chē)相向而行，慢車(chē)行駛了多少小時(shí)兩車(chē)相遇？相遇快車(chē)先開(kāi)30min行駛的路程85×0.5慢車(chē)行駛的路程65y甲乙兩地之間的距離450km快車(chē)在慢車(chē)走時(shí)行駛的路程85y

新課講授

關(guān)于兩人從兩地出發(fā)相向而行的行程問(wèn)題稱(chēng)為相遇問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題往往根據(jù)路程之和等于總路程列方程．

如圖所示，甲的行程＋乙的行程＝兩地相距的路程．相遇問(wèn)題：知識(shí)歸納新課講授2.A,B兩站間的距離為335km，一列慢車(chē)從A站開(kāi)往B站，每小時(shí)行駛55km，慢車(chē)行駛1小時(shí)后，另有一列快車(chē)從B站開(kāi)往A站，每小時(shí)行駛85km.設(shè)快車(chē)行駛了x小時(shí)后與慢車(chē)相遇，則可列方程為()A.55x＋85x＝335 B.55(x－1)＋85x＝335C.55x＋85(x－1)＝335 D.55(x＋1)＋85x＝335D新課講授

探究三：環(huán)形跑道中的追及和相遇問(wèn)題

例：小明和小華兩人在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)長(zhǎng)跑，小明每分鐘跑260米，小華每分鐘跑300米，兩人起跑時(shí)站在跑道同一位置.（1）如果小明起跑后1min小華才開(kāi)始同向跑，那么小華用多長(zhǎng)時(shí)間能追上小明？（2）如果小明起跑后1min小華開(kāi)始反向跑，那么小華起跑后多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇？分析:本題涉及哪些量?你能畫(huà)圖說(shuō)明小明和小華跑步的情形嗎?在問(wèn)題(1)和(2)中，兩人所走的路程分別有什么關(guān)系?新課講授解：（1）設(shè)小華用

xmin追上小明.根據(jù)題意，得260（x＋1）＝300x

解，得

x＝6.5.所以小華用6.5min追上小明.（2）設(shè)小華起跑后

xmin兩人首次相遇.根據(jù)題意，得

260（

x

＋1）＋300

x

＝400，

解，得

x

＝0.25.所以小華起跑后0.25min兩人首次相遇.新課講授環(huán)形跑道長(zhǎng)s米，設(shè)v甲＞v乙，經(jīng)過(guò)t秒甲、乙第一次相遇.一般有如下兩種情形：①同時(shí)同地、同向而行：v甲t-v乙t=s.②同時(shí)同地、背向而行：v甲t+v乙t=s.追及問(wèn)題相遇問(wèn)題環(huán)形跑道問(wèn)題：知識(shí)歸納新課講授3.在800米的環(huán)形跑道上有兩人在練習(xí)中長(zhǎng)跑，甲每分鐘跑320米，乙每分鐘跑280米，若兩人同時(shí)同地同向起跑，t

分鐘后第一次相遇，則

t

的值為

.20等量關(guān)系：甲路程－乙路程＝800.320t－280t＝800新課講授知識(shí)歸納用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：實(shí)際問(wèn)題抽象尋找等量關(guān)系數(shù)學(xué)問(wèn)題（一元一次方程）解方程數(shù)學(xué)問(wèn)題的解（一元一次方程的解）驗(yàn)證實(shí)際問(wèn)題的解解釋典例分析例1：小明家離學(xué)校2.9千米．一天，小明放學(xué)走了5分鐘之后，他爸爸開(kāi)始從家出發(fā)騎自行車(chē)去接小明，已知小明每分鐘走60米，爸爸騎自行車(chē)每分鐘騎200米，則小明爸爸從家出發(fā)幾分鐘后接到小明？解析：設(shè)小明爸爸出發(fā)x分鐘后接到小明．可以畫(huà)出線(xiàn)段圖如右圖所示.解：設(shè)小明爸爸從家出發(fā)x分鐘后接到小明，由題意，得200x＋60(x＋5)＝2900.解這個(gè)方程，得x＝10.因此，小明爸爸從家出發(fā)10分鐘后接到小明．典例分析例2:小明的爺爺每天都步行到距離家3.2千米的公園去打太極拳.周日早晨，爺爺出發(fā)半小時(shí)后，小明發(fā)現(xiàn)爺爺忘記帶家門(mén)鑰匙了，小明就騎自行車(chē)去給爺爺送鑰匙．如果爺爺?shù)乃俣仁?千米/時(shí)，小明騎自行車(chē)的速度是12千米/時(shí)，當(dāng)小明追上爺爺時(shí)，爺爺?shù)焦珗@了嗎？解：設(shè)小明用x小時(shí)追上爺爺.因?yàn)?千米＜3.2千米．所以小明追上爺爺時(shí)，爺爺沒(méi)有到公園．學(xué)以致用2.小明騎自行車(chē)到學(xué)校上學(xué)，若每小時(shí)騎15千米，可早到10分鐘，若每小時(shí)騎13千米，則遲到5分鐘，設(shè)他家到學(xué)校的路程為x千米，下列方程正確的是()1.小明和小剛從相距25.2千米的兩地同時(shí)相向而行，小明每小時(shí)走4千米，3小時(shí)后兩人相遇，設(shè)小剛的速度為x千米/時(shí)，列方程得()A．4＋3x＝25.2

B．3×4＋x＝25.2C．3(4＋x)＝25.2D．3(x－4)＝25.2CA學(xué)以致用3.甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，已知環(huán)形跑道一圈長(zhǎng)400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米處同時(shí)同向出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)幾秒兩人首次相遇()A．208秒 B．204秒C．200秒 D．196秒D4.某輪船往返于A，B兩港之間，逆水航行需3小時(shí)，順?biāo)叫行?小時(shí)，水速是3千米/時(shí)，則輪船在靜水中的速度是()A．18千米/時(shí)

B．15千米/時(shí) C．12千米/時(shí)

D．20千米/時(shí)B學(xué)以致用5.甲、乙兩人賽跑，甲的速度是8米/秒，乙的速度是5米/秒，如果甲從起點(diǎn)處往后退20米，乙從起點(diǎn)處向前進(jìn)10米，若甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)，則甲經(jīng)過(guò)幾秒鐘追上乙？解：設(shè)甲經(jīng)過(guò)x秒追上乙．由題意，得8x－5x＝20＋10.解這個(gè)方程，得x＝10.因此，甲經(jīng)過(guò)10秒追上乙．學(xué)以致用6.A，B兩地相距30千米．甲、乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．已知甲比乙每小時(shí)多走1千米，經(jīng)過(guò)2.5小時(shí)兩人相遇，求甲、乙兩人的速度．解：設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為(x＋1)千米/時(shí)．根據(jù)題意，得2.5x＋2.5(x＋1)＝30.解這個(gè)方程，得x＝5.5.則x＋1＝6.5.因此，甲、乙兩人的速度分別為6.5千米/時(shí)、5.5千米/時(shí)．學(xué)以致用7.一架飛機(jī)在兩個(gè)城市之間飛行，當(dāng)順風(fēng)飛行時(shí)需2.9h，當(dāng)逆風(fēng)飛行時(shí)則需3.1h．已知風(fēng)速為20km/h，求無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和這兩個(gè)城市之間的距離．解：設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)飛