2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第7講　探究性問題原卷版

第7講探究性問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】探究性問題 2【專題精練】 6真真題自測(cè)一、解答題1．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．(1)求橢圓方程．(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說明理由．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng);(2)設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】探究性問題一、單選題1．（2024·湖南益陽·一模）已知拋物線，的焦點(diǎn)分別為、，若、分別為、上的點(diǎn)，且線段平行于軸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，是直角三角形 B．當(dāng)時(shí)，是等腰三角形C．存在四邊形是菱形 D．存在四邊形是矩形2．（2024·陜西榆林·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.若，點(diǎn)為雙紐線上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①關(guān)于軸不對(duì)稱②關(guān)于軸對(duì)稱③直線與只有一個(gè)交點(diǎn)④上存在點(diǎn)，使得A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2024·福建泉州·二模）雙曲線，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知?jiǎng)又本€l與雙曲線C左、右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，與其兩條漸近線分別交于R，S兩點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．存在直線l，使得B．當(dāng)且僅當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，C．存在過的直線l，使得取到最大值D．若直線l的方程為，則雙曲線C的離心率為二、多選題4．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，分別為雙曲線C的左，右焦點(diǎn)．下列命題中正確的是（

）A．若R為雙曲線C上一點(diǎn)，且，則B．到雙曲線C的漸近線的距離為C．若P為雙曲線C上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則直線的斜率之積為2D．雙曲線C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱5．（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的兩條光線經(jīng)過的右支上的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，其中共線，則（

）A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為B．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，光線由經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為6C．當(dāng)時(shí)，的面積為12D．當(dāng)時(shí)，6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)和點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)），則（

）A．若為的中線，則B．若為的角平分線，則C．存在直線，使得D．對(duì)于任意直線，都有三、填空題7．（2024·北京順義·三模）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，曲線：.①曲線經(jīng)過原點(diǎn)且關(guān)于對(duì)稱；②當(dāng)直線l與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為；③當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值共有4個(gè)④存在定點(diǎn)Q，使得過Q的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)都不可能為2以上說法正確的是8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：上存在兩點(diǎn)，，，直線與軸交于點(diǎn)，拋物線：上存在兩點(diǎn)，，，從點(diǎn)向直線作垂線，則垂足的軌跡方程為．9．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的右焦點(diǎn)是F，過F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn).點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線AB上存在異于F的點(diǎn)P，使得，則的取值范圍是.四、解答題10．（24-25高三上·上海寶山·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn)F?到雙曲線.漸近線的距離為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).①若直線過橢圓右焦點(diǎn)F?，且△AF?B的面積為求實(shí)數(shù)k的值；②若直線過定點(diǎn)P(0,2)，且k>0，在x軸上是否存在點(diǎn)T(t,0)使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在，則求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.11．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線過點(diǎn)，離心率為2.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：當(dāng)直線，的斜率均存在時(shí)，，的斜率之積為定值.12．（2024·全國(guó)·二模）橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線AP與直線的交點(diǎn)為，是否存在定實(shí)數(shù)，使Q，B，N三點(diǎn)共線?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.規(guī)律方法：探索性問題的求解策略(1)若給出問題的一些特殊關(guān)系，要探索一般規(guī)律，并能證明所得規(guī)律的正確性，通常要對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括一般規(guī)律．(2)若只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述問題時(shí)，一般先對(duì)結(jié)論給出肯定的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，從而得出結(jié)論．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·北京豐臺(tái)·二模）已知曲線與直線，那么下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，曲線與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，存在，曲線與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，曲線與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，存在，曲線與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)2．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線：對(duì)稱，若，則（

）A．5 B． C．4 D．3．（2024·陜西商洛·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為．若第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點(diǎn)，使得的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則直線與外接圓的關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交且過圓心 D．相交但不過圓心二、多選題5．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓方程為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）．A． B．存在m值使橢圓的離心率C．橢圓的焦距不確定 D．橢圓的焦點(diǎn)在y軸6．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)分別為的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為的左?右頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于另一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為B．的最小值為C．上存在一點(diǎn)，使D．面積的最大值為27．（2024·安徽阜陽·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為兩點(diǎn)都在上，，三點(diǎn)共線，（不與重合）為上頂點(diǎn)，則（

）A．的最小值為4 B．為定值C．存在點(diǎn)，使得 D．8．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過且交于不同的兩點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)為在上的射影．線段交軸于點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．對(duì)于任意直線，均有B．不存在直線，滿足C．對(duì)于任意直線，直線與拋物線相切D．存在直線，使三、填空題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在拋物線上存在一動(dòng)點(diǎn)（非原點(diǎn)），過點(diǎn)作拋物線的切線分別交軸、軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線分別交軸、軸于點(diǎn)．若與的面積相等，則直線的方程為．10．（22-23高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知拋物線上存在兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），使得，直線AB與x軸交于M點(diǎn)，將直線AB繞著M點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該拋物線交于C，D兩點(diǎn)，則四邊形ACBD面積的最小值為．11．（2023·上海閔行·二模）不與軸重合的直線經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為.12．（2023·安徽安慶·二模）已知在平面直角坐標(biāo)系中橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上不同于四個(gè)頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)線段到，若在軸上存在一點(diǎn)，滿足，垂足為，則.四、解答題13．（23-24高三上·上?！るA段練習(xí)）已知A0,3和是橢圓Γ：上兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓Γ的離心率；(2)若過點(diǎn)P的直線交Γ于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求直線的方程：(3)過中點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓Γ有兩個(gè)交點(diǎn)M，N，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)使得.若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由.14．（2022·廣東茂名·一模）已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為Fc,0，下頂點(diǎn)為B，直線BF與橢圓C交于另一點(diǎn)D，且．(1)求橢圓C的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為A，過點(diǎn)A的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP與交于點(diǎn)H．直線OQ與交于點(diǎn)G，設(shè)的面積為，的面積為，試探究是否存在最小值．若存在，求出此時(shí)直線PQ的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2024·山西呂梁·三模）如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，Px0,y0橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若到左焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過動(dòng)點(diǎn)Px0,y0作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點(diǎn)，記四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得