2025年高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第1講　空間幾何體原卷版

第1講空間幾何體（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點一】空間幾何體的折展問題 3【考點二】表面積與體積 4【考點三】多面體與球 7【專題精練】 8考情分析：空間幾何體的結構特征是立體幾何的基礎，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點與熱點，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·天津·高考真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．8．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．考點突破考點突破【考點一】空間幾何體的折展問題核心梳理：空間幾何體的側面展開圖(1)圓柱的側面展開圖是矩形．(2)圓錐的側面展開圖是扇形．(3)圓臺的側面展開圖是扇環(huán)．一、單選題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·三模）如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側面沿母線展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖象的一部分，且其對應的橢圓曲線的離心率為，則的值為（

）

A． B．1 C． D．2二、多選題3．（2024·云南昆明·一模）在矩形中，，，以對角線BD為折痕將△ABD進行翻折，折后為，連接得到三棱錐，在翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．三棱錐體積的最大值為 B．點都在同一球面上C．點在某一位置，可使 D．當時，4．（22-23高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，在四棱錐的平面展開圖中，四邊形ABCD為直角梯形，，，.在四棱錐中，則（

）A．平面PAD⊥平面PBDB．AD平面PBCC．三棱錐P-ABC的外接球表面積為D．平面PAD與平面PBC所成的二面角的正弦值為三、填空題5．（2023·陜西西安·一模）將平面內等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點在同一球的球面上，則球的表面積為.6．（20-21高三上·廣東·階段練習）一個圓錐的表面積為，其側面展開圖為半圓，當此圓錐的內接圓柱（圓柱的下底面與圓錐的底面在同一個平面內）的側面積達到最大值時，該內接圓柱的底面半徑為.規(guī)律方法：空間幾何體最短距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉化成求平面中兩點間的最短距離問題，注意展開后對應的頂點和邊．【考點二】表面積與體積核心梳理：1．旋轉體的側面積和表面積(1)S圓柱側＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(2)S圓錐側＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)．(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．(3)V臺＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分別為上、下底面面積，h為高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．一、單選題1．（2024·云南大理·模擬預測）如圖，攬月閣位于西安市雁塔南路最高點，承接大明宮、大雁塔，是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點和標志性建筑，可近似視為一個正四棱臺，現(xiàn)有一個攬月閣模型塔底寬，塔頂寬約，側面面積為，據(jù)此計算該攬月閣模型體積為（

）A．1400 B．2800 C． D．84002．（2024·廣東·模擬預測）現(xiàn)有一個正四棱臺形水庫，該水庫的下底面邊長為2km，上底面邊長為4km，側棱長為，則該水庫的最大蓄水量為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（24-25高三上·廣西·階段練習）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點均有個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（

）A．在四面體中，點的曲率為B．在四面體中，點的曲率大于C．四面體外接球的表面積為D．四面體內切球半徑的倒數(shù)為4．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖所示，四面體的底面是以為斜邊的直角三角形，體積為，平面，，為線段上一動點，為中點，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積和三棱錐的體積相等B．當時，C．當時，D．四面體的外接球球心為，且外接球體積與之比的最小值是三、填空題5．（2024·安徽池州·模擬預測）如圖所示的“升”是我國古代測量糧食的一種容器，從形狀上可抽象成一個正四棱臺．現(xiàn)有一個上、下底面邊長分別為和的“升”，側棱長為，要做成一個該“升”的幾何體，其側面所需板材的最小面積為．6．（2024·北京·三模）我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異．”“勢”即是幾何體的高，“冪”是截面積，意思是：如果兩等高的幾何體在同高處的截面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知雙曲線的焦點在軸上，離心率為，且過點，則雙曲線的漸近線方程為．若直線與在第一象限內與雙曲線及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉一周所得幾何體的體積為．規(guī)律方法：空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對于規(guī)則的幾何體直接利用公式進行求解．(2)割補法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體．(3)等體積法：選擇合適的底面來求體積．【考點三】多面體與球核心梳理：求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；(2)定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點的距離也是半徑，列關系式求解即可．一、單選題1．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）如圖甲，在邊長為2的正方形中，分別是的中點，將分別沿折起，使得三點重合于點，如圖乙，若三棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建·模擬預測）已知正四棱臺下底面邊長為，若內切球的體積為，則其外接球表面積是（

）A．49π B．56π C．65π D．130π二、多選題3．（2024·湖南郴州·模擬預測）在正三棱臺中，，，且等腰梯形所在的側面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結論正確的有（

）A．正三棱臺的高為B．正三棱臺的體積為C．與平面所成角的正切值為1D．正三棱臺外接球的表面積為4．（2024·廣東廣州·模擬預測）在圓錐中，母線，底面圓的半徑為r，圓錐的側面積為，則（

）A．當時，圓錐內接圓柱體的體積最大值為B．當時，過頂點S和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當時，圓錐能在棱長為4的正四面體內任意轉動D．當時，棱長為1的正四面體能在圓錐內任意轉動三、填空題5．（2024·湖南邵陽·三模）在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點在棱上，且，過點作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．6．（2025·廣東·模擬預測）已知球O是某圓錐內可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則該圓錐的體積與球O的體積之比為．規(guī)律方法：(1)求錐體的外接球問題的一般方法是補形法，把錐體補成正方體、長方體等求解．(2)求錐體的內切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預測）圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為4．已知P為該圓臺某條母線的中點，若一質點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側面運動一圈后又回到點P，則該質點運動的最短路徑長為（

）A． B．6 C． D．2．（2024·四川宜賓·三模）在直三棱柱中，，，點P在四邊形內（含邊界）運動，當時，點P的軌跡長度為，則該三棱柱的表面積為（

）A．4 B． C． D．3．（2024·江蘇徐州·模擬預測）圓柱與圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐內切球半徑為（

）A． B．C． D．4．（2025·黑龍江大慶·一模）已知圓臺的上?下底面半徑分別為1和3，母線長為，則圓臺的體積為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·天津·期中）冰嘎別名冰尜，是東北民間少年兒童游藝品，俗稱“陀螺”.通常以木鏇之，大小不一，一般徑寸余，上端為圓柱形，下端為錐形.如圖所示的是一個陀螺立體結構圖.已知分別是上、下底面圓的圓心，，底面圓的半徑為，則該陀螺的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·山東泰安·模擬預測）魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結構.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的兩個相對三角形面間的距離為（

）

A． B．C． D．7．（2024·貴州遵義·模擬預測）在矩形中，，，為的中點，將和分別沿，折起，使點與點重合，記為點，若三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）半徑為4的實心球與半徑為2的實心球體積之差的絕對值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·山東·模擬預測）如圖，有一個棱臺形的容器（上底面無蓋），其四條側棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計，則下列說法正確的是（

）A．B．該四棱臺的側面積為C．若將一個半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面D．若一只螞蟻從點出發(fā)沿著容器外壁爬到點，則其爬行的最短路程為10．（21-22高二下·浙江紹興·期末）在正方體中，點滿足，其中，，則（

）A．當時，平面B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，的面積為定值D．當時，直線與所成角的范圍為11．（2024·江蘇南京·二模）在棱長為1的正方體中，、分別為、的中點，點滿足，則下列說法正確的是（

）A．若，則三棱錐外接球的表面積為B．若，則異面直線與所成角的余弦值為C．若，則面積的最小值為D．若存在實數(shù)使得，則的最小值為三、填空題12．（2025·江蘇南通·一模）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的側面積為．13．（2024·江蘇蘇州·一模）已知直三棱柱外接球的直徑為6，且，，則該棱柱體積的最大值為．14．（2024·江西九江·二模）將兩個觀賞球體封閉在一個正方體容器內，設正方體棱長為1，則兩個球體體積之和的最大值為．四、解答題15．（2024·廣西貴港·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為邊CD的中點，沿AE把折起，使點D到達點P的位置，且．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的表面積16．（2022·陜西榆林·模擬預測）如圖，已知三棱柱中，，平面，，M為邊上的動點．(1)當時，求證：平面；(2)求三棱錐的體積．17．（2024·上?！つM預測）設一個簡單幾何體的表面積為，體積為，定義系數(shù)，已知球體對應的系數(shù)為，定義為一個幾何體的“球形比例系數(shù)”.(1)計算正方