2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第6講　立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題原卷版

第6講立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】動(dòng)點(diǎn)軌跡問題 3【考點(diǎn)二】折疊、展開問題 5【考點(diǎn)三】最值、范圍問題 6【專題精練】 8考情分析：“動(dòng)態(tài)”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎．同時(shí)，由于“動(dòng)態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化．真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2023·全國·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．2．（2022·全國·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．3．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．4．（2021·全國·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】動(dòng)點(diǎn)軌跡問題一、單選題1．（2024·四川成都·二模）在正方體中，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為，則該正方體的表面積為（

）A．6 B．8 C．24 D．542．（2024·湖南長沙·三模）已知正方體的棱長為是棱的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B．3 C． D．二、多選題3．（2024·遼寧大連·二模）在棱長為2的正方體中，M為中點(diǎn)，N為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．點(diǎn)N的軌跡長度為 D．的取值范圍為4．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五邊形中，四邊形為正方形，，，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起到面位置，使得，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面B．若為的中點(diǎn)，則平面C．折起過程中，點(diǎn)的軌跡長度為D．三棱錐的外接球的體積為三、填空題5．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體中，和均是邊長為6的等邊三角形，，則四面體外接球的表面積為；點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在四面體的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持EF⊥AC，則點(diǎn)F的軌跡的長度為.6．（2024·黑龍江·二模）已知三棱錐的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且，，則三棱錐的外接球半徑為；點(diǎn)為三棱錐的外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為．規(guī)律方法：解決與幾何體有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的方法(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定．(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進(jìn)行計(jì)算．(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除．【考點(diǎn)二】折疊、展開問題一、單選題1．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊長為4的正三角形，D是BC的中點(diǎn)，沿AD將折疊，形成三棱錐．當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．2．（2024·四川瀘州·三模）已知圓錐的體積為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·河北保定·二模）如圖1，在等腰梯形中，，，，，，將四邊形沿進(jìn)行折疊，使到達(dá)位置，且平面平面，連接，，如圖2，則（

）

A． B．平面平面C．多面體為三棱臺(tái) D．直線與平面所成的角為4．（2024·福建廈門·三模）如圖1，將三棱錐型禮盒的打結(jié)點(diǎn)解開，其平面展開圖為矩形，如圖2，其中A，B，C，D分別為矩形各邊的中點(diǎn)，則在圖1中（

）A． B．C．平面 D．三棱錐外接球的表面積為三、填空題5．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，，將沿著折疊，使得，，則三棱錐的外接球的表面積為.6．（22-23高三上·廣東·階段練習(xí)）一個(gè)圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖為半圓，當(dāng)此圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面與圓錐的底面在同一個(gè)平面內(nèi)）的側(cè)面積達(dá)到最大值時(shí)，該內(nèi)接圓柱的底面半徑為.規(guī)律方法：畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：不變的線線關(guān)系、不變的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)三】最值、范圍問題一、單選題1．（2024·安徽·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，內(nèi)部有一個(gè)底面垂直于的圓錐，當(dāng)該圓錐底面積最大時(shí)，圓錐體積最大為（

）A． B． C． D．2．（2024·河北滄州·三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體的棱長為，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·湖南懷化·二模）在三棱錐中，平面，點(diǎn)是三角形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與平面所成角的大小為B．三棱錐的體積最大值是2C．點(diǎn)的軌跡長度是D．異面直線與所成角的余弦值范圍是4．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)包含邊界的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿足平面的點(diǎn)的軌跡為線段B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為C．直線與直線所成角的范圍為D．滿足的點(diǎn)的軌跡長度為三、填空題5．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的頂點(diǎn)均在半徑為1的球表面上，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，為球的一條直徑，則正方體的體積是，的范圍是．6．（2024·浙江金華·三模）四棱錐的底面為正方形，平面，且，．四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，，，則直線l與平面所成夾角的范圍為．規(guī)律方法：在動(dòng)態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的解題思路是(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值．(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·四川南充·二模）三棱錐中，，，為內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣西南寧·一模）在邊長為4的菱形中，．將菱形沿對(duì)角線折疊成大小為的二面角．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，為三棱錐表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)軌跡的長度為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊長為4的正三角形，是的中點(diǎn)，沿將折疊，形成三棱錐．當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·山東濟(jì)南·三模）三棱錐中，平面，．若該三棱錐的最長的棱長為9，最短的棱長為3，則該三棱錐的最大體積為（

）A． B． C．18 D．36二、多選題5．（2024·江西九江·三模）如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)在截面內(nèi)，且，則（

）A．三棱錐的體積為 B．線段的長為C．點(diǎn)的軌跡長為 D．的最大值為6．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，分別是，的中點(diǎn)，正方形的邊長為2，則在三棱錐中（

）A．的面積為 B．C．平面平面 D．三棱錐的體積為7．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)為側(cè)棱（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，直線平面，則下列說法正確的有（

）

A．直線與平面不可能平行B．直線與平面不可能垂直C．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為D．直線與平面所成角的正弦值的范圍為三、填空題8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)棱長為4的正方體內(nèi)部有一個(gè)半徑為的小球，該小球可以在正方體內(nèi)部自由活動(dòng)．當(dāng)任意旋轉(zhuǎn)、晃動(dòng)正方體并保證小球至少與正方體的一個(gè)面相切時(shí)，小球球心的軌跡在正方體內(nèi)部又會(huì)形成一個(gè)幾何體，則小球球心軌跡形成的幾何體的體積為．9．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，對(duì)角線，將沿著折疊，使得二面角為，，則三棱錐的外接球的表面積為.

10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，且.記直線，與平面所成角分別為，，已知，當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，則三棱錐外接球的表面積為.四、解答題11．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，ACDE為菱形，，，平面平面ABC，點(diǎn)F在AB上，且，M，N分別在直線CD，AB上．(1)求證：平面ACDE；(2)