2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第8講　恒成立問題與能成立問題解析版

第8講恒成立問題與能成立問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 13【考點一】恒成立問題與能成立問題 13【專題精練】 29真題自測真題自測一、解答題1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求的取值范圍．3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．5．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．6．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)當時，，求的取值范圍．參考答案：1．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.2．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求出后根據(jù)可求的最小值；（2）設(shè)為y=fx圖象上任意一點，可證關(guān)于的對稱點為也在函數(shù)的圖像上，從而可證對稱性；（3）根據(jù)題設(shè)可判斷即，再根據(jù)在上恒成立可求得.【詳解】（1）時，，其中，則，因為，當且僅當時等號成立，故，而f'x≥0成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域為0,2，設(shè)為y=fx圖象上任意一點，關(guān)于的對稱點為，因為在y=fx圖象上，故，而，，所以也在y=fx圖象上，由的任意性可得y=fx圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.（3）因為當且僅當，故為的一個解，所以即，先考慮時，恒成立.此時即為在上恒成立，設(shè)，則在0,1上恒成立，設(shè)，則，當，，故恒成立，故在0,1上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當時，，故恒成立，故在0,1上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當，則當時，故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時.而當時，而時，由上述過程可得在0,1遞增，故的解為0,1，即的解為.綜上，.【點睛】思路點睛：一個函數(shù)不等式成立的充分必要條件就是函數(shù)不等式對應(yīng)的解，而解的端點為函數(shù)對一個方程的根或定義域的端點，另外，根據(jù)函數(shù)不等式的解確定參數(shù)范圍時，可先由恒成立得到參數(shù)的范圍，再根據(jù)得到的參數(shù)的范圍重新考慮不等式的解的情況.3．(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當當,即.當,即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調(diào)遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當,對應(yīng)當.4．(1)在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）代入后，再對求導(dǎo)，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.【詳解】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當時，，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；當時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負情況，得到總存在靠近處的一個區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.5．(1)(2)2(3)證明過程見解析【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）先由題設(shè)條件得到，再證明時條件滿足；（3）先確定的單調(diào)性，再對分類討論.【詳解】（1）由于，故.所以，，所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為，故其方程為.（2）設(shè)，則，從而當時，當時.所以在上遞減，在上遞增，這就說明，即，且等號成立當且僅當.設(shè)，則.當時，的取值范圍是，所以命題等價于對任意，都有.一方面，若對任意，都有，則對有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，則對任意都有，滿足條件.綜合以上兩個方面，知的值是2.（3）先證明一個結(jié)論：對，有.證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即.由，可知當時，當時.所以在上遞減，在上遞增.不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.情況一：當時，有，結(jié)論成立；情況二：當時，有.對任意的，設(shè)，則.由于單調(diào)遞增，且有，且當，時，由可知.所以在上存在零點，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時，時.故在上遞減，在上遞增.①當時，有；②當時，由于，故我們可以取.從而當時，由，可得.再根據(jù)在上遞減，即知對都有；綜合①②可知對任意，都有，即.根據(jù)和的任意性，取，，就得到.所以.情況三：當時，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，.而根據(jù)的單調(diào)性，知或.故一定有成立.綜上，結(jié)論成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于第3小問中，需要結(jié)合的單調(diào)性進行分類討論.6．(1)極小值為，無極大值.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，故，因為在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當時，，當時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.（2），設(shè)，則，當時，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當時，當時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上f'x<0即故在上，不合題意，舍.當，此時在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導(dǎo)數(shù)進一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類.考點突破考點突破【考點一】恒成立問題與能成立問題一、單選題1．（21-22高三上·安徽·開學(xué)考試）若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)沒有極值點，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西西安·三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則方程有3個不等的實數(shù)解B．C．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為-1D．若，則的最大值為5．（2023·山東淄博·一模）已知函數(shù)，則（

）A．當時，在有最小值1B．當時，圖象關(guān)于點中心對稱C．當時，對任意恒成立D．至少有一個零點的充要條件是6．（2023·湖北·二模）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．在上是增函數(shù)B．，不等式恒成立，則正實數(shù)a的最小值為C．若有兩個零點，，則D．若，且，則的最大值為三、填空題7．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為.8．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知函數(shù).若，則a的取值范圍是.9．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恰有3個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題10．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)，，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若且恒成立，求的最小值.11．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)當時，求曲線在點處的切線方程，(2)當時，判斷是否存在極值，并說明理由；(3)，求實數(shù)的取值范圍.12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)．(1)求的極值；(2)對于，都有，試求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：題號123456答案BBBACACABD1．B【分析】將題干不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可求解.【詳解】由題意得，，即，令，因為，，所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，則不等式轉(zhuǎn)化為，所以，則.令，則，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，即，則的最大值為.故選：B2．B【分析】轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和最值，從而得到，故，換元后，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值，求出答案.【詳解】函數(shù)沒有極值點，，或恒成立，由指數(shù)爆炸的增長性，不可能恒小于等于0，恒成立．令，則，當時，恒成立，為上的增函數(shù)，因為是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以，此時，不合題意；②當時，為增函數(shù)，由得，令在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，依題意有，即，，，令，，則，令，令，解得，所以當時，取最大值故當，，即，時，取得最大值綜上，若函數(shù)沒有極值點，則的最大值為故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：將函數(shù)沒有極值點的問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，通過構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，從而得解.3．B【分析】由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合條件可得在上恒成立，由此可得在區(qū)間上恒成立，求函數(shù)的值域可得的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則，所以在上遞增，又，所以.所以的取值范圍是.故選：B4．AC【分析】對于A，只需判斷或的根的個數(shù)和即可，通過求導(dǎo)研究的性態(tài)畫出圖象即可得解；對于B，由單調(diào)遞增，故只需判斷函數(shù)有無零點即可；對于C，首先得在0,+∞上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)換成在0,+∞上恒成立驗算即可；對于D，根據(jù)單調(diào)性得，將問題轉(zhuǎn)換成求的最大值即可.【詳解】對于A，若，則或，而，，所以當時，h'x<0，hx即f'x單調(diào)遞減，當時，h'所以，而，所以方程有3個不等的實數(shù)解，故A正確；對于B，若，由A選項分析可知，即單調(diào)遞增，所以，令，，所以單調(diào)遞增，所以，矛盾，故B選項錯誤；對于C，由B選項分析可知在0,+∞上單調(diào)遞增，而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在0,+∞上單調(diào)遞增，若對任意，不等式恒成立，則，即在0,+∞上恒成立，令，當x∈0,+∞時，，令，則，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，因為在0,+∞上恒成立，所以，即，故C正確；對于D，若，又在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，即的最大值為，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點睛：判斷A選項的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，判斷BCD的關(guān)鍵是首先根據(jù)單調(diào)性“去括號”，然后轉(zhuǎn)換成恒成立問題或最值問題即可順利得解.5．AC【分析】利用基本不等式判斷選項；利用函數(shù)的對稱性即可判斷選項；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項；舉例說明即可判斷選項.【詳解】對于，當時，，當時，則當且僅當，即時去等號，所以函數(shù)在有最小值1，故選項正確；對于，當時，則，因為，所以此時函數(shù)圖象不關(guān)于點中心對稱，故選項錯誤；對于，當時，則，令，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則當時，對任意恒成立，故選項正確；對于，因為時，函數(shù)，，函數(shù)在上有一個零點，所以選項錯誤，故選：.6．ABD【分析】A選項，由題，，判斷在上的單調(diào)性即可；B選項，由單調(diào)性，；C選項，由有兩個零點，，構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用極值點偏移可解；D選項，因，及在上單調(diào)遞增，結(jié)合B選項分析可判斷選項.【詳解】對于A選項，，.又當時，，則在上是增函數(shù)，故A正確；對于B選項，時，，又為正實數(shù)，所以，又x>0時，，所以在單調(diào)遞增，故，即.令，知，所以在上遞增，在上遞減，所以，得正實數(shù)的最小值為，故B正確；對于C選項，有兩個根，，等價于函數(shù)有兩個零點，.注意到，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因函數(shù)有零點，則.設(shè)，令，，因為，所以，當時，，單調(diào)遞減；所以在上單調(diào)遞減，所以，即當時，，由題意，，，且在上單調(diào)遞增，所以，即．故C錯誤；對于D選項，由AB選項分析可知，在上單調(diào)遞增，又，，則.由，即，即有，又，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，其中.由B選項分析可知，，其中時取等號，則，其中時取等號，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于復(fù)雜函數(shù)，常利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間.對于恒成立問題，常利用分離參數(shù)法將問題轉(zhuǎn)化為求最值.對于雙變量問題，常結(jié)合題目條件尋找變量間關(guān)系，將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量.7．【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再運用分離參數(shù)法求最值即可.【詳解】因為，所以，.即.令，易知在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，即恒成立.所以.令，，則，，由，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，故實數(shù)的最大值為.故答案為：.【點睛】同構(gòu)法的三種基本模式：①乘積型，如可以同構(gòu)成，進而構(gòu)造函數(shù)；②比商型，如可以同構(gòu)成，進而構(gòu)造函數(shù)；③和差型，如，同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)或.分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略：（1）分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（2）恒成立；恒成立；能成立；能成立.8．【分析】分，以及，分別討論，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合處的函數(shù)值，推導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性，進而得出導(dǎo)函數(shù)的符號，即可推得答案.【詳解】當時，恒成立；當時，此時應(yīng)有，即.令,，則.設(shè)，則恒成立，所以，即單調(diào)遞增.又，則要使在上恒成立，應(yīng)有在上恒成立，即在上恒成立.又時，，所以；當時，此時應(yīng)有，即.令，則.令，則恒成立，所以，即單調(diào)遞減.又，則要使在上恒成立，應(yīng)有在上恒成立，即在上恒成立.因為，在上單調(diào)遞減，所以，所以.綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：當時，，根據(jù)，可推得要使在上恒成立，應(yīng)有在上恒成立，進而推得a的取值范圍.9．【分析】由題意知，關(guān)于x的不等式恰有3個不同的正整數(shù)解．設(shè)函數(shù)，，作出函數(shù)圖象，由圖象觀察，可得實數(shù)的k取值范圍．【詳解】當時，不等式有無數(shù)個正整數(shù)解，不滿足題意；當時，當時，不等式恒成立，有無數(shù)個不同的正整數(shù)解，不滿足題意；當時，不等式等價于，令，所以，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，又，結(jié)合單調(diào)性可知，當時，恒成立，而表示經(jīng)過點的直線，由圖像可知，關(guān)于的不等式恰有3個不同的正整數(shù)解，故只需滿足以下條件：解得．則實數(shù)的取值范圍是，故答案為：．

【點睛】用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式解的問題一般有以下幾類：（1）解含參不等式：在解決含有參數(shù)不等式時，由于涉及參數(shù)，往往需要討論，導(dǎo)致演算過程復(fù)雜，若利用數(shù)形結(jié)合的方法，問題將簡單化；（2）確定參數(shù)范圍：在確定不等式參數(shù)的范圍時，幾何圖形更能使問題直觀；（3）證明不等式：把證明的不等式賦予一定的幾何意義，將復(fù)雜的證明問題明快解決.10．(1)答案見解析(2).【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對與分類討論即可得；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】（1）（），當時，由于，所以f'x>0恒成立，從而在0,+∞當時，，f'x>0；，f'從而在上遞增，在遞減；綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，由于，，所以恒成立，當時，h'x>0，當時，h所以，解得：，所以的最小值為.11．(1)(2)有一個極大值，一個極小值，理由見解析(3)【分析】（1）當時，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）當時，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得Fx的單調(diào)性與，得到存在使得，存在使得，進而得到答案；（3）求得，根據(jù)題意，得到，令，得到使得gx0=0，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得，再由，求得，再由，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)hx的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）解：當時，，可得，則，所以曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為，即.（2）解：當時，，定義域為，可得，令，則，當時，；當時，，所以Fx在遞減，在上遞增，所以，又由，存在使得，存在使得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；所以時，有一個極大值，一個極小值.（3）解：由，可得，由，因為，可得，令，則在上遞減，當時，可得，則，所以，則，又因為，使得gx0=0，即且當時，gx>0，即f當時，gx<0，即f所以在遞增，在遞減，所以，由，可得，由，可得，即，由，可得，所以，因為，設(shè)，則，可知hx在上遞增，且，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．12．(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極大值和極小值；（2）分析可知，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上的最小值，求出函數(shù)在上的最大值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，令，可得或，列表如下：遞增極大值遞減極小值遞增故函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）對于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，，因為，且時，，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，再上單調(diào)遞增，，故，由題意可得，故.規(guī)律方法：(1)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的策略①求最值法：將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題．②分離參數(shù)法：將參數(shù)分離出來，進而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出f(x)的最值，即得參數(shù)的范圍．(2)不等式有解問題可類比恒成立問題進行轉(zhuǎn)化，要理解清楚兩類問題的差別．專題精練專題精練一、單選題1．（2025·安徽·一模）已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若時，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對于存在的，存在，使，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）對于實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2022·河南開封·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2023·廣東佛山·一模）已知函數(shù)（且），若對任意，，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2二、多選題9．（2023·遼寧錦州·二模）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當時，，若且對任意，不等式成立，則實數(shù)的取值可以是（

）A．-1 B．0 C．1 D．210．（2023·安徽馬鞍山·一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當m＞0時，函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為B．當m＝l時，函數(shù)在上單調(diào)遞減C．當m＝l時，函數(shù)的最小值為1D．若對恒成立，則三、填空題12．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)關(guān)于軸對稱，其導(dǎo)函數(shù)為，當時，不等式．若對，不等式恒成立，則的取值范圍是.13．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．14．（22-23高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，對，，都有.若，使得不等式成立，則實數(shù)的最大值為.四、解答題15．（22-23高二上·江蘇常州·期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若對于任意，都有，求的取值范圍.16．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求.17．（2023·內(nèi)蒙古阿拉善盟·一模）已知函數(shù)，．(1)當，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．18．（2023·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.19．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：題號12345678910答案CBBACBDCABAD題號11答案ABD1．C【分析】不等式可化為，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作函數(shù)，的圖象，由條件結(jié)合圖象列不等式求的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，不等式化為：．令，，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當時，gx>0，當時，gx當時，gx<0當時，，當，且時，，畫出及hx的大致圖象如下，因為不等式的解集中恰有兩個不同的正整數(shù)解，故正整數(shù)解為．故，即．故.故選：C.2．B【分析】求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由分類討論即可得解.【詳解】由，得，令，則，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意；當時，則存在，使得，且當，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故不恒成立，綜上所述，的取值范圍是.故選：B.3．B【分析】分情況討論，當時直接代入可得函數(shù)遞減；當時，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，，再由得到抽象函數(shù)，求出，最后再討論時的情況，綜合得出結(jié)果.【詳解】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當時，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B4．A【分析】條件可轉(zhuǎn)化為，，，，再分別求列不等式可求的取值范圍.【詳解】因為對于存在，存在，使，所以，，，又，，顯然在上單調(diào)遞減，則，當時，，即在上單調(diào)遞增，則，由解得：，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.5．C【分析】構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，再求解的最小值即可.【詳解】已知，由知.故排除BD.由得，，構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，則由得，即，令，，由得，當，則單調(diào)遞減，當，則單調(diào)遞增，，則，又，則.故選：C.6．B【分析】由題意可知，且對恒成立，設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的取值情況及單調(diào)性，分別計算可得.【詳解】由題意可知，，即對恒成立．設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，因為，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當時，；當時，．①在上，若恒成立，即，；②在上，若，則恒成立，即恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．故選：B．【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．7．D【分析】當時，恒成立，利用圖象關(guān)系可得，且，求得.當，恒成立，變形構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而推出，進一步得到，綜上得到.【詳解】當時，，由圖可知，，此時若對任意，，只需，即，即.當，，此時若對任意，，即，，所以只需.令，則，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，，.綜上，.故選:D.8．C【分析】等價于對于，恒成立，設(shè)，求出函數(shù)最大值，得到，設(shè)，求出函數(shù)的最小值即得解.【詳解】因為對于，恒成立，所以對于，恒成立，設(shè)，所以.當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)沒有最大值，所以這種情況不滿足已知；當時，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.所以.所以.設(shè)，所以，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以.所以的最小值為.故選：C【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題的求解，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接法；（3）端點優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.9．AB【分析】由題意可得為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不等式等價于，由，解不等式即可.【詳解】函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，，則定義域為，，為偶函數(shù)，當時，，則在上單調(diào)遞增，當，，則有，即，所以，由，可得，根據(jù)選項可知，實數(shù)a的取值可以是-1和0.故選：AB.10．AD【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，問題進一步轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造，求解最值即可.【詳解】，故恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，記，故當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當時，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.11．ABD【分析】A.由m＞0直接求導(dǎo)求解判斷；B.由m＝l，利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；C.由m＝l，利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；D.將對恒成立，轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對恒成立求解判斷.【詳解】解：，當時，，則，故A正確；當m＝l時，，令，則，所以在上遞增，又，即在上成立，所以在上遞減，故B正確；當m＝l時，，令，則，所以在上遞增，又，，所以存在，有，即，則，當時，，當時，，所以，故C錯誤；若對恒成立，則對恒成立，設(shè)，則，所以在上遞增，則對恒成立，即對恒成立，設(shè)，則，當時，，當時，，所以，則，解得，故D正確.故選：ABD12．【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性及奇偶性，去掉函數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為恒成立,分離參數(shù)求最值即可求解.【詳解】定義在上的函數(shù)關(guān)于軸對稱，函數(shù)為上的偶函數(shù)．令，則,為奇函數(shù)．．當時，不等式．，在單調(diào)遞增．函數(shù)在上單調(diào)遞增．對，不等式恒成立，,即．當時，，則，則；；故在0,1單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增；可得時，函數(shù)取得極小值即最小值，．當時，，則，則則的取值范圍是.故答案為：.13．【分析】對不等式進行合理變形同構(gòu)得，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【詳解】易知，由可得，即，則有，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，故，所以，即，設(shè)，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則有，解之得．故答案為：.14．【分析】由賦值法可得，，進而可判斷函數(shù)的奇偶性，利用單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可可得最值，即可求解.【詳解】令，則，所以；令，則，所以；令，，則，所以，所以為偶函數(shù).因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.不等式化為，因為，，所以，取對數(shù)得，即，由題設(shè)條件可知，設(shè)，則，當時，，當時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以，故實數(shù)的最大值為.故答案為：【點睛】方法點睛：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性結(jié)合起來解決恒成立或者能成立問題時，將其轉(zhuǎn)化為最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性，求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.15．(1)見解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解的單調(diào)區(qū)間即可求解；（2）變形給定不等式，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出在的最小值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；若，當時，，當時，，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）令，于是恒成立，即恒成立，令，求導(dǎo)得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，則有，所以的取值范圍是.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的方法(1)分離參數(shù)法求范圍：若或恒成立，只需滿足或即可，利用導(dǎo)數(shù)方法求出的最小值或的最大值，從而解決問題；(2)把參數(shù)看作常數(shù)利用分類討論方法解決：對于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)，常用分類討論法，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)范圍.16．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)對分和討論得解；（2）對分類討論求出的最大值，建立關(guān)于的不等關(guān)系，解得的范圍.【詳解】（1），當時，在上單調(diào)遞增；當時，令，則，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當時，，不合題意.當時，由（1）可知，.設(shè)，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以.所以當且時，，不合題意，當時，，符合題意.綜上，.17．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系