2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第9講　零點(diǎn)問(wèn)題解析版

第9講零點(diǎn)問(wèn)題（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 18【考點(diǎn)一】零點(diǎn)問(wèn)題 18【專(zhuān)題精練】 33真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心三、解答題3．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線(xiàn)是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過(guò)點(diǎn).(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：，，）4．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)(1)求曲線(xiàn)y=fx在處的切線(xiàn)方程；(2)若曲線(xiàn)y=fx和y=g（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．7．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．8．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．參考答案：題號(hào)12答案BAD1．B【分析】寫(xiě)出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.2．AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，由題意也是對(duì)稱(chēng)中心，故，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱(chēng)軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心3．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明見(jiàn)解析(3)2【分析】（1）直接代入，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；（2）寫(xiě)出切線(xiàn)方程，將代入再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)即可；（3）分別寫(xiě)出面積表達(dá)式，代入得到，再設(shè)新函數(shù)研究其零點(diǎn)即可.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)x∈0,+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），切線(xiàn)的斜率為，則切線(xiàn)方程為，將代入則，即，則，，令，假設(shè)過(guò)，則在存在零點(diǎn).，在上單調(diào)遞增，，在無(wú)零點(diǎn)，與假設(shè)矛盾，故直線(xiàn)不過(guò).（3）時(shí)，.，設(shè)與軸交點(diǎn)為，時(shí)，若，則此時(shí)與必有交點(diǎn)，與切線(xiàn)定義矛盾.由（2）知.所以，則切線(xiàn)的方程為，令，則.，則，，記，滿(mǎn)足條件的有幾個(gè)即有幾個(gè)零點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；因?yàn)椋?，所以由零點(diǎn)存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有兩個(gè)零點(diǎn)，即滿(mǎn)足的有兩個(gè).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用的是反證法，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.4．(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出可求切線(xiàn)方程；（2）（i）當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)和有公共點(diǎn)即為在上有零點(diǎn)，求導(dǎo)后分類(lèi)討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求.（ii）曲線(xiàn)和有公共點(diǎn)即，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳解】（1），故，而，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍€(xiàn)和有公共點(diǎn)，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點(diǎn)，而，若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)，；時(shí)，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因?yàn)榍€(xiàn)和有公共點(diǎn)，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線(xiàn)，表示原點(diǎn)與直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，故，所以，下證：對(duì)任意，總有，證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.當(dāng)時(shí)，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點(diǎn)問(wèn)題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)處理，而多變量的不等式的成立問(wèn)題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來(lái)證明目標(biāo)不等式.5．(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以?xún)H在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題.6．(1)(2)證明見(jiàn)的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令f'(x)=0,當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,f(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)椋?，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握7．(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類(lèi)討論,對(duì)分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線(xiàn)斜率為2所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類(lèi)，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿(mǎn)足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.8．(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】零點(diǎn)問(wèn)題一、單選題1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·山東濟(jì)南·一模）函數(shù)（且）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023·河南洛陽(yáng)·一模）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2024·湖北·一模）已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，．設(shè)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．一定能被3整除 D．的取值集合為5．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞增C．在上有唯一零點(diǎn) D．在上有最小值為6．（2024·山西臨汾·一模）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立D．在上的值域?yàn)槿?、填空題7．（2024·福建龍巖·三模）已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則ab的取值范圍為.8．（2024·陜西西安·一模）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.9．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)（且）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題10．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求.11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；(2)若，討論曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．12．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.參考答案：題號(hào)123456答案ABAABBDAC1．A【分析】利用函數(shù)與方程的思想將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)并畫(huà)出函數(shù)的圖象求得切線(xiàn)方程，再由數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍.【詳解】由可得，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；設(shè)，則，令，解得；令，解得；所以在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減；令，解得，可求得的圖象在處的切線(xiàn)方程為；令，解得，可求得的圖象在處的切線(xiàn)方程為；函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：切線(xiàn)與在軸上的截距分別為,當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A2．B【分析】由可得，令，，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】由可得，即，因?yàn)榍?，則，令，令，則，，令，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.3．A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程在上有解，即在上有解．令，，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，由于，，且，所以．故選：A．4．AB【分析】分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象分析，的零點(diǎn)分布，進(jìn)而可得結(jié)果,【詳解】由題意可知為二次函數(shù)，且為f'x的零點(diǎn)，由得或，當(dāng)時(shí)，令f'x>0，解得或；令f'x<0可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，若，則，因?yàn)?，即，兩者相矛盾，故，則有2個(gè)根，有1個(gè)根，可知，若，可知，；若，可知，；若，可知，；故A正確；

當(dāng)時(shí)，令f'x>0，解得；令f'x<0，解得可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，若，則，因?yàn)?，即，兩者相矛盾，故，若，即，可知，，；若，即，可知，，；若，即，可知，，；此時(shí)，故B正確；

綜上所述：的取值集合為，的取值集合為，故CD錯(cuò)誤；故選：AB.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解．這類(lèi)問(wèn)題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．5．BD【分析】求導(dǎo)，由單調(diào)性分析極值與零點(diǎn)逐一判斷即可.【詳解】，令，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；在上取極小值為，，，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，AC錯(cuò)，BD對(duì)，故選：BD．6．AC【分析】對(duì)A：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得，令，即可求解后判斷；對(duì)B：對(duì)求導(dǎo)分析其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可判斷；對(duì)C：對(duì)的取值分類(lèi)討論，在不同情況下研究函數(shù)單調(diào)性和最值，即可判斷；對(duì)D：根據(jù)B中所求函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)值域.【詳解】令，則，故（為常數(shù)），又，故可得，故，.對(duì)A：令，即，解的或，故hx有兩個(gè)零點(diǎn)，A對(duì)B：，則，令，可得，故在和單調(diào)遞增；令，可得，故在單調(diào)遞減；又，，又，故存在，使得；又，故存在，使得；又當(dāng)時(shí)，，故不存在，使得；綜上所述，有兩個(gè)根，也即有個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，即，，當(dāng)時(shí)，，上式等價(jià)于，令，故可得，故在上單調(diào)遞增，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，也滿(mǎn)足；綜上所述，當(dāng)x∈0,2時(shí)，恒成立，故C正確；對(duì)D：由B可知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，故在1,2上的值域?yàn)?，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、不等式恒成立和值域問(wèn)題；其中解決問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確求出的解析式，屬綜合困難題.7．【分析】由題意可得只有一個(gè)解，從而可得，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可．【詳解】依題意得與只有一個(gè)交點(diǎn)，即兩曲線(xiàn)相切，則只有一個(gè)解，，化簡(jiǎn)得，將其代入得，，即，.，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由指對(duì)運(yùn)算可得，進(jìn)而可得，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求解即可.8．【分析】函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題與隱零點(diǎn)問(wèn)題.構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后再次構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，找到隱零點(diǎn)，并得到，然后再分析的單調(diào)性，找到最大值，最后再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出函數(shù)的最大值即可.【詳解】不等式移項(xiàng)可得，設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，使得，①所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；，代入①可得，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）證明帶參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)可采用分離參數(shù)法，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的最值情況，如一次構(gòu)造不容易看出單調(diào)性可二次構(gòu)造再求導(dǎo)；（2）對(duì)于隱零點(diǎn)問(wèn)題，可求導(dǎo)后分析特殊值找到隱零點(diǎn)的大概區(qū)間，再以隱零點(diǎn)為邊界分析函數(shù)的單調(diào)性.9．【分析】原式轉(zhuǎn)化為判斷的交點(diǎn)問(wèn)題，分和兩種情況討論結(jié)合指對(duì)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)而得解.【詳解】令得，即，令，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，若兩函數(shù)有且僅有一交點(diǎn)，由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)特征可判斷此交點(diǎn)必定落在這條直線(xiàn)上，且該點(diǎn)為兩函數(shù)的公切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，則有，即，解得，由得，，所以，解得，即，，即，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)特征可判斷與要有公切點(diǎn)，此切點(diǎn)必定落在這條直線(xiàn)上，設(shè)切點(diǎn)為，，則有，即，解得，由得，所以，解得，即，，即，；由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)特征可知：當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)；故時(shí)，即時(shí)，時(shí)，與有一交點(diǎn).

故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)指對(duì)函數(shù)底數(shù)在0,1時(shí)，圖象難以表示出來(lái)，對(duì)于后續(xù)處理難度較大，題干信息相對(duì)較少，解題時(shí)能挖掘出指對(duì)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定斜率值是解題關(guān)鍵，重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論思想，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合解決零點(diǎn)問(wèn)題，值得深入研究！10．(1)極小值，無(wú)極大值；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合幾何意義求出，再分析單調(diào)性求出極值.（2）由函數(shù)零點(diǎn)的意義，等價(jià)變形得在只有一解，轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，，依題意，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無(wú)極大值.（2）函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，則函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)在只有一解，即在只有一解，于是曲線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在取得極小值同時(shí)也是最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫(huà)山大致的圖象，如圖，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，所以在只有一個(gè)零點(diǎn)吋，.11．(1)；(2)2．【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程，（2）求導(dǎo)，分類(lèi)討論求解函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值求解.【詳解】（1）依題意，，故，而，故所求切線(xiàn)方程為，即．（2）令，故，令，，令，．①當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，即在上為減函數(shù)，又，在上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，即．在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．又，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，在內(nèi)恰有一零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，單調(diào)遞增，又，所以存在唯一，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．綜上所述，曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，求某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程較為簡(jiǎn)單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無(wú)論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.12．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；（2）轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋猿闪?，等價(jià)于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，解得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.且時(shí)，.所以，且.因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因?yàn)椋?，因此要證，只需證.因?yàn)?，所以只需證，即證.因?yàn)?，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個(gè)變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進(jìn)行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)再進(jìn)行求解.規(guī)律方法：(1)求解函數(shù)零點(diǎn)(方程根)個(gè)數(shù)問(wèn)題的步驟①將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線(xiàn)y＝k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題．②利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)．③結(jié)合圖象求解．(2)已知零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍①結(jié)合圖象與單調(diào)性，分析函數(shù)的極值點(diǎn)．②依據(jù)零點(diǎn)確定極值的范圍．③對(duì)于參數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論．專(zhuān)題精練專(zhuān)題精練一、單選題1．（23-24高三上·湖北荊門(mén)·階段練習(xí)）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·一模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)、、且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C．1,4 D．1,+∞6．（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)存在零點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024·北京房山·一模）若函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或38．（2023·四川內(nèi)江·一模）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的最小整數(shù)值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題9．（23-24高二下·湖南岳陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）關(guān)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若過(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，則B．若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C．若在上恒成立，則D．若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為10．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為6C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為111．（22-23高二下·重慶·期中）小明熱愛(ài)數(shù)學(xué)，《九章算術(shù)》《幾何原本》《數(shù)學(xué)家的眼光》《奧賽經(jīng)典》《高等數(shù)學(xué)》都是他的案頭讀物．一日，正翻閱《高等數(shù)學(xué)》，一條關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)映入他的眼簾：函數(shù)在區(qū)間有定義，且對(duì)，，，若恒有，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格下凸”；若恒有，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格上凸”．現(xiàn)已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，．A．有最小值，且最小值為整數(shù)B．存在常數(shù)，使得在“嚴(yán)格下凸”，在“嚴(yán)格上凸”C．恰有兩個(gè)極值點(diǎn)D．恰有三個(gè)零點(diǎn)三、填空題12．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若過(guò)點(diǎn)僅可作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，則的取值范圍是.13．（23-24高三上·河南焦作·期末）若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．14．（23-24高三上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)），若有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題15．（2024·廣東·二模）已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)（其中），使得直線(xiàn)與函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)平行？若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.16．（2023·北京西城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求在處切線(xiàn)方程；(2)求的極大值與極小值；(3)證明：存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).17．（2024·河南鄭州·三模）已知函數(shù).(1)若，求在1,f1處的切線(xiàn)方程；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).18．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（2024·北京房山·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)設(shè)，求函數(shù)的極大值；(3)若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考答案：題號(hào)12345678910答案DBDCCBACABCAB題號(hào)11答案ACD1．D【分析】先把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求解單調(diào)性及極值最后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，在0,2上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，及時(shí)，的圖像如圖，得到有3個(gè)解.

故選：D.2．B【分析】由可得，令，則直線(xiàn)與函數(shù)hx在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)hx的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f'x在因?yàn)?，令，即，可得．令，則，令h'x>0，得，令h'所以，函數(shù)hx在12,1因?yàn)?，，，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)hx在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，合乎題意.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.3．D【分析】令，將原函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，令，轉(zhuǎn)化為，再令，得到使時(shí)的根的個(gè)數(shù)，再分類(lèi)討論的范圍與根的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)與方程性質(zhì)及零點(diǎn)的關(guān)系即可得.【詳解】令，得，整理得，令，原方程化為，設(shè)，則，令，解得，且，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，則在時(shí)，有最大值為，則當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，因?yàn)樵匠虨?，由題可知有三個(gè)零點(diǎn)，因此方程有兩個(gè)不等實(shí)根、，設(shè)，則有，，若，則，故舍去，若，則，，有，即有，，代入得，矛盾，故舍去，若則，，，設(shè)，則，得到，所以.故選：D.4．C【分析】將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖像交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得出，根據(jù)圖像即可解決問(wèn)題.【詳解】因?yàn)?，令，即，則，所以函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于曲線(xiàn)和在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，gx<0，且時(shí)，，其圖像如圖所示，

故的取值范圍為.故選：C.5．C【分析】求得，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為和共有5個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)是的極小值點(diǎn)，作出如圖所示的函數(shù)的圖象，函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程，即有5個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，也即是和共有5個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，其中有唯一實(shí)數(shù)根，只需有4個(gè)且均不為-2的不相等實(shí)數(shù)根，由圖可知，即實(shí)數(shù)的取值范圍為1,4.故選：C.6．B【分析】函數(shù)存在零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)有解，設(shè)函數(shù)，則有解，得到在內(nèi)有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的最小值.【詳解】由得，設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增，∴，∴，，，即．所以存在零點(diǎn)等價(jià)于方程有解，令，則，當(dāng)時(shí)，h'x<0；當(dāng)時(shí)，h所以hx在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以．故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程在上有解，設(shè)函數(shù)，則方程就轉(zhuǎn)化為有解，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為.再設(shè)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性可解決問(wèn)題.7．A【分析】令，則，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)hx的單調(diào)區(qū)間，作出其大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】，令，則，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)hx在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)x∈0,1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)hx在上單調(diào)遞增，且，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)hx由圖可知函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)y=gx的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.8．C【分析】對(duì)求導(dǎo)，得到，再對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合零點(diǎn)存在性原理即可求出結(jié)果.【詳解】因，則，當(dāng)，，由，得到，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹愠闪?，所以時(shí)，，時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，取且，則，又由，得到，所以，此時(shí)存在2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，得到或，若，即，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，所以不存在2個(gè)零點(diǎn)，若，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，所以不存在2個(gè)零點(diǎn)，綜上可得，實(shí)數(shù)，故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常用思路，①函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)方程的根；②零點(diǎn)存在性原理；③用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性原理解決.9．ABC【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)在下方及軸上方，從而可對(duì)A判斷；設(shè)出切點(diǎn)，求出切線(xiàn)方程，再結(jié)合題意中的幾何條件，從而可對(duì)B判斷；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分別可求出的單調(diào)性及最值情況，畫(huà)出相應(yīng)圖象，從而可對(duì)C、D判斷求解.【詳解】對(duì)A：由題意知可知當(dāng)點(diǎn)在曲線(xiàn)的下方和軸上方才可以作出兩條切線(xiàn)，所以，故A正確.對(duì)B：由在上恒成立，等價(jià)于在上橫在上方，設(shè)的切點(diǎn)坐標(biāo)為，其切線(xiàn)方程為，對(duì)應(yīng)的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，將代入解得，其切線(xiàn)斜率，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故B正確.對(duì)C：若在上恒成立，則在時(shí)恒成立，即，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，當(dāng)x=2時(shí)，取到極大值也是最大值為，所以，故C正確.對(duì)D：由C知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)，取到極小值，當(dāng)x=2時(shí)，取到極大值，而x>0時(shí)，恒成立，故可畫(huà)出函數(shù)的圖象如下：要求函數(shù)的零點(diǎn)，即求與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，所以可知或時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（3）證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.10．AB【分析】根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心的定義求出，的值，可判斷A的真假；用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，可判斷B的真假；結(jié)合函數(shù)極值的符號(hào)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判斷C的真假；求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，與極值點(diǎn)的函數(shù)值比較，得到函數(shù)的最小值，判斷D的真假.【詳解】由題意，點(diǎn)0,3在函數(shù)的圖象上，故；又.由，即.故A正確；所以，所以.由或.所以在和1,+∞上單調(diào)遞增，在-1,1上單調(diào)遞減，所以的極大值為；極小值為，所以極大值與極小值之和為：，故B正確；因?yàn)楹瘮?shù)的極小值，所以三次函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；又，，所以函數(shù)在上的最小值為，故D錯(cuò).故選：AB11．ACD【分析】對(duì)于A，求導(dǎo)后將看成一個(gè)整體，利用進(jìn)行放縮即可；對(duì)于B,將“嚴(yán)格上凸”和“嚴(yán)格下凸”轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，二次求導(dǎo)后即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)零點(diǎn)存在定理，即可判斷；【詳解】，，設(shè)，易得：，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A對(duì);，，，若恒有，等價(jià)于切線(xiàn)一直在割線(xiàn)下方，即單調(diào)遞增.即函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格下凸”；，，，若恒有，等價(jià)于切線(xiàn)一直在割線(xiàn)上方，即單調(diào)遞減.即函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格上凸”.設(shè)，，易得在為增函數(shù).，，所以存在常數(shù)，，使得在上，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減,在“嚴(yán)格上凸”；在上，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增,在“嚴(yán)格下凸”.故B錯(cuò)誤；由B知，在上單調(diào)遞減,在上，單調(diào)遞增，，，所以恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；由C知，恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)為，，且，所以在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在各有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD12．【分析】設(shè)切點(diǎn)為：Px0,y0，根據(jù)切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，得到，令，再根據(jù)過(guò)點(diǎn)僅可作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，由與y=gx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為：Px，所以切線(xiàn)方程為，又因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，即，令，則，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，則，且；當(dāng)時(shí)，則，所以的圖象如圖所示：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)僅可作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，所以與y=gx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則或.故答案為：.13．【分析】由可得出，令，，分析可知，直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=gx沒(méi)有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，令，顯然，則，令，，則，令，得，，列表如下：0,1增極大值減減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為0,1、，減區(qū)間為、，且極大值為，極小值為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)（從左邊趨于），；當(dāng)時(shí)（從右邊趨于），，當(dāng)時(shí)（從右邊趨于），.由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=gx沒(méi)有交點(diǎn)，即在0,+∞上沒(méi)有零點(diǎn)．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)y=gx的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題14．【分析】當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，根據(jù)平移和翻折得到函數(shù)圖象，變換得到，根據(jù)函數(shù)圖象得到或，解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，f'x>0，函數(shù)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，其圖象可以由的圖象向左平移一個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，再把軸上方的圖象翻折到軸下方得到，畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示：，當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象知：或，解得或.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中畫(huà)出函數(shù)圖象，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合的思想需要熟練掌握.15．(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出直線(xiàn)的斜率，再求出，從而得到的等式，再進(jìn)行換元和求導(dǎo)，即可解出答案.【詳解】（1）由題可得因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意得，斜率，,由得，，即，即令，不妨設(shè)，則，記所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以方程無(wú)解，則滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn)不存在.16．(1)(2)見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)斜率即可得解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)極值即可；（3）根據(jù)（2）判斷函數(shù)大致變化趨勢(shì)，由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，又，所以切線(xiàn)方程為，即.（2），當(dāng)時(shí)，，解得，故時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，故時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，令，解得，，故當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故的極大值為，極小值為；當(dāng)時(shí)，令，解得，，故當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的極大值為，極小值為；綜上，當(dāng)時(shí)