全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-解析幾何滿分限時(shí)練

解析幾何1．直線與圓的考查也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)還會(huì)作為條件結(jié)合圓錐曲線進(jìn)行考查；2．圓錐曲線的定義、方程、與性質(zhì)是每年的必考熱點(diǎn)，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程的求法；3．解析幾何還會(huì)考一道解答題，通常難度較大，主要考直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及最值范圍，定點(diǎn)、定值問(wèn)題等，綜合性比較強(qiáng)．一、選擇題．1．已知直線l1:ax+(a+2)y+1=0?，?lA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵直線l1當(dāng)“a=?2”時(shí)，直線l1:?2x+1=0，當(dāng)“a=0”時(shí)，直線l1:2y+1=0，∴當(dāng)時(shí)，則，解得a=?1或a=2．而由，解得a=?1，所以由“”能推出“”；由“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要條件，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題．2．直線y=x+2和雙曲線的漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線的漸近線為，設(shè)y=x+2與相交于A點(diǎn)，與相較于B點(diǎn)，由，解得A?3?由，解得B(3?3所以AB=【點(diǎn)評(píng)】該題考查的是有關(guān)兩點(diǎn)間距離問(wèn)題，解題方法如下：（1）先根據(jù)雙曲線的漸近線方程求得的漸近線；（2）聯(lián)立方程組，分別求得對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）利用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果．3．已知⊙M經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑r=2，且與直線y=x+2相切，則⊙A．(x+1)2B．(x+1)2C．(x?1)2D．(x?1)2【答案】A【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑因?yàn)閳AM過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線y=x+2相切，所以，所以a=b=±1，即圓心為1，1或圓M的方程為(x?1)2+(y?1【點(diǎn)評(píng)】處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．4．已知直線l:mx+y+3m?3=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點(diǎn)．且A，B在x軸同側(cè)，過(guò)A，B分別做x軸的垂線交x軸于C，DA． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橹本€的方程l:mx+y+3m?3=0化為所以直線l恒過(guò)點(diǎn)?3，而點(diǎn)?3，3滿足x2+y不妨設(shè)點(diǎn)A?3又|CD|=3，所以點(diǎn)B0，2又圓x2+y2=12的半徑為2故選B．【點(diǎn)評(píng)】求直線恒過(guò)點(diǎn)的方法：方法一（換元法）：根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式直線的方程變成y=kx?a+b，將x=a帶入原方程之后，所以直線過(guò)定點(diǎn)a，b5．設(shè)A?2，0，B2，0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA2+PBA． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)Px，y整理可得x2+y在△PQO中，，則，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d，則需滿足d≤4，，解得或，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線中參數(shù)范圍的求解，解題的關(guān)鍵是得出OQ=26．已知圓C：x+12+y?12=1，P是直線x?y?1=0的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為AA．14 B．27 C．32 【答案】A【解析】圓C：x+12+y?12=1設(shè)四邊形PACB的面積為S，由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得，，∵AC=r=1∴PC?圓心C?1，1到直線x?y?1=0∴PC的最小值為，則PC?AB的最小值為，【點(diǎn)評(píng)】本題考了直線與圓的位置關(guān)系，難度中等偏易．7．已知拋物線C:y2=8x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于6A．2 B．±2 C．22 D．【答案】D【解析】由題意，點(diǎn)，因?yàn)锳F=xA+2=6又因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以y2=32，則y=±42則，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考了拋物線的定義及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1?1，0，F(xiàn)2A．10 B．7 C．27 D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓C與直線l的一個(gè)公共點(diǎn)為P，則（即為長(zhǎng)軸長(zhǎng)），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線l上找點(diǎn)P，使得PF1設(shè)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Ex，y，則，可得E則PF當(dāng)且僅當(dāng)F1，P，E三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a的最小值為10，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定義，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的求法，屬于中檔題．9．已知雙曲線上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(2，?4)，則雙曲線C的離心率為（）A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【解析】設(shè)A(x1，y1)，則x1又A，B關(guān)于直線對(duì)稱，所以，且A，B在雙曲線上，，，相減可得，即，故，即，離心率為，故選B．【點(diǎn)評(píng)】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．10．過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作斜率為k的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若AF=3A． B． C． D．【答案】C【解析】若k=0，則直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意；設(shè)，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F1，0，直線聯(lián)立，消去x可得y2?4my?4=0，，設(shè)點(diǎn)Ax1，y1、B∵AF=1?x1，?y∴y1+y2解得，，故選C．【點(diǎn)評(píng)】利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1，y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算Δ；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x（5）代入韋達(dá)定理求解．11．如圖，雙曲線以梯形ABCD的頂點(diǎn)A，D為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．其中，，CD=4AB，則Γ的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接CA，BD，不妨設(shè)AB=1，則CD=4，BD=1+2a在△ABD中，1+4c在△ACD中，16+4c，得15+10c=12a+15，則，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是正確利用焦點(diǎn)三角形特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算．二、解答題．12．若雙曲線x2?y2=9（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線A1P與A2Q的斜率分別為k1，k【答案】（1）；（2）是過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為2，【解析】（1）由已知得雙曲線的離心率為2，又兩曲線離心率之積為，所以橢圓的離心率為，由題意知a=3，所以c=22，b=1所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬(wàn)程為．（2）當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)，由對(duì)稱性可知：k1=?k故直線l的斜率不為零；設(shè)直線l的方程為x=ty+n，由，得t2+9因?yàn)橹本€l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，所以Δ=4t整理得t2設(shè)Px1，y1、Qx2，y因?yàn)椋?，整理?ty4ty將，，代入整理得t(n?2)(n?3)=(2?n)t2+9要使上式恒成立，只需n=2，此時(shí)滿足t2因此，直線l恒過(guò)定點(diǎn)2，【點(diǎn)評(píng)】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問(wèn)題；（3）證明直線過(guò)定點(diǎn)，通常有兩類：①直線方程整理為斜截式，過(guò)定點(diǎn)；②直線方程整理為點(diǎn)斜式，過(guò)定點(diǎn)．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸長(zhǎng)為23，點(diǎn)P在橢圓上，PF（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將橢圓C按照坐標(biāo)變換得到曲線C1，若直線l與曲線C1相切且與橢圓C相交于M，N求MN的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，2b=23?b=3則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由，則曲線C1：x當(dāng)直線l斜率存在且為k時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，由直線l與圓C1則，由，設(shè)Mx1，y1，Nx由，由m2=k令t=3+4k2，則，令，則y=?s2+2s+3，，則，；當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l：x=±1，，綜上：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、弦長(zhǎng)公式、坐標(biāo)變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與曲線C114．橢圓的左焦點(diǎn)為?2，0，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0，1，直線y=kx+2k?1(k≠0)與C交于A（1）求橢圓C的方程；（2）證明：直線PA與直線PB的斜率之和為定值，并求出這個(gè)定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，定值為1．【解析】（1）由題意得：c=2，b=1，∴橢圓方程為．（2）解法一（常規(guī)方法)：設(shè)，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得3k2∵直線y=kx+2k?1(k≠0)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，∴Δ>0，即123由韋達(dá)定理，，，∴直線PA、PB的斜率和為定值1．解法二（構(gòu)造齊次式)：由題直線y=kx+2k?1(k≠0)恒過(guò)定點(diǎn)?2①當(dāng)直線AB不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB為mx+ny?1則?2mx?2n=1，即，有，由，有x2+3則x2整理成關(guān)于x，y?1的齊次式：進(jìn)而兩邊同時(shí)除以，則，令，則；②當(dāng)直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，，，綜合①②直線PA與直線PB的斜率之和為定值1．【點(diǎn)評(píng)】該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的問(wèn)題，解題方法如下：（1）根據(jù)題中所給的條件，確定出b，c的值，進(jìn)而求得（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理求得兩根和與兩根積，利用斜率公式證得結(jié)果．15．已知橢圓與拋物線C:x2=2py(p>0)有相同的焦點(diǎn)F，拋物線C的準(zhǔn)線交橢圓Γ于A，B兩點(diǎn)，且（1）求橢圓Γ與拋物線C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若P為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，以P為圓心，OP為半徑的圓P與橢圓Γ的焦點(diǎn)F為圓心，以5為半徑的圓F交于M，N兩點(diǎn)，求證：MN為定值．【答案】（1）橢圓Γ的方程為，拋物線C的方程為；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）橢圓可得焦點(diǎn)0，a拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為，所以①由，可得，解得，所以②，由①②可得：a2=4，所以橢圓Γ的方程為，拋物線C的方程為．（2）設(shè)P(m，n)，則，圓P的方程為(x?m圓F的方程為：x2所以直線MN的方程為：mx+(n?3設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，則，|MN|=25?d2=2【點(diǎn)評(píng)】圓的弦長(zhǎng)的求法：（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，則；（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于Ax1，y1，Bx2，y2，聯(lián)立直線與圓的方程，消去y16．已知橢圓過(guò)點(diǎn)(0，2)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)?焦距和短軸長(zhǎng)三者的平方依次成等差數(shù)列，直線l與x軸的正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q、P，與橢圓Γ相交于兩點(diǎn)M、N，各點(diǎn)互不重合，且滿足，．（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l的方程為y=?x+1，求的值；（3）若，試證明直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析，(2，0)．【解析】（1）由題意，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(0，2)，可得b=2設(shè)焦距為，又由長(zhǎng)軸長(zhǎng)?焦距和短軸長(zhǎng)三者的平方依次成等差數(shù)列，可得(2a)2+(2b又因?yàn)閍2=b所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由直線l的方程為y=?x+1，可得而P(0，設(shè)M(x1，y1可得(x從而x1于是，，所以，由，整理得4x2?6x?9=0，可得，，所以．（3）顯然直線l的斜率k存在且不為零，設(shè)直線l的方程為y=kx?mm>0可得P(0，由，可得(x1所以x1=λ1m