人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：1 2 第二課時(shí) 空間向量基本定理的應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1第二課時(shí)空間向量基本定理的應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過(guò)運(yùn)用空間向量基本定理，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，能證明空間線面的位置關(guān)系及求直線的夾角、兩點(diǎn)間距離(線段長(zhǎng)度).通過(guò)利用空間向量基本定理，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，G為△BCD的重心，H為棱AD的中點(diǎn).設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c.問(wèn)題1.你能利用空間向量求AG的長(zhǎng)度嗎？2.你會(huì)求異面直線AB與GH夾角的余弦嗎？〖提示〗1.利用AG＝|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝eq\r(（\o(AG,\s\up6(→))）2)＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（a＋b＋c）))\s\up12(2)).2.利用cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(GH,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(GH,\s\up6(→))|)解決.1.空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.2.利用空間向量基本定理，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，可解決空間中平行、垂直關(guān)系的判斷，異面直線所成的角及求線段的長(zhǎng)等問(wèn)題.拓展深化〖微判斷〗1.要證明AB∥CD，只需證明eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))即可.(×)〖提示〗還需說(shuō)明AB，CD無(wú)公共點(diǎn).2.要證明AB⊥CD，只需證明eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0即可.(√)〖微訓(xùn)練〗1.棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，直線AB與CD()A.相交 B.平行C.垂直 D.無(wú)法判位置關(guān)系〖解析〗eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1×1×eq\f(1,2)－1×1×eq\f(1,2)＝0，故eq\o(BA,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，即直線AB與CD垂直.〖答案〗C2.已知a，b是異面直線，點(diǎn)A，B∈a，點(diǎn)C，D∈b，AC⊥a，BD⊥a，且AB＝1，CD＝eq\r(2)，則a，b所成的角為_(kāi)_______________.〖解析〗∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴異面直線a，b所成的角為45°.〖答案〗45°〖微思考〗怎么利用空間向量求線段的長(zhǎng)？〖提示〗首先利用空間向量基本定理，將所求線段表示的向量用其他已知夾角和模的向量表示出來(lái)，再利用|a|＝eq\r(a2)，通過(guò)計(jì)算得出|a|，即得所求線段長(zhǎng).題型一證明空間直線、平面的位置關(guān)系角度1證明垂直問(wèn)題〖例1－1〗在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，求證：OA⊥BC.證明如圖所示，因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|·cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos∠AOB＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以O(shè)A⊥BC.角度2證明平行問(wèn)題〖例1－2〗如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點(diǎn)，請(qǐng)選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄孔C明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C.證明取基底{eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}，(1)因?yàn)閑q\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(ED′,\s\up6(→))＋eq\o(D′G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(EG,\s\up6(→))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，又EG，AC無(wú)公共點(diǎn)，所以EG∥AC.(2)因?yàn)閑q\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(FD′,\s\up6(→))＋eq\o(D′G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AB′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝2eq\o(FG,\s\up6(→))，所以eq\o(FG,\s\up6(→))∥eq\o(AB′,\s\up6(→))，又FG，AB′無(wú)公共點(diǎn)，所以FG∥AB′.又FG?平面AB′C，AB′?平面AB′C，∴FG∥平面AB′C.又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，又FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.規(guī)律方法(1)當(dāng)直接證明線線垂直但條件不易利用時(shí)，常?？紤]證明兩線段所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積等于零.利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉(zhuǎn)化為向量，并用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算以及數(shù)量積和垂直條件來(lái)完成位置關(guān)系的判定.(2)證明直線與直線平行一般轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題，利用向量共線的充要條件證明.〖訓(xùn)練1〗如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求證：BD⊥平面ADC.證明不妨設(shè)AD＝BD＝CD＝1，則AB＝AC＝eq\r(2).eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，由于eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝1.∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即BD⊥AC.又∵BD⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD?平面ADC，∴BD⊥平面ADC.題型二求線段的長(zhǎng)度或兩點(diǎn)間的距離〖例2〗在正四面體ABCD中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別是棱AB，CD上的點(diǎn)，且MB＝2AM，CN＝eq\f(1,2)ND，求MN.解∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,9)a2－eq\f(2,9)a2＋eq\f(2,9)a2＋eq\f(1,9)a2＋eq\f(4,9)a2＝eq\f(5,9)a2.故|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),3)a，即MN＝eq\f(\r(5),3)a.規(guī)律方法求兩點(diǎn)間的距離或線段長(zhǎng)度的方法(1)將此線段用向量表示；(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；(3)利用|a|＝eq\r(a2)，通過(guò)計(jì)算求出|a|，即得所求距離.〖訓(xùn)練2〗如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求線段PC的長(zhǎng).解∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＝61－12＝49，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝7，即PC＝7.題型三求兩直線的夾角〖例3〗如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(2)，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值.解∵eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，且eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))2＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))2＝－1.又∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1,\r(6))＝eq\f(－\r(6),6)，則異面直線BA1與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6).規(guī)律方法(1)求幾何體中兩個(gè)向量的夾角，可以把其中一個(gè)向量平移到與另一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)化為求平面中的角的大小.(2)由兩個(gè)向量的數(shù)量積定義得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的數(shù)量積及兩個(gè)向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，進(jìn)而求〈a，b〉的大小.在求a·b時(shí)注意結(jié)合空間圖形，把a(bǔ)，b用基向量表示出來(lái)，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出a·b的值.(3)直線AB，CD的夾角α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉∈〖0，π〗，故α＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉或α＝π－〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉.〖訓(xùn)練3〗如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求BC1與AC夾角的大小.解不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則eq\o(BC1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋0＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→))2＝1，又∵|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).∵〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈〖0，π〗，∴〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).∴BC1與AC夾角的大小為eq\f(π,3).一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)應(yīng)用空間向量證明空間線面的位置關(guān)系及求直線的夾角和距離，提升直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.證明空間中的直線、平面的垂直和平行，要分別結(jié)合相關(guān)的判定定理，轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算；求空間兩點(diǎn)間的距離或線段的長(zhǎng)度一般轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)向量的模；求兩直線的夾角則轉(zhuǎn)化為求向量的夾角(或其補(bǔ)角).二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.設(shè)a，b都是非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(3,2)b，則不重合的直線AB與CD()A.相交 B.平行C.垂直 D.無(wú)法判位置關(guān)系〖解析〗由已知可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則直線AB與CD平行.〖答案〗B2.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點(diǎn)，若AB＝a，則MN＝________.〖解析〗eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，故|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(3,4)a2,所以MN＝eq\f(\r(3),2)a.〖答案〗eq\f(\r(3),2)a3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AC1與BC所成角的余弦值為_(kāi)_______.〖解析〗設(shè)AB＝1，則由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，得eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC1,