山東省東營市2023-2024學(xué)年高二期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

試卷類型：A2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)2024.01本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘，注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷?答題卡規(guī)定的地方填寫自已的準(zhǔn)考證號?姓名.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.1.已知直線：，：，若，則實(shí)數(shù)（）A.－2 B.－1 C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】兩直線平行，則斜率相等求解.【詳解】已知直線：，：，因?yàn)?，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2.若平面平面，直線，直線，那么的位置關(guān)系是（）A.無公共點(diǎn) B.平行C.既不平行也不相交 D.相交【答案】A【解析】【分析】由兩線的位置關(guān)系的定義判斷即可【詳解】由題，直線a，b分別含于兩個平行的平面，可能平行，可能異面，但不可能相交.故選：A3.若雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，則的值為（）A.2 B.3 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】先求出橢圓的焦點(diǎn)，再由兩曲線的焦點(diǎn)重合，列方程可求出的值.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的焦點(diǎn)為，故，解得.故選：B.4.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，由，即可求出答案.【詳解】連接如下圖：由于是的中點(diǎn)，.根據(jù)題意知..故選：C.5.拋物線的焦點(diǎn)為F，且拋物線C與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，若軸，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)可得，再由點(diǎn)在橢圓上，代入求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，且在第一象限，軸，則，又在橢圓上，故，而，故.故選：C6.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)進(jìn)行校園廚藝總決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有得到冠軍.”對乙說：“你和甲的名次相鄰.”從這兩個回答分析，5人的名次排列情況種數(shù)為（）A.54 B.48 C.42 D.36【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：乙是冠軍，乙不是冠軍，再安排其他人，由加法計數(shù)原理可得答案.【詳解】由題意，第一種情況：乙是冠軍，則甲在第二位，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況；第二種情況：先從丙、丁、戊中選1人為冠軍，再排甲，乙兩人，再把甲和乙捆綁與其他人排列，共有種；綜上可得共有種不同的情況.故選：C.7.若是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，設(shè)四邊形的面積為，四邊形的外接圓的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探求四邊形的形狀，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求出，再求出作答.【詳解】依題意，點(diǎn)與，與都關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且，因此四邊形是矩形，如圖，由雙曲線：得：，，于是，顯然四邊形的外接圓半徑為，因此，所以.故答案為：8.已知，直線上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，由兩點(diǎn)間的距離公式可得的一元二次方程，由解不等式即可.【詳解】設(shè)，則，由，得，由兩點(diǎn)間的距離公式可得：，整理可得，由題意，得，解得或，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AB【解析】【分析】利用線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用線面垂直的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用線面平行的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用面面的位置關(guān)系判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，因?yàn)?，過直線作平面，使得，因?yàn)?，，，則，因?yàn)?，，則，故，正確；對于B，若，，則，又，則，正確；對于C，若，則或與相交或與異面，錯誤；對于D，若，則或與相交，錯誤.故選：AB10.現(xiàn)有帶有編號1、2、3、4、5的五個球及四個不同的盒子，則下列表述正確的有（）A.全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B.全部投入2個不同的盒子里，每盒至少一個，共有種放法C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種放法D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用分步乘法計數(shù)原理計算可判斷A正確；對于B，先將5個球分為2組，再全排，計算可判斷B不正確；對于C，利用分步乘法計數(shù)原理計算可判斷C正確；對于D，先將5個球分為4組，再全排，計算可判斷D正確；【詳解】對于A，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，全部投入4個不同的盒子里，共有種放法，故A正確；對于B，帶有編號1、2、3、4、5的五個球全部投入2個不同的盒子里，第一步選2個盒子有種選法，第二步將5個球分為兩組，若兩組球個數(shù)之比為1：4有種分法；若兩組球個數(shù)之比為2：3有種分法，第三步將兩組排給兩個盒子有種排法，因此共有，故B不正確；對于C，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），第一步選4個球有種選法，第二步選一個盒子有種選法，共有種放法，故C正確；對于D，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，第一步將5球分成2：1：1：1的四組共有種分法，第二步分給四個盒子有種排法，故共有種放法，故D正確；故選：ACD.11.經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，的最小值是4，則下列說法正確的是（）A.B.C.若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為D.若，則直線的傾斜角為或【答案】BC【解析】【分析】設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)求得，由此對選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確答案.【詳解】，由題意可知直線的斜率存在且不為，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，，，所以，當(dāng)時等號成立，所以，所以拋物線方程為，所以，所以，A選項(xiàng)錯誤；，所以，，所以，B正確；因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，即，所以直線的方程為，C正確；，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，解得（舍去），又，故，所以，所以直線的斜率為，直線的傾斜角為，D錯誤.故選：BC【點(diǎn)睛】求解直線和拋物線相交所得弦長，如果直線過焦點(diǎn)，此時直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為，這樣的設(shè)法可以避免討論直線的斜率是否存在，減少一定的運(yùn)算量.12.如圖甲，在矩形中，為的中點(diǎn)，將沿直線翻折至的位置，為的中點(diǎn)，如圖乙所示，則（）A.翻折過程中，四棱錐不存在外接球B.翻折過程中，存在某個位置的，使得C.當(dāng)二面角為時，點(diǎn)到平面的距離為D.當(dāng)四棱錐體積最大時，以為直徑的球面被平面截得交線長為【答案】AC【解析】【分析】A項(xiàng)，通過證明四邊形不存在外接圓即可得出結(jié)論；B項(xiàng)，通過證明，即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，求出到平面的距離，利用等體積法即可求出點(diǎn)到平面的距離；D項(xiàng)，求出點(diǎn)A到平面的距離,進(jìn)而得出以為直徑的球的半徑和球心到平面的距離，即可得到球面與被平面截得交線為圓的半徑，進(jìn)而得出交線長.【詳解】由題意，對于A，由已知,直角三角形存在以為直徑的唯一外接圓,，∴點(diǎn)不在該圓上,所以四邊形不存在外接圓，∴四棱錐不存在外接球,故A正確;對于B,由已知,,,∴，∴，假設(shè)在翻折過程中,存在位置,使得,則平面,平面,平面,又平面,∴，在翻折至的位置的過程中,,顯然不成立,故假設(shè)錯誤,翻折過程中,不存在任何位置的,使得,故B錯誤;對于C,取中點(diǎn),由已知,,是二面角的平面角,當(dāng)二面角為時,二面角為,即,又,到平面的距離為設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為,則,,,即點(diǎn)A到平面的距離為,點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)A到平面距離的,點(diǎn)到平面的距離為,故C正確;對于D,四棱錐底面梯形的面積為定值,當(dāng)四棱錐的體積最大時,平面平面,平面平面平面,由B選項(xiàng)有平面,平面,,,又平面點(diǎn)A到平面的距離,點(diǎn)為中點(diǎn),以為直徑的球的半徑,球心到平面的距離,易知,球面與被平面截得交線為圓,其半徑,該交線周長為,故D不正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.根據(jù)垂直關(guān)系分析可知是二面角的平面角；2.根據(jù)球的性質(zhì)分析可知球心到平面的距離.第II卷（非選擇題，共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分）13.若，則m=______.【答案】【解析】【分析】直接利用組合數(shù)的性質(zhì)得到x+3x-6=18或x=3x-6,解之即得x的值.【詳解】因?yàn)?，所以x+3x-6=18或x=3x-6，所以x=3或6.故答案為3或6【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)如果.14.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則的值為__________.【答案】1【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，由垂徑定理得到方程，求出，驗(yàn)證后得到答案.【詳解】變形為，故，解得，故圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，由垂徑定理得，解得，滿足要求.故答案為：115.如圖，在正方體中，，為的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為，則直線與直線所成角的余弦值為_____．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意可利用空間向量求解直線與直線之間夾角，從而求解.【詳解】設(shè)，連接,如下圖所示，則直線即為直線l．因?yàn)槠矫嫫叫杏?，且平面平面，平面平面，故，由，為的中點(diǎn)，得：．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)：，則得：，，，，，，所以得：，故直線l與直線所成角的余弦值為.故答案為：.16.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作圓的切線，交雙曲線的右支于點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為A，連接，作作，垂足為B，運(yùn)用中位線定理和勾股定理，結(jié)合雙曲線的定義，即可得到a，b的關(guān)系，即可求解．【詳解】如圖，作于點(diǎn)A，于點(diǎn)B．∵與圓相切，，∴，，則，．又點(diǎn)M在雙曲線上，∴，整理得，即，得，由解得，∴雙曲線的離心率為．故答案為：．四?解答題（本大題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和分別為和，且.（1）求正整數(shù)的值；（2）求其展開式中所有的有理項(xiàng).【答案】17.418.答案見解析【解析】【分析】（1）先利用題給條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值；（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求得其展開式中所有的有理項(xiàng)．小問1詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)為奇數(shù)時，此方程無解，當(dāng)為偶數(shù)時，方程可化為，解得；【小問2詳解】由通項(xiàng)公式，當(dāng)為整數(shù)時，是有理項(xiàng)，則，所以有理項(xiàng)為．18.如圖所示，某中心接到其正西?正東?正北方向三個觀測點(diǎn)的報告：兩個觀測點(diǎn)同時聽到了一聲巨響，觀測點(diǎn)聽到的時間比觀測點(diǎn)晚4秒，假定當(dāng)時聲音傳播的速度為米/秒，各觀測點(diǎn)到該中心的距離都是米，設(shè)發(fā)出巨響的位置為點(diǎn)，且均在同一平面內(nèi).請你確定該巨響發(fā)生的點(diǎn)的位置.【答案】答案見解析【解析】【分析】以接報中心為原點(diǎn)，正東、正北方向?yàn)閤軸、軸正向，建立直角坐標(biāo)系；寫出A、、點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)為巨響生成點(diǎn)，由雙曲線定義知點(diǎn)在以A、為焦點(diǎn)的雙曲線上，依題意求出雙曲線方程，從而確定該巨響發(fā)生的位置．【詳解】如圖，以接報中心為原點(diǎn)，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．則，，，設(shè)為巨響為生點(diǎn)，由A、同時聽到巨響聲，得，故在的垂直平分線上，的方程為，因點(diǎn)比A點(diǎn)晚聽到爆炸聲，故，由雙曲線定義知點(diǎn)在以A、為焦點(diǎn)的雙曲線上，依題意得，，，故雙曲線方程為，將代入上式，得，，，，即故.故巨響發(fā)生在接報中心的西偏北距中心米處．19.如圖所示，⊥平面，四邊形為矩形，，.（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面平行判斷定理證平面BFC平面ADE，再證∥平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，由向量法即可求【小問1詳解】證明：四邊形為矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，∵平面BFC，∴∥平面；【小問2詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，設(shè)平面CDF的法向量為，則，取得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為20.已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線交拋物線于四點(diǎn)，求四邊形的面積最小值【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義直接求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程組成方程組，利用拋物線焦半徑公式可得弦長，進(jìn)而可得推出四邊形的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求四邊形面積的最小值．【小問1詳解】由，可得，又在拋物線上，所以，聯(lián)立解得，故拋物線方程為【小問2詳解】由（1）知：設(shè)，，由得：，，設(shè)所以，，同理：，四邊形的面積：，（當(dāng)且僅當(dāng)即：時等號成立）四邊形的面積的最小值為32．21.如圖，三棱臺中，平面平面，，面積為，且與底面所成角為.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到A到平面的距離即為的長，證明線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直，進(jìn)而得到線面垂直，故為與底面所成角，根據(jù)與底面所成角為，得到為等邊三角形，從而得到的長，得到答案；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到，根據(jù)的面積為1，求出，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量公式求出其正弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，作交于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，則A到平面的距離即為的長，而平面，故，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，作交于，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，故即為與底面所成角，因?yàn)榕c底面所成角為，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，故為中點(diǎn)，且，故A到平面的距離為；【小問2詳解】由（1）可知平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，又，所以，取中點(diǎn)，連接，則平行，因?yàn)槠矫?，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.22.在平面直角坐標(biāo)系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且與坐標(biāo)