廣東省佛山市南海區(qū)2023-2024學年八年級上學期高階思維素養(yǎng)數(shù)學試卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣東省佛山市南海區(qū)八年級（上）高階思維素養(yǎng)數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.滿足的整數(shù)x的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.42.已知，下列說法正確的是(

)A.y沒有最小值，也沒有最大值 B.y有最小值，但沒有最大值

C.y有最大值，但沒有最小值 D.y既有最小值，也有最大值3.桌面上有一個由若干個立方體擺放出來的幾何造型，從左面看如圖1，從正面看如圖2，則桌面上的立方體的個數(shù)最少和最多分別為(

)

A.6個、18個 B.6個、20個 C.12個、20個 D.12個、22個4.商店進貨一種商品，若進貨價便宜，而售價保持不變，那么利潤可由目前的增加到，則a的值為(

)A.8 B.10 C.12 D.155.設a，b為實數(shù)，函數(shù)滿足：當時，有，則ab的最大值為(

)A. B. C. D.6.如圖，在長方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且，點B關于EF的對稱點恰好落在AD邊上，連接，點F關于的對稱點恰好落在CD邊上，則的值為(

)A.

B.

C.

D.7.在1，4，7，10，…，2023中任選m個數(shù)，若要使得其中必有兩數(shù)的和等于2024，則m的最小值為(

)A.337 B.338 C.339 D.3408.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是銳角的三邊BC，CA，AB上的點，且AD，BE，CF相交于點P，，設，，，若，則(

)

A.18 B.24 C.28 D.34二、填空題：本題共7小題，每小題8分，共56分。9.已知，則______10.放有小球的若干個盒子排成一行，從左到右分別記為第1個盒、第2個盒、第3個盒、….已知第1個盒里有a個小球，第2個盒里有個小球，且每六個相鄰的盒里共有20個小球其中那么第50個盒里有______個小球用含a的式子表示11.如圖，在中，，，，，則點N到邊BC的距離等于______.

12.在中，，，點D為AB的中點，點P在AC上，且，將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應點為點Q，連接AQ，當時，AQ的長為______.13.已知是關于x的一個四次多項式，若，，則的個位數(shù)字為______.14.設m與n為正整數(shù)，且，則的所有可能值的總和是______.15.直線l：交x軸于點A，交y軸負半軸于點P，已知點N的橫坐標為，過點N的直線交直線l于點M，則的值為______.三、解答題：本題共3小題，共54分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題16分

問題提出：有兩只水桶，容量分別為11升、7升.現(xiàn)設法從水井中取出2升的水最終兩只水桶內(nèi)的水共有2升

取水方案1：小桶裝5次水，由大桶倒出3次水.

具體操作如下：

第一回：用小桶裝滿水，全部倒入大桶中，此時小桶有0升水，大桶有7升水；

第二回：再用小桶裝滿水，往大桶中倒?jié)M，此時小桶有3升水，大桶有11升水；

第三回：將大桶水全部倒回水井，然后將小桶的3升水倒入大桶，此時小桶有0升水，大桶有3升水；

第四回：將小桶裝滿，全部倒入大桶中，此時小桶有0升水，大桶有10升水；

第五回：將小桶裝滿，往大桶中倒?jié)M，此時小桶有6升水，大桶有11升水；

第六回：將大桶水全部倒回水井，然后將小桶的6升水倒入大桶，此時小桶有0升水，大桶有6升水；

第七回：將小桶裝滿，往大桶中倒?jié)M，此時小桶有2升水，大桶有11升水，將大桶水全部倒回水井.最終兩只水桶內(nèi)的水共有2升.

問題：

寫出其它3種不同的取水方案不需寫出每種方案具體操作

試寫出一般化的取水方案.17.本小題18分

如圖，三個斜邊彼此不等的等腰，，其中：，，，證明：P為線段AB的中點.18.本小題20分

我們來研究下面的表格問題：在的方格表中放入8個棋子，如果每行每列恰有2個棋子，共有多少種放置方法？可以發(fā)現(xiàn)，對一種放置方法交換兩行或交換兩列，以及一系列的這樣操作，就可以得到別的放置方法.

考慮如圖1的放置方法，通過交換行列的一系列變換，可以得到多少不同的放置方法？

類似地，如圖2的放置方法，通過交換行列的一系列變換，可以得到多少不同的放置方法？

證明：任何放置方法都能通過一系列行列交換變?yōu)?、兩種情況之一，由此給出所有的放置方案數(shù).

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：，

，

，

整數(shù)，2，3，共3個，

故選：

先進行分母有理化，然后估算無理數(shù)的大小，得出x的取值范圍，再找出符合條件的整數(shù)即可．

本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握估算無理數(shù)大小的方法是解題的關鍵．2.【答案】D

【解析】解：，

當時，；

當時，，當時，y最大，為2，當時，y最小，為；

當時，；

綜上，y既有最小值，也有最大值，

故選：

分三種情況討論：當時，當時，當時，分別化簡絕對值，然后找出最大值和最小值即可．

本題考查了絕對值，熟練掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關鍵．3.【答案】B

【解析】解：如圖所示：

小立方體的個數(shù)最少是個；最多是個小立方體．

故選：

利用左視圖以及主視圖可以得出這個幾何體最少的塊數(shù)、以及最多的塊數(shù)．

本題考查了由三視圖判斷幾何體．由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．4.【答案】D

【解析】解：設進價為m元，則售價為元，

根據(jù)題意得：，

即，

解得：，

的值為

故選：

設進價為m元，則售價為元，根據(jù)“若進貨價便宜，而售價保持不變，那么利潤可由目前的增加到”，可列出關于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．5.【答案】B

【解析】解：分兩種情況討論：

①，此時單調(diào)遞增，

當時，有，

則，

所以，

則此時，ab的最大值為；

②，此時單調(diào)遞減，

當時，有，

則，

所以，

則此時，ab的最大值為時，

綜上，ab的最大值為，

故選：

分兩種情況討論：①，②，分別計算即可．

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是分類討論思想的應用．6.【答案】A

【解析】解：連、、、、

，

設，

點B和點關于EF對稱，

垂直平分

，

，

，

，

，

，

，

，

，

點F與點關于對稱，

，，

，

，

，

，

，

，

故選：

設，利用對稱得EF垂直平分故，，由，得，再由對稱得，，通過換算得，故，最后再計算即可．

本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，利用對稱的性質(zhì)是解題關鍵．7.【答案】B

【解析】解：由得，

，

，4，7，，203共675個數(shù)，

，，，1012，其中兩個數(shù)的和等于2024的共337組，

的最小值為338，

故選

先得出這組數(shù)共675個，其中和是2024的有337組，進而得出結(jié)果．

本題考查了數(shù)的規(guī)律等知識，解決問題的關鍵是將數(shù)進行分組．8.【答案】B

【解析】解：如圖，作，，

則，

，

，，

，

同理：，，

，

，

即，

，

，

故選：

先求證，同理，，再利用，將分式化簡，再將代入即可．

此題主要考查學生對三角形面積計算的理解和掌握，解答此題的關鍵是求證，，此題有一定的拔高難度，屬于難題．9.【答案】

【解析】解：，

，，

，

已知等式化簡，得，

，

，

，

，

，

則

故答案為：

根據(jù)，得出，將已知等式化簡，可得，以及，即可求出n，m的值，即可得出答案．

此題主要考查了算術(shù)平方根以及絕對值的性質(zhì)，根據(jù)題意得出n，m的值是解決問題的關鍵．10.【答案】

【解析】解：由題意可得，

……2，

第50個盒里有個球，

故答案為：

根據(jù)題意可知：每六個盒子一個循環(huán)，然后即可計算出第50個盒里有多少個小球．

本題考查列代數(shù)式、數(shù)字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點．11.【答案】

【解析】解：如圖，設，，，

，

，

是的外角，

，

即，

，

，

，

，

，

，

點N到邊BC的距離

故答案為：

要求點N到邊BC的距離，需要知道的度數(shù)，可設，，，利用三角形外角性質(zhì)，容易得出，而，等量代換，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求，再利用角的正弦函數(shù)值，可求距離．

本題利用了三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值．注意解此題可設出未知數(shù)，表示角的時候比較容易計算．12.【答案】或

【解析】如圖，

，，

，

點D為AB的中點，

，，

，

點C、D、Q在同一條直線上，

由旋轉(zhuǎn)得，

分兩種情況：當點Q在CD上，

在中，，

，

當點Q在DC的延長線上，

在中，，

，

綜上所述，當時，AQ的長為或，

故答案為：或

先證點C、D、Q在同一條直線上，再分兩種情況討論，當點Q在CD上，當點Q在DC的延長線上，利用勾股定理分別進行計算即可解答．

本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形，分兩種情況進行討論是解題的關鍵．13.【答案】4

【解析】解：，

可以設這個四次多項式為，

由，得，

，

解得，

，

，

，

得尾數(shù)是

由，可設，再將，代入求出a和b，進而得解．

本題主要考查了因式分解和列代數(shù)式求值，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．14.【答案】18

【解析】解：，

，

，

，

為正整數(shù)，

，

，

先確保n為整數(shù)，而為整數(shù)，

必為整數(shù)，

的值1或3或43或129，

再確保m為正整數(shù)，

解得或118，

當時，，此時，

當時，，此時，

的所有可能值的總和是

故答案為：

將原式中的兩個字母分別移到等式的兩側(cè)，得，再利用平方差公式將等式右側(cè)變形為一個整式加分式的結(jié)構(gòu)，得，易知為整數(shù)，得出此時m的值，結(jié)合m為正整數(shù)得到m的所求取值，再出與之對應的n的取值，最后進一步即可得解．

本題主要考查整數(shù)問題的綜合運用，這類問題綜合性比較強，會同不同方面考查整數(shù)的相關知識，要解答此類問題，需要對整數(shù)知識熟練掌握，問題難度比較大，綜合性強．15.【答案】2

【解析】解：如圖，設NM與x軸的交點為H，過M作軸于G，過H作軸，HD交MP于D點，

即：，連接ND，ND交y軸于C點．

由與x軸交于H點，

由與交于M點，

，

而，

為HG的中點，，，

≌，

，

又因為N點的橫坐標為，且在上，

，

同理：，，

關于y軸對稱點為D，

是ND的垂直平分線，

，ND平行于x軸，

易知≌，

，

，

故答案為：

依據(jù)題意，設NM與x軸的交點為H，分別過M、H作x軸的垂線，垂足為G，HD交MP于D點，求出H的坐標，證≌，≌，推出代入即可求出答案．

本題主要考查了兩條直線相交或平行問題、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．16.【答案】解：方案一：大桶裝4次水，由小桶倒出6次水；

方案二：①11升裝滿，倒?jié)M7升桶剩4升，②7升的倒空后，11升里的4升倒7升桶里，③裝滿11升的桶，把有4升水的7升桶倒?jié)M，11升桶剩8升水，④再倒?jié)M7升桶，則11升桶剩1升水，⑤1升水倒7升桶里，再把11升桶倒?jié)M，然后用11升桶里的水倒?jié)M7升桶，則11升桶里升5升水，⑥5升水盛在7升的桶里，然后用11升滿桶水倒?jié)M，則11升桶里剩9升水，⑦再倒?jié)M7升的空桶，則11升桶里剩2升水；

方案三：①7升兩次裝滿，倒?jié)M11升桶剩3升，②11升的倒空后，7升里的3升倒11升桶里，③7升兩次裝滿，把有3升水的11升桶倒?jié)M，7升桶剩6升水，④11升的倒空后，7升里的3升倒11升桶里，⑤1升水倒7升桶里，再把11升桶倒?jié)M，然后用11升桶里的水倒?jié)M7升桶，則11升桶里升5升水，⑥5升水盛在7升的桶里，然后用11升滿桶水倒?jié)M，則11升桶里剩9升水，⑦再倒?jié)M7升的空桶，則11升桶里剩2升水；

第一回：用大桶裝滿水，全部倒入小桶中，此時小桶有7升水，大桶有4升水；

第二回：將小桶水全部倒回水井，大桶再倒入小桶，此時小桶有4升水，大桶有0升水；

第三回：將大桶水裝滿水，然后倒?jié)M小桶，此時小桶有7升水，大桶有8升水；

第四回：將小桶水全部倒回水井，大桶倒入小桶中，此時小桶有7升水，大桶有1升水；

第五回：將小桶水全部倒回水井，大桶倒入小桶中，此時小桶有1升水，大桶有0升水；

第六回：將大桶裝滿水，將大桶倒入小桶，此時小桶有7升水，大桶有5升水；

第七回：將小桶水全部倒回水井，大桶倒入小桶中，此時大桶有9升水，小桶有7升水，將小桶水全部倒回水井；

第八回：將小桶水全部倒回水井，大桶倒入小桶中，此時大桶有2升水，小桶有7升水，將小桶水全部倒回水井．最終大水桶內(nèi)的水共有2升．

【解析】充分利用11與7的和、差、積進行運算，最終得到2就可以了．

本題運用實際生活中的問題考查整數(shù)的和差倍積，找到所需的水量．17.【答案】證明：如圖，延長DP至點F，使得，連接EF、BF，

則，，

是等腰直角三角形，

，

，

又，，

≌，

故，

連接AP、BP，

，

，

，，

≌，

，，

當，則A、D、P，B、F、P分別三點共線，

、P、F三點共線，

、P、B三點共線，

，

為線段AB的中點；

當CD與PE不平行時，由于點A、B在直線DF兩側(cè)，而D、P、F三點共線，，

、P、B三點共線，即點P在線段AB上，

，

為線段AB的中點．

【解析】延長DP至點F，使得，連接EF、BF，證明≌，連接AP、BP，證明≌，當，則A、D、P，B、F、P分別三點共線，因為D、P、F三點共線，所以A、P、三點共線；當CD與PE不平行時，由于點A、B在直線DF兩側(cè)，而D、P、F三點共線，，證明A、P、B三點共線，即可得證．

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．18.【答案】解：對于圖1，我們可以通過交換兩行或兩列來得到不同的放置方法．

首先，我們可以固定第一行不動，然后交換第二行和第三行，接著再交換第四行和第一行，這樣就得到了第一種情況．

接下來，我們固定第二行不動，然后交換第一行和第四行，再交換第三行和第二行，也回到了第一種情況．

同樣地，我們可以固定第三行或第四行不動，通過類似的操作回到第一種情況．

此外，我們還可以固定第一列不動，然后交換第二列和第三列，再交換第四列和第一列，得到第二種情況．

同理，固定第二列或第三列不動，也能通過交換其他列回到第二種情況．

綜上所述，通過交換行或列，我們可以得到

種不同的放置方法．

對于圖2，我們同樣可以通過交換兩行或兩列來得到不同的放置方法．

首先，我們固定第一行不動，然后交換第二行和第三行，再交換第四行和第一行