四川省瀘縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試文試題含解析

Page172024-2025學(xué)年秋期高二期末考試文科數(shù)學(xué)留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上．2．考試結(jié)束后，將本試卷自己保管，答題卡交回3．考試時(shí)間：120分鐘第I卷選擇題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線與直線平行，則的值為（）A. B.3 C.3或 D.或6【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行得到方程，求出或，通過檢驗(yàn)舍去不合要求的解.詳解】直線：與直線：平行，所以，解得：或，①當(dāng)時(shí)，：，：，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，：，：，均為，此時(shí)，重合，舍去，故，故選：B2.某高校組織高校生學(xué)問競賽，共設(shè)有5個(gè)版塊的試題，分別是“中華古詩詞”“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”“科學(xué)實(shí)踐觀”“中國近代史”及“創(chuàng)新發(fā)展實(shí)力”.某參賽隊(duì)從中任選2個(gè)版塊作答，則“創(chuàng)新發(fā)展實(shí)力”版塊被該隊(duì)選中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將五個(gè)版塊依次記為A，B，C，D，E，利用列舉法寫出樣本空間，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式計(jì)算即可求解.【詳解】將五個(gè)版塊依次記為A，B，C，D，E，則有共10種結(jié)果.某參賽隊(duì)從中任選2個(gè)版塊作答，則“創(chuàng)新發(fā)展實(shí)力”版塊被該隊(duì)選中的結(jié)果有，共4種，則“創(chuàng)新發(fā)展實(shí)力”版塊被選中的概率為，故選：B.3.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩名員工連續(xù)5天內(nèi)的日產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：箱）.已知這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則（）A. B.C. D.，的大小關(guān)系不確定【答案】C【解析】【分析】由中位數(shù)與平均數(shù)的概念求解，【詳解】由題意得兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為83，則，則，，故選：C4.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，令方程右邊的常數(shù)1為0，兩邊開平方，即可得到答案．【詳解】雙曲線，由方程，可得雙曲線的漸近線方程為．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡潔性質(zhì)的應(yīng)用，考查漸近線的方程求法，屬于基礎(chǔ)題．5.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則以為直徑的圓方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求圓的圓心和半徑，依據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓的方程為﹒故選：B﹒6.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.外切 C.內(nèi)切 D.相交【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩圓的圓心距以及圓的半徑和和半徑差的大小關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：即的圓心為，半徑為.故，，所以圓M與圓N內(nèi)切．故選：C.7.曲線?（）A.關(guān)于?軸對(duì)稱 B.關(guān)于?軸對(duì)稱 C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.不具有對(duì)稱性【答案】C【解析】【分析】將點(diǎn)，，分別代入方程，即可檢驗(yàn)對(duì)稱性.【詳解】對(duì)于A，將點(diǎn)代入曲線方程得：，所以曲線不關(guān)于軸對(duì)稱，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將點(diǎn)代入曲線方程得：，所以曲線不關(guān)于軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將點(diǎn)代入曲線方程得：，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C8.若下面的程序框圖輸出的是30，則條件①可為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列舉法，通過循環(huán)過程干脆得出與的值，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，退出循環(huán)，從而可得推斷框的條件．【詳解】循環(huán)前，，，第1次推斷后循環(huán)，，，第2次推斷并循環(huán)，，，第3次推斷并循環(huán)，，，第4次推斷并循環(huán)，，，第5次推斷不滿意條件①并退出循環(huán)，輸出．條件①應(yīng)當(dāng)是或故選：B9.已知直線與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用點(diǎn)線距離公式算得圓心到直線的距離，從而利用弦長公式求得，再利用圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最值求法求得點(diǎn)P到直線的最大距離，由此可求得面積的最大值.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑為，如圖，所以圓心到直線的距離，則，又點(diǎn)P到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值．故選：A..10.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過作于，依據(jù)拋物線的定義可知，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值，答案可得.【詳解】解：拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，如圖，過作于，由拋物線的定義可知，所以則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為.所以的最小值為.故選：C.11.2024年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽，競賽于2024年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場實(shí)行．已知某足球的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、P滿意PA＝BC＝5，，，則該足球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把四面體外接球問題擴(kuò)展到長方體中，求出長方體外接球半徑為R，進(jìn)而求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)镻A＝BC，，，所以可以把A，B，C，P四點(diǎn)放到長方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，將四面體放入長方體中，四面體各邊可看作長方體各面的對(duì)角線，如圖所示：則該足球的表面積為四面體A-BCP外接球的表面積，即為長方體外接球的表面積，設(shè)長方體棱長為a，b，c，則有，，，設(shè)長方體外接球半徑為R，則有，解得，所以外接球的表面積為：.故選：D．12.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是過坐標(biāo)原點(diǎn)O且傾斜角為60°的直線l與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)，且則雙曲線C的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由得到，，結(jié)合，求出，，利用雙曲線定義得到方程，求出離心率.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，由題意得：，即，故，故，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，故為等邊三角形，故，，由雙曲線定義可知：，即，解得：.故選：C.第II卷非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于__________.【答案】【解析】【分析】先將拋物線方程，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程是，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，所以拋物線開口方向向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為：，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長為______．【答案】2【解析】【分析】作圖，利用圓心到定點(diǎn)的距離、半徑、切線長滿意勾股定理可得.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，則圓心，半徑1，如圖，設(shè)，，切線長．故答案為：215.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿意，且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)把函數(shù)的解析式寫成分段函數(shù)的形式，并推斷出單調(diào)性，結(jié)合已知、可以確定實(shí)數(shù)的取值范圍以及它們之間的關(guān)系，依據(jù)這個(gè)關(guān)系可以把代數(shù)式寫成關(guān)于中一個(gè)變量的形式，再構(gòu)造新函數(shù)，用單調(diào)性的定義推斷出新函數(shù)的單調(diào)性，最終利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋驗(yàn)閮啥魏瘮?shù)均為單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)滿意，且，所以有,由得，，于是，則，所以，令，任取，則，因?yàn)椋?，，因此，所以函?shù)在上單調(diào)遞增；因此，即.故答案為：16.設(shè)，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答17.某學(xué)校進(jìn)行體驗(yàn)，現(xiàn)得到全部男生的身高數(shù)據(jù)，從中隨機(jī)抽取人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（已知這個(gè)身高介于到之間），現(xiàn)將抽取結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，其次組，，第八組，并按此分組繪制如圖所示的頻率分布直方圖，其中第六組和第七組還沒有繪制完成，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組和第七組人數(shù)的比為．（）補(bǔ)全頻率分布直方圖；（）依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這位男生身高的中位數(shù)；（）用分層抽樣的方法在身高為內(nèi)抽取一個(gè)容量為的樣本，從樣本中隨意抽取位男生，求這兩位男生身高都在內(nèi)的概率．【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【解析】【詳解】試題分析：（1）先分別算出第六組和第七組的人數(shù)，進(jìn)而算出其頻率與組距的比，補(bǔ)全直方圖；（2）利用中位數(shù)兩邊頻率相等，求出中位數(shù)的值；（3）先借助分層抽樣的特征求出第四、第五組的人數(shù)，再運(yùn)用列舉法列舉出全部可能數(shù)及滿意題設(shè)的條件的數(shù)，運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式求解：解：（1）第六組與第七組頻率的和為：∵第六組和第七組人數(shù)的比為5：2.∴第六組的頻率為0.1，縱坐標(biāo)為0.02；第七組頻率為0.04，縱坐標(biāo)為0.008.（2）設(shè)身高的中位數(shù)為，則∴估計(jì)這50位男生身高的中位數(shù)為174.5（3）由于第4，5組頻率之比為2：3，依據(jù)分層抽樣，故第4組中應(yīng)抽取2人記為1，2，第5組應(yīng)抽取3人記為3，4，5則全部可能的狀況有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}共10種滿意兩位男生身高都在[175，180]內(nèi)的狀況有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3種，因此所求事務(wù)的概率為．18.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；（2）見解析

【解析】【分析】（1）依據(jù)一元二次不等式解法可知2，3為方程的兩個(gè)根，然后利用韋達(dá)定理求解即可；

（2）化簡，探討a的取值分別求解不等式即可．【小問1詳解】由條件知，關(guān)于x的方程的兩個(gè)根為2和3，所以，解得．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得或；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得或．綜上可知，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．19.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，．（1）求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由圓與直線相切結(jié)合點(diǎn)線距離公式可得半徑，即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別探討直線l與x軸垂直與否，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理、點(diǎn)線距離公式列方程即可解得參數(shù).【小問1詳解】設(shè)圓A半徑為R，由圓與直線相切得，∴圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】i.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，即，此時(shí)，符合題意；ii.當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)方程為，即，Q是MN的中點(diǎn)，，∴，即，解得，∴直線l為：.∴直線l的方程為或.20.如圖四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）若在線段上，且，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意結(jié)合余弦定理可求得，由勾股定理可證，結(jié)合線面垂直的判定定理可證；（2）依據(jù)題意結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理可得平面，利用錐體的體積公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】∵四邊形為等腰梯形，且，∴，又∵，則，即，∴，則，即，又∵，，平面，∴平面.【小問2詳解】∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面，由題意可得：等腰直角三角形，則，又∵，∴三棱錐的體積.21.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),,為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】（1）.（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)拋物線的定義即可求得，即得答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，消去x，設(shè)，可得，結(jié)合點(diǎn)在拋物線方程上化簡，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由拋物線方程可得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)F距離為4，由拋物線的性質(zhì)可知到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即，解得，故拋物線方程為：.【小問2詳解】證明：因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)，與拋物線交于不同的兩點(diǎn),,所以設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)馬上,消去x得，，設(shè)，所以，由于，,所以,即為定值.22.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）過F作兩條斜率不為0且相互垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點(diǎn)為M，線段CD的中點(diǎn)為N，證明：直線過定點(diǎn)，