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江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研試題留意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀本留意事項(xiàng)及各題答題要求:1.本卷共6頁(yè),包含單項(xiàng)選擇題(第1題~第8題)、多項(xiàng)選擇題(第9題~第12題)、填空題(第13題~第16題)、解答題(第17題~第22題).本卷滿分150分,答題時(shí)間為120分鐘.答題結(jié)束后,請(qǐng)將答題卡交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且是等比數(shù)列,且,,則()A.16 B.4 C.8 D.2.直線的傾斜角是()A. B. C. D.3.設(shè)數(shù)列各項(xiàng)非零,且平面的法向量為,直線的方向向量為,則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“平面平行于直線”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.記橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為,,右頂點(diǎn)為.過(guò)且傾斜角為30°的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為,且在軸上的投影為.連接,的方向向量,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.5.如圖,正方形的邊長(zhǎng)為14cm,,,,依次將,,,分為的兩部分,得到正方形,依照相同的規(guī)律,得到正方形、、…、.一只螞蟻從動(dòng)身,沿著路徑爬行,設(shè)其爬行的長(zhǎng)度為,為正整數(shù),且與恒滿意不等式,則的最小值是()A.19 B.20 C.21 D.226.已知數(shù)列,且,記其前項(xiàng)和為.若是公差為的等差數(shù)列,則()A.200 B.20240 C.10500 D.101007.如圖1所示是素描中的由圓錐和圓柱簡(jiǎn)潔組合體,抽象成如圖2的圖像.已知圓柱的軸線在平面內(nèi)且平行于軸,圓錐與圓柱的高相同.為圓錐底面圓的直徑,,且.若到圓所在平面距離為2.若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.8.在寫生課上,離身高1.5m的絮語(yǔ)同學(xué)不遠(yuǎn)的地面上水平放置著一個(gè)半徑為0.5m的正圓,其圓心與絮語(yǔ)同學(xué)所站位置距離2m.若絮語(yǔ)同學(xué)的視平面,,且,,則絮語(yǔ)同學(xué)視平面上的圖形的離心率為()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共計(jì)20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得2分,選錯(cuò)或不答的得0分.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.9.已知直線,,設(shè)兩直線分別過(guò)定點(diǎn)、,直線和直線的交點(diǎn)為,則下列結(jié)論正確的是()A.直線過(guò)定點(diǎn),直線過(guò)定點(diǎn) B.C.面積的最大值為5 D.若,,則恒滿意10.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的左焦點(diǎn)為,且與拋物線有公共的焦點(diǎn).若是上的一點(diǎn),下列說(shuō)法正確的是()A.和不存在交點(diǎn) B.若,則直線與相切C.若是等腰三角形,的坐標(biāo)是D.若,則的橫坐標(biāo)為11.數(shù)列是百余年前的發(fā)覺(jué),在近代數(shù)論中有廣泛的應(yīng)用。數(shù)列是把中的分母不大于的分子與分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)從小到大排成一列,該數(shù)列稱為階數(shù)列,記為,并記其全部項(xiàng)之和為.數(shù)列還有一個(gè)奇妙的性質(zhì).若設(shè)的相鄰兩項(xiàng)分別為,,則.下列關(guān)于數(shù)列說(shuō)法正確的是()A. B.數(shù)列中共有18項(xiàng)C.當(dāng)時(shí),的最中間一項(xiàng)肯定是 D.若中的相鄰三項(xiàng)分比為,,,則12.如圖1,《瀑布》是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個(gè)幾何體,左塔上方是聞名的“三立方體合體”(圖2).在棱長(zhǎng)為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系(原點(diǎn)為該正方體的中心,,,軸均垂直該正方體的面),將該正方體分別圍著軸,軸,軸旋轉(zhuǎn)45°,得到的三個(gè)正方體,結(jié)合在一起便可得到一個(gè)高度對(duì)稱的“三立方體合體”(圖7).在圖7所示的“三立方體合體”中,下列結(jié)論正確的是()A.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,則B.設(shè),則C.點(diǎn)到平面的距離為D.若為線段上的動(dòng)點(diǎn),則直線與直線所成角最小為三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,若兩個(gè)空,第一個(gè)空2分,其次個(gè)空3分,共計(jì)20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知,,且,則______.14.若數(shù)列和數(shù)列同時(shí)滿意,,,,則______,______.15.若,且在上,在圓上,則的最小值為_(kāi)_____.16.已知圓的直徑上有兩點(diǎn),,且有,為圓的一條弦,則的范圍是______.四、解答題:本大題共6小題,共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)平常所說(shuō)的樂(lè)理,一般是指音樂(lè)理論中的基礎(chǔ)部分,關(guān)于基礎(chǔ)的音樂(lè)理論的著作浩如煙海,是學(xué)習(xí)音樂(lè)的必修課程.我們平常所說(shuō)的樂(lè)理,一般是指音樂(lè)理論中的基礎(chǔ)部分,解決有關(guān)聲音的性質(zhì)、律制、記譜法、音樂(lè)的基本要素、音與音之間結(jié)合的基本規(guī)律等等,而記譜(和讀譜)的方法是其中很重要的一個(gè)部分。音樂(lè)是人類共同的語(yǔ)言.音樂(lè)中,我們常用音階描述音符音調(diào)凹凸的關(guān)系,即1(do),2(re),3(mi),4(fa),5(sol),6(la),7(ti),i(do).如圖,在鋼琴上,一個(gè)八度內(nèi)白鍵、黑鍵共有13個(gè)(不計(jì)入圖中最右側(cè)的半個(gè)黑鍵),相鄰琴鍵對(duì)應(yīng)的音符頻率比相等且1的頻率與的頻率比為2.(1)若兩音與的音程關(guān)系為一度,求兩音的頻率比;(2)利用“五度相生”可以構(gòu)造出被稱為“宮商角徵羽”的五聲音階.設(shè)1的頻率為,在1的基礎(chǔ)上不斷上升五度,生成新的音符,并為便利分辨新的音符,將生成的頻率大于的音降一個(gè)八度,請(qǐng)你利用五度相生的理論推斷出“宮商角徵羽”可能對(duì)應(yīng)的音符(無(wú)需一一對(duì)應(yīng)).參考數(shù)據(jù):1234567891011121.051.121.181.251.331.411.491.581.681.781.89218.(本小題滿分12分)已知拋物線,記其焦點(diǎn)為.設(shè)直線到在直線左側(cè)的拋物線上的一點(diǎn)的距離為,且.(1)求的方程;(2)如圖,過(guò)焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、,且的斜率恒大于0.若分別交于兩點(diǎn),交拋物線于、兩點(diǎn),證明:為定值.19.(本小題滿分12分)如圖,三棱錐中,,且平面平面,,設(shè)為平面的重心,為平面的重心.(1)棱可能垂直于平面嗎?若可能,求二面角的正弦值,若不行能,說(shuō)明理由;(2)求與夾角余弦值的最大值.20.(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中,存在兩定點(diǎn),與一動(dòng)點(diǎn).已知直線與直線的斜率之積為3.(1)求的軌跡;(2)記的左、右焦點(diǎn)分別為、.過(guò)定點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn).若、兩點(diǎn)滿意,求的方程.21.(本小題滿分12分)(1)如圖,一個(gè)半徑為的圓在一條直線上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng),與軸的切點(diǎn)為,設(shè),圓上一點(diǎn).①設(shè)平行于軸的單位向量為,平行于軸的單位向量為,用表示;②在①的條件下,用題中所給字母表示,并以的形式寫出運(yùn)動(dòng)軌跡的方程.(2)如圖,設(shè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)從起先,以的角速度圍著軸作圓周運(yùn)動(dòng),同時(shí)沿著平行于軸向上作線速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng).用題中所給字母表示的運(yùn)動(dòng)軌跡的方程.22.(本小題滿分12分)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一橢圓,記兩焦點(diǎn)分別為,,且.(1)求的方程;(2)設(shè)上有三點(diǎn)、、,直線、分別過(guò),,連接.①若,求的面積;②證明:當(dāng)面積最大時(shí),必定經(jīng)過(guò)的某個(gè)頂點(diǎn).蘇州市2024~2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研卷高二數(shù)學(xué)參考答案 2024.01一、單項(xiàng)選擇題:題號(hào)12345678答案CBDCCDCD1.【答案】C【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì),,,,因此,取,所以,,因此,,因此.2.【答案】B【解析】直線方程可化為,可知傾斜角滿意,因此.3.【答案】D【解析】若已知數(shù)列為等比數(shù)列,則可知,因此,所以可知,但無(wú)法得知是否在平面內(nèi),因此充分性不成立;若已知平面平行于直線,則可知,依據(jù)定義,及即可得到,即,但不能認(rèn)為為等比數(shù)列,即必要性不肯定成立.4.【答案】C【解析】畫出圖形:由于,可知,即.由此得到,,,所以離心率.5.【答案】C【解析】由題意可知,,.所以,因此由數(shù)學(xué)歸納的思想可知,.設(shè)數(shù)列,則,因此,選C.6.【答案】D【解析】簡(jiǎn)潔得到的首項(xiàng),因此,,將替換為,則有,兩式相減得.由于,,所以,可得,因此,所以.7.【答案】C【解析】設(shè),.,,所以,,所以所以,,這里取,所以,,因此由余弦定理,.8.【答案】D【解析】畫出題中所述圖:可知圓在視平面上得到的是橢圓,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為圓的直徑,即通過(guò)相像關(guān)系,由及,代入數(shù)據(jù):,,所以,所以,,所以.二、多項(xiàng)選擇題:題號(hào)9101112答案ABBDCDACD9.【答案】AB【解析】對(duì)于A,可化作,可發(fā)覺(jué)過(guò)定點(diǎn),同理,過(guò)定點(diǎn),A正確;對(duì)于B,可知恒成立,因此是以為直徑的圓上的點(diǎn),依據(jù)定義,,B正確;對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,可知在圓上運(yùn)動(dòng),設(shè),而由題設(shè),化簡(jiǎn)可得,與的方程不符合,故D錯(cuò)誤.10.【答案】BD【解析】對(duì)于A,聯(lián)立:,發(fā)覺(jué)有解,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,因此的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,解得僅一解,B正確;對(duì)于C,不在拋物線上,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,,,因此,解得D正確.11.【答案】CD【解析】對(duì)于A,每個(gè)數(shù)列內(nèi)同分母的全部項(xiàng)相加不等于1,也不成立,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,列舉可得:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共19項(xiàng),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由于數(shù)列依據(jù)大小排列,因此中間一項(xiàng)肯定為,C正確;對(duì)于D,由于,,整理即可得到,D正確.12.【答案】ACD【解析】正方體棱長(zhǎng)為2,面對(duì)角線長(zhǎng)為,由題意,,,,旋轉(zhuǎn)后,,,,,,,,,,,,對(duì)于A,旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,正方體的頂點(diǎn)到中心的距離不變,始終為,因此選項(xiàng)A中,,2,3,正確;,設(shè),則,,,則存在實(shí)數(shù),使得,,,,∴,B錯(cuò)誤;,,設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則,令,得,又,∴到平面的距離為,C正確;,設(shè),,,,令,則∴,又,,所以,即,,所以,夾角的最小值為,從而直線與直線所成角最小為,D正確.三、填空題:13. 14.; 15.1 16.13.【答案】【解析】,.14.【答案】;【解析】令前式-后式,化簡(jiǎn)可得①,令前式+后式,化簡(jiǎn)可得②由①,且,故是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.可得由②,且,故是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.可得所以.15.【答案】1【解析】如圖,等號(hào)在、、共線時(shí)取到.16.【答案】【解析】方法一:以方向?yàn)檩S,為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則,,,.由于圓,故設(shè),,則,化簡(jiǎn)可得:,因此.令,則,等號(hào)可取.,令,則,等號(hào)可取.綜上,.方法二:由于,且.所以,所以.四、解答題:17.本題考查數(shù)列的定義及其數(shù)學(xué)文化,考察了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理實(shí)力,本題滿分10分.解:(1)由題,若兩個(gè)音距離一個(gè)八度,則頻率比為2,所以若兩個(gè)音的音程為一度,半個(gè)音(即相鄰琴鍵)之間的頻率比為,……2分所以兩個(gè)成一度之間的音符頻率比為.……4分(2)通過(guò)五聲調(diào)式,可以先構(gòu)成一組“五聲調(diào)式”:,,,,,,…………6分將其中大于的降一個(gè)八度,即除以:,,,,,,…………9分依據(jù)參考數(shù)據(jù)可以估計(jì)得到,五個(gè)音分別為1,5,2,6,3.因此“宮商角徵羽”對(duì)應(yīng)的音高為1,2,3,5,6.……10分18.本題考察拋物線的定義,同時(shí)考察學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)力,本題滿分12分.解:(1)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線的方程為,則可知,解得,……2分所以的方程為.……3分(2)作于,于.由拋物線定義,,,……5分又因?yàn)椋?,所以,,…?分由此,,,所以,,……10分所以,為定值.……12分19.本題考察空間向量的運(yùn)算與應(yīng)用,考察學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的實(shí)力,本題滿分12分.解:(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接,由于,因此,又因?yàn)槠矫嫫矫?,所以平?以為原點(diǎn)作空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè),則.……2分所以,,.設(shè)平面的法向量為,則有,所以取,則.因?yàn)槔饪赡艽怪庇谄矫?,所以,則,無(wú)解,所以不行能……4分(2)由重心的性質(zhì),,同理,所以……7分,所以……8分設(shè),令,則,……10分.令,,,則,因?yàn)?,,所以,即,又因?yàn)椋栽谏鲜菧p函數(shù)……11分因此,因此,求與夾角余弦值的最大值為.……12分20.本題考察雙曲線的定義與幾何性質(zhì),同時(shí)考察學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的實(shí)力,本題滿分12分.解:(1)設(shè),由題意,化簡(jiǎn)可得所以的軌跡為.……3分(不去點(diǎn)扣1分)(2)由向量積的幾何意義,作,垂足為.所以,因此,.……5分設(shè),聯(lián)立:,可得二次方程判別式有,解得……6分由方程可得,,……7分由弦長(zhǎng)公式……9分解得,,,……11分因此的方程為或.……12分(注:每少一個(gè)解扣1分)21.本題考察向量的綜合運(yùn)用,同時(shí)考察學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等實(shí)力,本題滿分12分.解:(1)①.……2分②由題,,可以分解為.……4分所以,……5分因此的運(yùn)動(dòng)軌跡可以表示為.……6分(2)設(shè)該坐標(biāo)系的基底為.……7分設(shè)在平面內(nèi)的投影為,所以由物理學(xué)學(xué)問(wèn),,.……8分由題設(shè),可以將記作……10分因此類似(1)②中可以表示
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