新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考理試題含解析

Page17新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次月考（理）試題一、單選題（每題5分，共60分）1.已知集合，或，則（）A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】【詳解】由并集的定義可得或.故選A.2.若復(fù)數(shù)z滿意，則（）A.10 B. C.20 D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則求得，再求其共軛復(fù)數(shù)的模．【詳解】由已知，所以．故選：B．3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先證明為奇函數(shù)可淘汰C，D選項，再利用趨向于正無窮時，可得到也趨向于正無窮，故淘汰A，即可得到答案【詳解】解：由可得定義域為，因為所以為奇函數(shù)，故淘汰C,D選項，當(dāng)趨向于正無窮時，趨向于正無窮，趨向于0，趨向于正無窮，而且指數(shù)函數(shù)趨向于正無窮的增長速率遠遠超過趨向于正無窮的增長速率，所以當(dāng)趨向于正無窮時，趨向于正無窮，故淘汰A，故選：B4.已知點是角終邊上一點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)余弦函數(shù)的定義，結(jié)合特別角的余弦值進行求解即可.【詳解】依題意點的坐標為，故選：5.下列命題正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.若給定命題，使得，則，均有C.若為假命題，則p，q均為假命題D.命題“若，則”的否命題為“若，則”【答案】B【解析】【分析】由充分必要條件，特稱命題的否定，邏輯聯(lián)結(jié)詞，否命題的學(xué)問點對選項逐一推斷【詳解】對于A，因為，所以或，因此“”是“”的必要不充分條件，故A錯誤；對于B，命題，使得的否定為，均有，故B正確；對于C，若為假命題p，q至少有一個則為假命題，故C錯誤；對于D，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故D錯誤；故選：B6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換與同角三角函數(shù)關(guān)系，弦切互化得含的式子再代入即可解出答案．【詳解】，∵，，故選：D7.函數(shù)在上的微小值點為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號改變，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性得出結(jié)論即可.【詳解】對于函數(shù)，，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間[0，]上是增函數(shù)，在區(qū)間[，]上是減函數(shù)，在[，π]是增函數(shù)．因此，函數(shù)在上的微小值點為.故選：C.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的周期，即可求出，通過五點作圖法求出，可求出，即可求出.【詳解】由圖象可知，從而，將在函數(shù)圖象上，可得：，.故選：C.9.已知符號函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先求出，再解方程即可.【詳解】解：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時．．．當(dāng)時令，即，解得成立；當(dāng)時令，即，解得成立；當(dāng)時令，即，解得成立．綜上可得解得或或．所以函數(shù)的零點個數(shù)為．故選：C10.已知函數(shù)滿意，且對隨意時，恒有成立，則當(dāng)時，實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得在，上為增函數(shù)，結(jié)合對稱性與單調(diào)性解不等式即可.【詳解】依據(jù)題意，函數(shù)滿意，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又由對隨意，，的時，恒有成立，則在，上為增函數(shù)，又由，，若，則有，解得，即的取值范圍為故選：C．11.已知函數(shù)的圖像既關(guān)于點中心對稱，又關(guān)于直線軸對稱.當(dāng)時，，則的值為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)表示函數(shù)的圖像，，依據(jù)中心對稱性與軸對稱性，可依次得，，，取，可計算得，從而可計算得.【詳解】用表示函數(shù)的圖像，對隨意的，令，則，且，利用的中心對稱性與軸對稱性，可依次推得，，，取，此時，因此.故選：B【點睛】本題考查了中心對稱與軸對稱的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是依據(jù)中心對稱與軸對稱特點表示出函數(shù)圖像上的點之間的關(guān)系，然后代值計算.12.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可推斷.【詳解】當(dāng)時，記，則，故在單調(diào)遞增，故，因此得當(dāng)時，，故，即；，設(shè)，則，因為，當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．故選：A二、填空題（每題5分，共20分）13.平面對量與的夾角為，，則_____________．【答案】【解析】【分析】首先求出，再依據(jù)數(shù)量積的定義求出，最終依據(jù)及數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】解：因為，所以，又向量與的夾角為，且，所以，所以；故答案為：14.已知，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求得即為切線斜率，由原函數(shù)求得，由直線點斜式方程整理得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，故所求切線方程為，即.故答案為：.15.若不等式對隨意恒成立，則實數(shù)m的最小值是______．【答案】【解析】【分析】因為不等式對隨意恒成立，則，由均值不等式求出的最大值即可得出答案.【詳解】因為不等式對隨意恒成立，所以，則而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．即的最大值是，．故答案：.16.已知實數(shù)滿意：，則的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，由題意可得所以有，由此可得，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負確定單調(diào)區(qū)間，從而即可求得答案.詳解】解：由已知得，，令，則，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，，令所以，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以.故答案為：.【點睛】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運用，難點在于兩次構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性求得最值，屬于難題.三、解答題（每題12分，共60分）17.已知中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且（1）求；（2）若邊上的中線長為，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理得：，結(jié)合余弦定理可得，從而求出；（2）借助平面對量表示，由向量運算及中線長可得：，結(jié)合余弦定理可得，進而利用三角形面積公式計算得解．【小問1詳解】由已知得：，由正弦定理可化為：，即，由余弦定理知，又，故．【小問2詳解】設(shè)邊上的中線為，則所以，即，所以，即①又，由余弦定理得，即②由①②得，所以．18.某校100名學(xué)生期中考試語文成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)間是：，，，，．（1）求圖中的值；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成果的平均分與中位數(shù)（結(jié)果保留2位小數(shù)）；（3）若這100名學(xué)生語文成果某些分數(shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成果相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)（）之比如表所示，求數(shù)學(xué)成果在之間的人數(shù)．分數(shù)段【答案】（1）（2）平均分73；中位數(shù)71.67（3）20【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中各小矩形面積之和等于1，即可得出答案．（2）依據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)及中位數(shù)的意義即可得出平均分及中位數(shù)；（3）由這100名學(xué)生的語文成果在之間的人數(shù)與數(shù)學(xué)成果相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)之比，即可得到數(shù)學(xué)成果在之間的人數(shù)．【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得：，解得【小問2詳解】由頻率分布直方圖可得平均分為：（分）的頻率為，的頻率為中位數(shù)為：【小問3詳解】數(shù)學(xué)成果在的人數(shù)為（人）19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中點．（1）求證：平面SCD；（2）求平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，建立空間直角坐標系，求值直線的方向向量與平面的法向量，依據(jù)向量關(guān)系，可得線面關(guān)系；（2）由（1），明確平面的法向量，依據(jù)向量夾角公式，可得答案.【小問1詳解】側(cè)棱底面ABCD，AB垂直于AD，所以以點A為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面SCD的一個法向量為，則，即，令z＝1，則x＝2，y＝－1，此時．因為，所以，平面.則平面SCD．【小問2詳解】易知平面SAB的一個法向量為，，由（1）知SCD的一個法向量為，，則，所以平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值為．20.已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上，點F是橢圓C的右焦點．（1）求橢圓C的方程；（2）過點F直線l與橢圓C交于M，N兩點，則在x軸上是否存在一點P，使得直線l繞點F無論怎樣轉(zhuǎn)動都有？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由題給條件列出關(guān)于a、b、c的方程組，解得a、b即可求得橢圓C的方程；（2）由題意可知在x軸上存在一點，使成立，據(jù)此結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求解.【小問1詳解】由題意得，解得：．所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】由題意可知．若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得，整理得．由題意可知恒成立，所以，假設(shè)在x軸上存在一點，使得x軸平分，則，所以，整理得，即，整理得，，則，即，解之得．若直線l斜率不存在時，則M，N兩點關(guān)于x軸對稱，當(dāng)點P坐標為時，x軸平分．綜上所述，在x軸上存在一點，使得x軸平分．21.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，對隨意，恒有.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分和兩種狀況探討求解即可；（2）依據(jù)題意，即證，再依據(jù)將問題轉(zhuǎn)化為證明，進而構(gòu)造函數(shù)，求救函數(shù)最小值即可.小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，①當(dāng)，即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，由得；由得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】證明：要證，即證，即證，因為，所以，所以只需證：.法一：令，則，明顯在上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一實數(shù)，使得，即，所以.所以在上，，在上，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故當(dāng)時，對隨意，恒有.法二：.令，則.所以，所以在上為增函數(shù).所以當(dāng)時，，即.①令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以當(dāng)時，，即.②①②兩式相加，得.所以，故當(dāng)時，對隨意，恒有.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題，考查運算求解實力，邏輯推理實力，分類探討思想等，是難題.本題其次問解題的關(guān)鍵在于借助將不等式轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)求解即可.三．選做題（10分，從22、23題中任選一道作答）22.在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求C的極坐標方程和l的直角坐標方程；（2）l與C交于A，B兩點，若，求．【答案】（1），（2）或．【解析】【分析】（1）由C的參數(shù)方程化為直角坐標方程，再依據(jù)公式轉(zhuǎn)化為極坐標方程，依據(jù)極坐標意義直線方程可化為直角坐標方程；（2）依據(jù)極徑的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系，由可得極角.【小問1詳解】將C的參數(shù)方程化為直角坐標方程得，即，∴C的極坐標方程為．∵l的極坐標方程為，∴l(xiāng)的直角坐標方程為．【小問2詳解】將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得．當(dāng)時