北京市豐臺(tái)區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

北京市豐臺(tái)區(qū)2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)（二）高三數(shù)學(xué)2024.04本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由補(bǔ)集和交集的定義求解.詳解】集合，，，.故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意可得復(fù)數(shù)，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的關(guān)系，熟悉概念，屬基礎(chǔ)題.3.已知數(shù)列對(duì)于任意，都有，若，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分別取，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列對(duì)于任意，都有，取，則，取，則，則.故選：C4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷奇偶性，再利用相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)判斷ACD選項(xiàng)，利用判斷B選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，是反比例函數(shù)，在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，不是單調(diào)遞增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B.5.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】舉反例即可求解ABC，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由于，取，，，無(wú)法得到，，故AB錯(cuò)誤，取,則，無(wú)法得到，C錯(cuò)誤，由于，則，所以，故選：D6.已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用給定條件得到，判斷A，利用給定條件得到判斷B，舉反例判斷C，D即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，故B正確，對(duì)于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，如果函數(shù)的圖像如圖所示，那么的值分別為（）A.1，0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，從而可得的解析式，再結(jié)合函數(shù)圖像代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，則，其中，由圖像可知，函數(shù)的最大值為，即，且，所以，，即，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)代入可得，即，或，又，則當(dāng)時(shí)，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，則，所以，.故選：A8.已知曲線與直線，那么下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，曲線與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，存在，曲線與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，曲線與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，存在，曲線與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)曲線的對(duì)稱性，分別討論當(dāng)直線與曲線的上、下半部分相切時(shí)的取值即可求解.【詳解】曲線的圖象如圖所示，若，當(dāng)直線與曲線上半部分相切時(shí)，由整理得，由得，當(dāng)直線與曲線下半部分相切時(shí)，由整理得，由得，結(jié)合曲線圖象的對(duì)稱性可得，當(dāng)或時(shí)，曲線與直線有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，曲線與直線沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，AB說(shuō)法錯(cuò)誤；若，當(dāng)直線與曲線上半部分相切時(shí)，由整理得，由得，當(dāng)直線與曲線下半部分相切時(shí)，由整理得，由得，結(jié)合曲線圖象的對(duì)稱性可得，對(duì)于任意的，曲線與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，C說(shuō)法正確，D說(shuō)法錯(cuò)誤，故選：C9.已知等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)，那么“”是“集合恰有兩個(gè)元素”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析】依據(jù)題意證明充分性成立，舉反例否定必要性即可.【詳解】對(duì)于充分性，已知等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)，當(dāng)“”時(shí)，集合恰有兩個(gè)元素，故充分性成立，對(duì)于必要性，當(dāng)時(shí)，“集合也恰有兩個(gè)元素”，故必要性不成立，故“”是“集合恰有兩個(gè)元素”的充分而不必要條件.故選：A10.“用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線”．利用這個(gè)原理，小明在家里用兩個(gè)射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個(gè)相同的橢圓（圖1），光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖2是一個(gè)射燈投影的直觀圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，橢圓所在平面為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由勾股定理結(jié)合余弦定理代入計(jì)算可得，再由相似三角形的相似比結(jié)合勾股定理可分別計(jì)算出橢圓的，結(jié)合橢圓的離心率即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，由于，所以，在等邊三角形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于是，在平面中，由橢圓的對(duì)稱性可知，，連接，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，由于為中點(diǎn)，所以在中，，由勾股定理可得，在中，，，，由余弦定理可得，在中，由于，所以，于是有，設(shè)橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為，連接分別交圓錐于，由于，所以，由于為圓錐母線，所以，從而有，在中，由勾股定理可得，所以在橢圓中，，，則，則離心率為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓定義的理解以及橢圓離心率的求解，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理代入計(jì)算，分別求得，從而得到結(jié)果.第二部分（非選擇題110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知函數(shù)，那么______．【答案】1【解析】【分析】先求出，再求即可.【詳解】易知，故，故答案為：112.若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將展開(kāi)計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，所以.故答案為：13.如圖，在正方形中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，即可利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】設(shè),則.故答案為：414.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，分別為的中點(diǎn)，為過(guò)直線的平面．從下列結(jié)論①，②中選擇一個(gè)，并判斷該結(jié)論的真假．你選的結(jié)論是______（填“①”或“②”），該結(jié)論是______命題（填“真”或“假”）．①平面截該正方體所得截面面積的最大值為；②若正方體的12條棱所在直線與平面所成的角都等于，則．【答案】①.①（答案不唯一）②.假（答案不唯一）【解析】【分析】選①，根據(jù)四邊形的面積即可判斷，選②，根據(jù)三棱錐為正三棱錐，利用等體積法求解與平面所成角的正弦值即可求解②.【詳解】若選①，平面是過(guò)直線平面．此時(shí)四邊形即為該平面截正方體所得截面，由于四邊形的面積為,故①為假命題，若選②，由于三棱錐為正三棱錐，所以與平面所成角均相等，故平面平面，設(shè)到平面的距離為，則所以與平面所成角的正弦值為，故，②為真命題故答案為：①（答案不唯一），假（答案不唯一）15.設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則；③當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍為；④已知點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上．若，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)時(shí)，即可判斷①，求解方程的根，即可求解②，結(jié)合函數(shù)圖象，求解臨界狀態(tài)時(shí)，即可求解③，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可先判斷，繼而根據(jù)對(duì)稱性聯(lián)立方程得，，根據(jù)可得，代入即可求解④.【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故在上不是單調(diào)遞減，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)顯然不成立，故，當(dāng)時(shí)，令，即，得，，要使有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，故，②正確，對(duì)于③,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如圖：若，由，故，所以的取值范圍為；③正確對(duì)于④,由①③可知：時(shí)，顯然不成立,故，要使，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，則只需要的圖象與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖：故，，由對(duì)稱可得，化簡(jiǎn)可得，故，，化簡(jiǎn)得所以由于均大于0，所以，，因此由于，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，此時(shí)，因此，④正確，故答案為：②③④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常用的方法和思路（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步聚或證明過(guò)程.16.已知滿足．（1）求；（2）若滿足條件①、條件②、條件③中的兩個(gè)，請(qǐng)選擇一組這樣的兩個(gè)條件，并求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式可得，即可求解，（2）選擇①②，根據(jù)正弦定理可得與矛盾，即可求解，選擇②③，根據(jù),故，，這與矛盾，再由三角恒等變換及正弦定理、三角形面積公式即可求解，選擇①③，根據(jù)余弦定理可得，，即可由面積公式求解.【小問(wèn)1詳解】由得，所以,由于，所以【小問(wèn)2詳解】若選①，②，則,由正弦定理可得，這與矛盾，故不可以選擇①②，若選①，③，由余弦定理可得，解得，，此時(shí)，不滿足②，符合題意；此時(shí)，選②，③，由于,又,故，而，故，這與①矛盾，因此可以選擇②③；則，，由正弦定理可得，所以.17.在正四棱柱中，為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)．（1）證明：為的中點(diǎn)；（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面角確定點(diǎn)位置，再由空間向量法求二面角．【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，，在正四棱柱中，由與平行且相等得是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，是中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)（），則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，得，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，平面的一個(gè)法向量是，平面即平面，則，二面角為銳角，因此其余弦值為．18.激光的單光子通訊過(guò)程可用如下模型表述：發(fā)送方將信息加密后選擇某種特定偏振狀態(tài)的單光子進(jìn)行發(fā)送，在信息傳輸過(guò)程中，若存在竊聽(tīng)者，由于密碼本的缺失，竊聽(tīng)者不一定能正確解密并獲取準(zhǔn)確信息．某次實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)原始信息的單光子的偏振狀態(tài)0，1，2，3等可能地出現(xiàn)，原始信息息的單光子的偏振狀態(tài)與竊聽(tīng)者的解密信息的單光子的偏振狀態(tài)有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系．原始信息的單光子的偏振狀態(tài)0123解密信息的單光子的偏振狀態(tài)0，1，20，1，31，2，30，2，3已知原始信息的任意一種單光子的偏振狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)等可能地出現(xiàn)．（1）若發(fā)送者發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)為1，求竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信息的單光子的偏振狀態(tài)相同的概率；（2）若發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1，設(shè)竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)為1的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送信息，竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1．設(shè)原始信息的單光子只有一種偏振狀態(tài)的可能性為，有兩種偏振狀態(tài)的可能性為，有三種偏振狀態(tài)的可能性為，試比較的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可.（2）利用分布列的定義求解分布列，再求解數(shù)學(xué)期望即可.（3）依據(jù)貝葉斯公式得出結(jié)論即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)“解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信息的單光子的偏振相同”獨(dú)立作為事件，易知共有3個(gè)基本事件，則．【小問(wèn)2詳解】的可能取值為.，，，，所以，的分布列如下：0123P．【小問(wèn)3詳解】結(jié)論：證明：由竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1可得原始信息只能包含0，1，2，設(shè)原始信息的單光子只有一種偏振狀態(tài)為事件A，有兩種偏振狀態(tài)為事件B，有三種偏振狀態(tài)為事件C，竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1為事件M,則，,易知，，，故得證.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，代值可得，即可求解切線，（2）求導(dǎo)得，對(duì)分類(lèi)討論，求解函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)最小值為負(fù)求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，故在點(diǎn)處的切線方程為【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，則，令則，令則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)，取極小值也是最小值，則，又當(dāng)且，故要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要，解得；當(dāng)時(shí)，則，令則，令則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)，取極小值也是最小值，則，又當(dāng)且，故要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要，解得；綜上可得或.20.已知兩點(diǎn)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，直線與曲線交于另一點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)分別為（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且不與重合），直線與直線交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系以及向量共線得，代入韋達(dá)定理中即可求解，進(jìn)而可求解.【小問(wèn)1詳解】由于，所以是以為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，故，故橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】由于斜率不為0，故設(shè)直線方程為：，聯(lián)立，設(shè),則，,由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，又是直線與直線的交點(diǎn)，所以,,故，，將代入可得，故，解得，故，由可得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.21.將數(shù)列中項(xiàng)數(shù)為平方數(shù)的項(xiàng)依次選出構(gòu)成數(shù)列，此時(shí)數(shù)列中剩下的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列；再將數(shù)列中項(xiàng)數(shù)為平方數(shù)的項(xiàng)依次選出構(gòu)成數(shù)列，剩下的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列；…．如此操作下去，將數(shù)列中項(xiàng)數(shù)為平方數(shù)的項(xiàng)依次選出構(gòu)成數(shù)列，剩下的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列．（1）分別寫(xiě)出數(shù)列的前2項(xiàng)；（2）記數(shù)列的第項(xiàng)為．求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若，求的值．【答案】（1）的前2項(xiàng)為3，8；的前2項(xiàng)為5，11；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）直接利用數(shù)列定義求解；（2）證明為等差數(shù)列即