《二項式定理》教學設計

新人教A版數(shù)學選擇性必修第三冊第六章6.3.1二項式定理第第頁《6.3.1二項式定理》教學設計一、教材分析二項式定理是新教材[1]第六章第三節(jié)的內容.本節(jié)課內容是代數(shù)多項式的推廣，它安排在計數(shù)原理、排列組合知識之后，隨機變量及其分布知識之前，體現(xiàn)著二項式定理的“聯(lián)系性”，它既是計數(shù)原理和組合知識的應用，也是解決有關概率問題的基礎[2].學生學情分析學生已具備的能力：已掌握多項式乘法法則；已學過分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，及排列組合知識；具備一定歸納推理、分析問題、轉化問題的能力.學生面臨的困難：二項式定理一般展開式中的系數(shù)為組合數(shù)；二項式定理中字母是可變的，結構是不變的.教學目標設置掌握二項式定理及其結構特點，并能夠運用其解決與二項式展開式相關的簡單問題.通過發(fā)現(xiàn)多項式乘法的本質特征，建立多項式乘法與計數(shù)原理之間的聯(lián)系，運用計數(shù)原理推導二項式系數(shù)的方法.經(jīng)歷二項式定理的提出過程和觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想并證明二項式定理的思路探索過程，領悟由特殊到一般、一般到特殊和類比的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)合情推理能力，提高數(shù)學抽象素養(yǎng).通過二項式定理的學習，感受其對稱美、簡潔美以及概括性.四、教學重點與難點重點：用多項式運算法則和計數(shù)原理推導出二項式定理，并會用它解決有關的簡單問題.難點：用計數(shù)原理推導二項式定理.五、教學過程設計（一）創(chuàng)設情境，引入新課1664年,偉大的科學家牛頓,年僅22歲在劍橋大學就讀的他,在研讀英國數(shù)學家沃利斯的《無窮算術》中的,時，發(fā)現(xiàn)了展開式的規(guī)律(即二項式定理)，又稱牛頓二項式定理.二項式定理的發(fā)現(xiàn)是牛頓發(fā)明微積分的過程中一個關鍵節(jié)點，甚至可以說，牛頓正是以二項式定理為基石發(fā)明了偉大的微積分．【設計意圖】遵循“歷史發(fā)生原理”,將牛頓發(fā)現(xiàn)二項式定理的歷史融入教學，以此激發(fā)學生的學習興趣，啟迪思維，同時讓學生受到數(shù)學文化的熏陶,培育數(shù)學素養(yǎng).（二）主動思考，探究新知創(chuàng)設了以上情境后，學生學習的積極性會被調動起來，接著話鋒一轉：牛頓是怎樣從完全平方公式和完全立方公式中發(fā)現(xiàn)二項式定理的呢？今天，我們也像科學家牛頓一樣，開啟探秘之旅，從兩個具體的展開式著手，分析其結構，從中發(fā)現(xiàn)一般的二項展開式的規(guī)律。問題1：能否運用多項式的乘法法則，寫出、展開式的推導過程？【設計意圖】從特殊到一般，符合學生認知規(guī)律.從熟悉的多項式乘法入手，問題層層遞進．本問題作為開篇第一個問題，設置難度相對簡單，能調動學生參與課堂的積極性．問題2：、的展開式分別是什么？學生運用多項式乘法法則可以解決這些問題但是過程繁瑣計算量大.引導學生通過分析、展開式的規(guī)律，從而得到啟發(fā)．【設計意圖】順應學生的思維，提出一個指數(shù)較大的問題，用多項式乘法原理難以解決新問題，制造認知沖突，激發(fā)學生探索新知的欲望．從特殊到一般的探求法，提出的研究必要性，提高學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).問題３：、的展開式，有什么共同的特點？二項展開式的結構特點合并前合并后合并前項的特點項數(shù)項的特點項數(shù)次數(shù)字母組成字母組成系數(shù)共4項每一項的次數(shù)都是2次；從2個括號中各取出一個字母（或）相乘．共3項、、；字母按降冪排序，字母按升冪排序.1，2，1.共8項每一項的次數(shù)都是3次；從3個括號中各取出一個字母（或）相乘．共4項、、、；字母按降冪排序，字母按升冪排序.1，3，3，1.【設計意圖】引導學生通過分析合并前后的項的特點，通過列表格的方式使得結果一目了然，也為后續(xù)通過類比分析，猜想的展開式埋下伏筆.由于項數(shù)和系數(shù)的規(guī)律難以發(fā)現(xiàn)，需進一步分析展開式的生成過程:問題３-１：為什么合并前共4項?用分步乘法計數(shù)原理分析：第一步從第一個括號中選或，有種選法；第二步從第二個括號中選選或，有種選法；由分步乘法計數(shù)原理，合并前共有種選法.問題３-2：合并后的是怎樣得到的？展開式中的每一項是從每個括號中取出一個字母相乘．要得到合并后的應該怎么取?第一個括號取，第二個括號取,第二個括號取，第一個括號取，合起來總共2種取法；出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個中取1個的組合數(shù)，即有2個，所以是.下面用這個方法驗證其他項的系數(shù)：因此的展開式可以寫成如下形式.【設計意圖】通過的深入分析，利用顏色標記第一個括號和第二個括號，跟蹤ab項的形成過程，對合并前的項數(shù)和合并后的項的系數(shù)的規(guī)律有了初步認識.類比以上分析，分析展開式的生成過程:問題３-3為什么合并前共8項?用分步乘法計數(shù)原理分析：第一步從第一個括號中選或，有種選法；第二步從第二個括號中選選或，有種選法；第三步從第三個括號中選選或，有種選法；由分步乘法計數(shù)原理，合并前共有種選法.問題３-4：合并后的是怎樣得到的？展開式中的每一項是從每個括號中取出一個字母相乘．要得到合并后的應該怎么取?第一個括號取，第二個括號取,第三個括號??；第一個括號取，第二個括號取,第三個括號取；第一個括號取，第二個括號取,第三個括號取，合起來總共3種取法，出現(xiàn)的次數(shù)相當于從3個中取1個的組合數(shù)，即有3個，所以是.下面用這個方法驗證其他項的系數(shù)：因此的展開式可以寫成如下形式：【設計意圖】類比展開式的分析過程，對進行深入分析，學生自然地通過類比獲得新知，且使用計數(shù)原理的推理項數(shù)和系數(shù)的方法得到了進一步認識.（三）提出猜想，歸納定理問題4：類比以上分析，嘗試寫出的展開式？因此的展開式可以寫成如下形式，其中每一項都為：問題4：類比以上分析，你能運用計數(shù)原理推導a+b4【設計意圖】類比、展開式的分析過程解決新問題，運用計數(shù)原理的推理項數(shù)和系數(shù)的方法得到訓練，為后續(xù)運用計數(shù)原理說明展開式鋪墊.問題5：類比以上分析，請大家猜想的展開式是怎么樣的？（1）猜想其展開式的特點：二項展開式的結構特點合并前項的特點合并后項的特點項數(shù)次數(shù)字母組成項數(shù)字母組成每一項對應的系數(shù)共項每一項的次數(shù)都是次；從個括號中各取出一個字母（或）相乘．共（）項,,,,；按的降冪，的升冪排序.，，，，.（2）類比上述展開式的推理過程，可以得：因此的展開式可以寫成如下形式，其中每一項都為：.我們把這個公式叫做二項式定理（binomialtheorem），右邊多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)為叫做二項式系數(shù).式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：.【設計意圖】利用直觀的標記顏色，將多項式乘法法則與計數(shù)原理建立聯(lián)系，進而突破難點：用計數(shù)原理推導二項式定理，其中尤為難的是使用組合數(shù)表達二項展開式中各項的系數(shù).讓學生類比抽象概括出二項式定理的表達式，不僅有利于學生二項式定理概念的意義建構，還能提高學生從特殊到一般的思維能力.（四）鞏固新知，深化理解例1求的展開式.分析：二項式定理中的字母是，而現(xiàn)在是單項式和，只要把公式里的換成和，把賦值為6，就可以了.總結：其字母ab是一種符號可以把a看作長方形,b看作三角形,它們可以是任意的數(shù)或代數(shù)式.一般地，我們可以把公式里的兩個字母看成兩個框，改變框里的內容并不會影響公式的結構，也就是說字母是可變的，但公式結構卻不變[3].【設計意圖】此題為課本例題，一是為了讓學生熟悉二項式展開式，二是培養(yǎng)學生看待公式的眼光即公式中字母的可變性和結構的不變性.例2（1）求的展開式的第4項的系數(shù).分析：此時通項公式中的換成了，把賦值為7，把賦值為4，化簡即可.解：因此，展開式第4項的系數(shù)是280.（2）求的展開式中的系數(shù).分析：此時把通項公式中的換成了，把賦值為6，化簡后把的指數(shù)賦值為2，化簡求解.解：（2）的展開式的通項是根據(jù)題意，得，因此，的系數(shù)是.【設計意圖】此題為課本例題，一是區(qū)分二項式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，鞏固公式的應用，二是強化通項公式的簡潔性.三是非標準化形式進行標準化，減去一個數(shù)也就是相當于加上它的相反數(shù)，因此，此題的就是，要學會運用數(shù)的眼光看待式子[4].（五）回顧總結，方法提煉1.知識小結：（1）二項式定理a+bn①二項展開式有n+1項，各項的次數(shù)都等于n.②字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0.字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n.③二項式系數(shù)依次是Cn0,Cn1（2）通項公式

Tk+1=Cn①實質是一個含有n+1項的數(shù)列的通項公式，可用于求特定項.②

Tk+1是a+bn的展開式的第k+1項,k=0,1,2,…,（3）看待公式的眼光——字母是可變的，結構是不變的①字母a、②只要具備a+bn的形式就可以用二項式定理寫出展開式2.數(shù)學思想與方法：研究一般數(shù)學問題的方法.[5]3.感受數(shù)學美：二項式定理的概括性及其對稱性.二項式定理僅適用于n為正整數(shù)，而刻在偉大科學家牛頓的墓碑上的是適用于n為實數(shù)的二項式定理，稱為廣義二項式定理.這之所以能刻在偉大科學家牛頓的墓碑上，不僅是它具有高度的概括性和對稱性，更重要的是它對科學界的重大貢獻希望同學們的探索之旅不止步于課堂能夠在課后有更多的探索和學習．【設計意圖】梳理本節(jié)課的學習脈絡，提高學生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學問題的能力，提出研究數(shù)學問題的一般方法即從特殊到一般歸納定理，從一般到特殊解決問題,同時通過二項式定理，指出二項展開式的概括性和對稱性并此為美.更重要的是滲透數(shù)學史,與創(chuàng)設情景進行了前后呼應，強調了二項式定理數(shù)學價值，也進行了二項式定理到廣義二項式定理的簡單介紹，為有自主學習能力的學生課后繼續(xù)探究埋下伏筆．6.作業(yè)布置，鞏固提升課本配套練習.【設計意圖】學生對本節(jié)課重點知識的進行鞏固訓練，提升運用所學知識解決問題的能力.參考文獻：人民教育出版社,課程教材研究所,中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著.數(shù)學選擇性必修第三冊[J].北京：人民教育出版社，2020：29~31.人民教育出版社,課程教材研究所,中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著.數(shù)學選擇