進(jìn)化博弈概述-山東師范大學(xué)管科學(xué)院

進(jìn)化博弈理論一.進(jìn)化博弈提出背景

二.進(jìn)化博弈由來三.進(jìn)化博弈概述四.復(fù)制動(dòng)態(tài)和進(jìn)化穩(wěn)定性五.最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)和進(jìn)化穩(wěn)定性第一節(jié)進(jìn)化博弈提出的背景彌補(bǔ)主流博弈論的缺陷

一、對(duì)博弈論的發(fā)展威脅最大的是他的理性基礎(chǔ)。完全理性要求行為主體始終以自身最大利益為目標(biāo)，具有在確定和非確定性環(huán)境中追求自身利益最大化的判斷和決策能力，還要求他們具有在存在交互作用的博弈環(huán)境中完美的判斷和預(yù)測(cè)能力。不僅要求人們自身有完美的理性，還要求人們相互信任對(duì)方的理性，有“理性的共同知識(shí)”這種完全理性假設(shè)要求博弈方絕對(duì)不會(huì)犯錯(cuò)誤，決不會(huì)沖動(dòng)和不理智，在現(xiàn)實(shí)中顯然是不成立的。二、博弈論的理性依據(jù)——理性經(jīng)濟(jì)人假設(shè)

經(jīng)濟(jì)人要求人們是對(duì)總供給、總需求或價(jià)格等代表的市場(chǎng)總體或平均行為進(jìn)行反應(yīng)，較少考慮個(gè)體之間直接的交互作用，而博弈論研究的恰恰是行為主體之間直接的反應(yīng)。進(jìn)化博弈理論的由來1.生物進(jìn)化中生物性狀和行為特征是一個(gè)動(dòng)態(tài)模擬調(diào)整的過程，而這個(gè)過程正是模擬博弈方學(xué)習(xí)博弈和調(diào)整策略過程最主要的動(dòng)態(tài)機(jī)制2.而生物進(jìn)化理論中具有在動(dòng)態(tài)調(diào)整過程中達(dá)到，在受到少量干擾后仍能“恢復(fù)”的穩(wěn)健性均衡概念“進(jìn)化穩(wěn)定策略”，正是有限理性博弈分析最核心的均衡概念。

正是因?yàn)樯鲜鲇邢蘩硇圆┺姆治雠c生物進(jìn)化理論的這種關(guān)系，因此這種博弈分析理論也稱為“進(jìn)化博弈論”或“經(jīng)濟(jì)學(xué)中的進(jìn)化博弈論”。進(jìn)化博弈理論概述進(jìn)化博弈理論是經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的前沿理論，它來源于對(duì)生態(tài)現(xiàn)象的研究，雖然該理論應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析的時(shí)間不長(zhǎng)，但它為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究提供了一個(gè)全新的分析方法，較好地克服了新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)及經(jīng)典博弈理論中理性假定及多重均衡的困難。并且，應(yīng)用進(jìn)化博弈理論來研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)能夠獲得比傳統(tǒng)理論更準(zhǔn)確的結(jié)果，能夠更加現(xiàn)實(shí)地解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，因而在短期內(nèi)為多數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)家所接受。從某種意義上說引入進(jìn)化博弈理論局部動(dòng)態(tài)法來分析經(jīng)濟(jì)中參與人的行為是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究方法的一次創(chuàng)新。進(jìn)化博弈理論概述進(jìn)化博弈理論是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究方法的一次創(chuàng)新，該理論從否定傳統(tǒng)理論賴以成立的基礎(chǔ)——理性人假定出發(fā)而建立起來一個(gè)新的分析框架，它結(jié)合了生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)、心理學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)的最新發(fā)展成果，從有限理性的社會(huì)人出發(fā)來分析參與人的資源配置行為。

進(jìn)化博弈理論概述一.現(xiàn)實(shí)中個(gè)體并不是行為最優(yōu)化者，個(gè)體的決策是通過個(gè)體之間模仿、學(xué)習(xí)和突變等動(dòng)態(tài)過程來實(shí)現(xiàn)的。二.進(jìn)化博弈理論強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)達(dá)到均衡的動(dòng)態(tài)調(diào)整過程，博弈方往往不會(huì)一開始就找到最優(yōu)策略，必須通過試錯(cuò)尋找較好的策略認(rèn)為系統(tǒng)的均衡是達(dá)到均衡過程的函數(shù)，一、復(fù)制動(dòng)態(tài)——大群體成員集體博弈假設(shè)在一個(gè)理性層次較低、學(xué)習(xí)速度較慢的大群體成員中隨機(jī)配對(duì)反復(fù)進(jìn)行該博弈的進(jìn)化博弈問題。這里“學(xué)習(xí)速度慢”指的是向優(yōu)勢(shì)策略的轉(zhuǎn)變不是所有博弈方同時(shí)實(shí)現(xiàn)的，而是逐漸實(shí)現(xiàn)的。一、復(fù)制動(dòng)態(tài)——大群體成員集體博弈

博弈方B

策略1策略2

博弈方A策略1

策略2

圖1

2×2對(duì)稱博弈a，ab，cc，bd，d計(jì)算步驟步驟一：假設(shè)在該群體中采用策略1的博弈方的比例為x，那么采用策略2的博弈方的比例就是1一x。算出采用兩種策略博弈方的期望得益u1，u2和群體平均期望得益u分別為u1＝x·a+(1-x)·b、u2＝

x·c+(1一x)·du=x·u1+(1一x)·u2。步驟二：按照生物進(jìn)化復(fù)制動(dòng)態(tài)的思想，采用的策略收益較低的博弈方會(huì)改變自己的策略，轉(zhuǎn)向(模仿)有較高收益的策略，因此群體中采用不同策略成員的比例就會(huì)發(fā)生變化，特定策略比例的變化速度與其比重和其得益超過平均得益的幅度成正比在上述問題中采用策略1的博弈方比例x的變化速度，可以用微分方程（復(fù)制動(dòng)態(tài)公式dx／dt=x(u1-u)=x[u1-x·ul-(1-x)·u2]=x(1-x)(u1-u2)=x(1-x)[x(a-c)+(1-x)(b-d)]來表示。最多可能有三個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，分別是x=o、x=1和x=(b—d)／(a—b—c+d)，作為進(jìn)化穩(wěn)定策略的點(diǎn)，除了本身必須是均衡狀態(tài)以外，還必須具有這樣的性質(zhì)，那就是如果某些博弈方由于偶然的錯(cuò)誤偏離了它們，復(fù)制動(dòng)態(tài)仍然會(huì)使x回復(fù)到。在數(shù)學(xué)上，這相當(dāng)于要求當(dāng)干擾使x出現(xiàn)低于時(shí)，必須大于0，當(dāng)干擾使得x出現(xiàn)高于時(shí)，必須小于0。換句話說，在這些穩(wěn)定狀態(tài)處F(x)的導(dǎo)數(shù)（也就是切線的斜率）必須小于0。這就是微分方程的“穩(wěn)定性定理”。

算法分析為前述一般兩人對(duì)稱博弈的復(fù)制動(dòng)態(tài)進(jìn)化穩(wěn)定策略，而

x=0和x=1都不是進(jìn)化穩(wěn)定策略。圖5.102×2對(duì)稱博弈復(fù)制動(dòng)態(tài)方程相位圖算法分析其中前兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)意味著群體成員趨向于采用相同的策略(1或2)，后一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)意味著群體成員以一定比例采用不同策略，前者對(duì)應(yīng)完全理性博弈的純策略均衡，后者對(duì)應(yīng)混合策略均衡。值得注意的是，這些穩(wěn)定點(diǎn)只意味著博弈方采用特定策略的比例達(dá)到該水平不會(huì)再發(fā)生變化，但并沒有說明復(fù)制動(dòng)態(tài)過程究竟會(huì)趨向于哪個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)。這些取決于博弈方采用策略比例的初始狀態(tài)和動(dòng)態(tài)微分方程在相應(yīng)區(qū)間的正負(fù)情況，需要根據(jù)具體問題進(jìn)行分析。此外，具有真正穩(wěn)定性的穩(wěn)定狀態(tài)還必須對(duì)微小的擾動(dòng)具有穩(wěn)定性。即如果由于博弈方的錯(cuò)誤等某種原因使得上述比例關(guān)系偏離了這些穩(wěn)定點(diǎn)X時(shí)，復(fù)制動(dòng)態(tài)仍然會(huì)使其回復(fù)到這些水平?！苞楕澆┺摹柄楕澆┺难芯康膶?shí)際上并不是鷹和鴿之間的博弈，而是同一物種、種群內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)和沖突中的策略和均衡問題，其中“鷹”和“鴿”分別指“攻擊型”和“和平型”的兩種策略或策略類型。鷹鴿博弈是研究動(dòng)物世界和人類社會(huì)中普遍存在的競(jìng)爭(zhēng)和沖突現(xiàn)象的經(jīng)典博弈，其進(jìn)化博弈分析可以揭示人類社會(huì)或動(dòng)物世界發(fā)生戰(zhàn)爭(zhēng)或激烈沖突的可能性及其頻率，以及國(guó)際關(guān)系中霸道和軟弱、侵略和反抗、威脅和妥協(xié)等共存的原因。

博弈方2

鷹鴿博弈鷹方1鴿

圖5.13鷹鴿博弈

v代表雙方爭(zhēng)奪的利益（可以是軍事利益、經(jīng)濟(jì)利益或政治利益，也可以是動(dòng)物的領(lǐng)地和繁殖機(jī)會(huì)），c是爭(zhēng)奪中失敗一方的損失。

v-c/2，v-c/2V，00，vv/2，v/2這個(gè)博弈也是一個(gè)2×2對(duì)稱博弈，直接運(yùn)用2×2對(duì)稱博弈復(fù)制動(dòng)態(tài)的一般公式。用x表示采用“鷹”策略博弈方的比例，把b=v,c=0,d=v/2代入，可得采用“鷹”策略博弈方比例的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程為:

為了直觀起見，我們這里給出v和c的一組具體數(shù)值，如v=2，c=12，那么復(fù)制動(dòng)態(tài)方程就為:解得三個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)分別為，

和。這三個(gè)均衡點(diǎn)中只有是進(jìn)化穩(wěn)定策略，因?yàn)镕’(0)＞0，

F’（1）＞0，而F’(1／6)＜0。

圖5.14鷹鴿博弈復(fù)制動(dòng)態(tài)相位圖上述進(jìn)化博弈分析結(jié)論的現(xiàn)實(shí)意義是，當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)的利益和沖突的后果符合上述設(shè)定時(shí)，在較大規(guī)模群體長(zhǎng)期的進(jìn)化中，采取攻擊型策略的博弈方的數(shù)量最終會(huì)穩(wěn)定在1／6左右的水平，大多數(shù)人（5／6）會(huì)采用比較和平的策略。這意味著發(fā)生嚴(yán)重戰(zhàn)爭(zhēng)的機(jī)會(huì)雖然存在，但可能性比較小（大約1／36）相互間和平共處的可能性最大（約占25／36），比較忍讓的一方受到比較霸道一方欺負(fù)的機(jī)會(huì)居中（約占10／36）。博弈方具有較快學(xué)習(xí)能力（在復(fù)雜局面下準(zhǔn)確判斷和預(yù)見能力稍差，但能夠?qū)Σ煌呗缘慕Y(jié)果作出比較正確的事后評(píng)估，并能相應(yīng)調(diào)整其策略）的博弈。因此給定前期的經(jīng)驗(yàn)（博弈結(jié)果），每個(gè)博弈方本期能找到和采取針對(duì)前期其他博弈方（全部或鄰近的部分博弈方）策略的最佳反應(yīng)策略。最適合描述這種理性層次博弈方的策略調(diào)整的動(dòng)態(tài)機(jī)制，就是所謂的“最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)”（BestResponseDynamics）。二.最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)——小群體進(jìn)化博弈一、協(xié)調(diào)博弈（CoordinationGame）博弈方2AB

博弈A

方1B

50，5049，00，4960，60

該博弈有兩個(gè)純策略納什均衡：（A，A）和（B，B）。這兩個(gè)納什均衡中，后者明顯帕累托優(yōu)于前者。但如果博弈方之一有采用A的可能性，或者兩博弈方相互懷疑對(duì)方可能采用A，那么前者就是相對(duì)于后者的風(fēng)險(xiǎn)上策均衡。因此，如果是在完全理性博弈方之間進(jìn)行這個(gè)博弈，通常的預(yù)測(cè)結(jié)果應(yīng)該是（B，B），但如果我們考慮博弈方相互對(duì)對(duì)方理性的信任問題，或者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的敏感性等因素，那么風(fēng)險(xiǎn)上策均衡（A，A）可能是更好的預(yù)測(cè)。也就是說，由于該博弈本身是一個(gè)有多重納什均衡的博弈，因此在一次性博弈中，即使博弈方都是高度理性的，博弈結(jié)果也有不確定性，很難作出完全保險(xiǎn)的預(yù)測(cè)。這里舉例說明最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)的思想方法。設(shè)有5個(gè)有限理性博弈方，分別處于如圖5.2所示的位署上，每個(gè)人都與各自的左右鄰居就圖5.1中得益矩陣表示的“協(xié)調(diào)博弈”（CoordinationGame）進(jìn)行反復(fù)博弈，觀察他們最終會(huì)趨于向選擇哪個(gè)策略。

圖5.2博弈方的分布

在初次進(jìn)行博弈時(shí)每個(gè)位置的博弈方都既可能采用A，也可能采用B。因此，初次博弈總共有種可能的情況，圖5.3中給出了其中部分可能情況。

圖5.3初次博弈的部分可能情況

根據(jù)采用A博弈方的數(shù)量和分布，總共有無(wú)A、1A、有相鄰2A、有不相鄰2A、有3連A、有非3連A、4A、5A共8種有實(shí)質(zhì)差異。

假設(shè)為在t時(shí)期博弈方i的鄰居中采用A策略的數(shù)量，該數(shù)量有0、1、2三個(gè)可能的值；鄰居中采用B策略的數(shù)量相應(yīng)為，也有0、1、2三個(gè)可能值。

針對(duì)第t期的相關(guān)情況，博弈方i采用A的得益為，博弈方i采用B的得益為為。根據(jù)最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)機(jī)制，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，博弈方i在t＋1時(shí)期會(huì)采用A，否則采用B。

由于只能取0、1、2三個(gè)整數(shù)，因此，如果在t時(shí)期博弈方i的兩個(gè)鄰居中只要有1個(gè)采用A，那么博弈方i在t＋l時(shí)期采用A，如果兩個(gè)鄰居都沒有采用A，那么博弈方i在t＋1時(shí)期采用B。圖5．4初次博弈為1A的最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)圖5．5初次博弈為相鄰2A的最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)圖5．6初次博弈為相連3A的最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)上述分析表明，在題設(shè)條件下，所有32種可能的初次博弈情況中，只有一種情況是所有博弈方采用B的狀態(tài)，其余31種都會(huì)收斂到采用A的狀態(tài)。這說明A策略和B策略都是有限理性博弈方進(jìn)行上述協(xié)調(diào)博弈的穩(wěn)定狀態(tài)，但前一種穩(wěn)定狀態(tài)顯然更重要一些，因?yàn)椴┺姆降牟呗哉{(diào)整收斂到這種情況的機(jī)會(huì)要大大高于后一種情況。從而在博弈方有限理性條件下給出了（A，A）和（B，B）這兩個(gè)納什均衡各自被采用的機(jī)會(huì)一種趨勢(shì)性判斷。結(jié)論是在有限理性框架內(nèi)，博弈方采用策略A，實(shí)現(xiàn)均衡（A，A）的機(jī)會(huì)遠(yuǎn)高于采用B和實(shí)現(xiàn)均衡（B，B）的機(jī)會(huì)。從上述協(xié)調(diào)博弈的最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)機(jī)制給出的兩種穩(wěn)定狀態(tài)可以看出，只有所有博弈方都采用A策略同時(shí)具有在博弈方的動(dòng)態(tài)策略調(diào)整中會(huì)達(dá)到，又對(duì)少量偏離的擾動(dòng)有穩(wěn)健性兩個(gè)性質(zhì)。同時(shí)具有這兩種性質(zhì)（群體趨向且抗干擾）的穩(wěn)定狀態(tài)，在進(jìn)化博弈論中被稱為“進(jìn)化穩(wěn)定策略”。在上述協(xié)調(diào)博弈中，A就是一個(gè)進(jìn)化穩(wěn)定策略，而B則不是進(jìn)化穩(wěn)定策略。二、古諾調(diào)整過程寡頭競(jìng)爭(zhēng)中的“古諾調(diào)整”問題，也是最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)的一個(gè)典型例子。

古諾模型中兩寡頭的反應(yīng)函數(shù)：如果兩個(gè)博弈方都是有博弈分析能力、有預(yù)見能力的完全理性博弈方，那么他們都能夠計(jì)算出各自的最佳均衡產(chǎn)量，即各生產(chǎn)2單位。這個(gè)產(chǎn)量也稱為“古諾產(chǎn)量”。

假設(shè)這兩個(gè)博弈方都是有限理性的，都屬于知道自己的反應(yīng)函數(shù)（意味著知道自己的利潤(rùn)函數(shù)），不知道對(duì)方的利潤(rùn)（反應(yīng)）函數(shù)，也沒有預(yù)見能力。不妨設(shè)一個(gè)寡頭生產(chǎn)2.5單位，另一個(gè)寡頭生產(chǎn)3單位為第一個(gè)時(shí)期的結(jié)果，來演示一下兩個(gè)寡頭的產(chǎn)量調(diào)整過程。古諾模型的最優(yōu)反應(yīng)過程設(shè)生產(chǎn)2.5單位的是寡頭1，生產(chǎn)了3單位的是寡頭2。把這兩個(gè)產(chǎn)量分別代入寡頭2和寡頭1的反應(yīng)函數(shù)，很容易得到兩寡頭第二期的產(chǎn)量將分別是1.5單位和1.75單位；然后再把這兩個(gè)產(chǎn)量分別代入寡頭2和寡頭1的反應(yīng)函數(shù)，不難得到第三期雙方的產(chǎn)量為2.125單位和2.25單位；依次類推可得到第四期雙方產(chǎn)量為1.875單位和1.9375單位，……；

上述動(dòng)態(tài)調(diào)整過程趨向收斂于兩寡頭各生產(chǎn)2單位產(chǎn)量（完全理性博弈的古諾產(chǎn)量），即唯一的純策略納什均衡。由于這個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)也具有對(duì)微小擾動(dòng)的穩(wěn)健性，因此它是這個(gè)博弈在上述最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)下的進(jìn)化穩(wěn)定策略（ESS）。二、非對(duì)稱鷹鴿博弈的進(jìn)化博弈分析鷹鴿博弈也可以是非對(duì)稱博弈，因?yàn)楫?dāng)人們或者其他動(dòng)物）為了某件事物發(fā)生沖突競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，所爭(zhēng)奪的目標(biāo)對(duì)沖突各方的價(jià)值并不一定是—致的。例如，當(dāng)一個(gè)國(guó)家試圖侵略另一個(gè)國(guó)家，被侵略國(guó)家考慮是否抗擊入侵者時(shí)，雙方所爭(zhēng)奪的國(guó)土對(duì)前者來說意味著一塊殖民地，后者則是自己的祖國(guó)，顯然對(duì)于雙方來說價(jià)值是完全不同的，對(duì)后者的價(jià)值通常要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于前者。

假設(shè)鷹鴿博弈所爭(zhēng)奪的目標(biāo)對(duì)博弈方1位置博弈的博弈方價(jià)值為，對(duì)博弈方2位置博弈的博弈方價(jià)值為，并設(shè)0＜＜。再假設(shè)其余方面都與對(duì)稱鷹鴿博弈的假設(shè)相同。那么，現(xiàn)在這個(gè)鷹鴿博弈的得益矩陣如圖5.25所示。很顯然，這是一個(gè)雙方利益不對(duì)稱的非對(duì)稱博弈。為了簡(jiǎn)單起見，進(jìn)一步假設(shè)上述博弈中，，，這樣該博弈的得益矩陣進(jìn)一步變?yōu)閳D5.26中的情況。博弈方2

鷹鴿博弈鷹

方1鴿

圖5.25非對(duì)稱鷹鴿博弈

博弈方2

鷹鴿博弈鷹

方1鴿

圖5.26非對(duì)稱鷹鴿博弈數(shù)