新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第六章概率測評北師大版選擇性

第六章測評一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.將一顆質(zhì)地均勻的骰子擲兩次,不能作為隨機(jī)變量的是()A.第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B.第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)C.兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和D.兩次出現(xiàn)相同點(diǎn)的種數(shù)2.隨機(jī)變量X的分布列如下,且EX=13,則(X101Pa1bA.a=16,DX=1 B.a=12,C.a=16,DX=59 D.a=123.兩臺車床加工同樣的零件,第一臺出現(xiàn)廢品的概率為0.03,第二臺出現(xiàn)廢品的概率為0.02,加工出來的零件放在一起,現(xiàn)已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍,則任意取出一個零件是合格品的概率是()A.275 B.7375 C.74.甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽,已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,若采用三局兩勝制,則甲最終獲勝的概率為()A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.6485.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ<0)=()A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.846.如果甲、乙、丙三人通過某次考試的概率分別為45,3A.2180 B.27C.3380 D.7.一批型號相同的產(chǎn)品,有2件次品,5件正品,每次抽一件測試,將2件次品全部區(qū)分出后停止,假定抽后不放回,則第5次測試后停止的概率是()A.121 B.521 C.108.設(shè)X~B(4,p),其中0<p<12,且P(X=2)=827,那么P(X=1)=(A.881 B.1681 C.8二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.設(shè)X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),對應(yīng)的兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.對任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)10.下列說法中正確的是()A.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B6,12,則P(X=2)=516B.已知P(B|A)=12,P(AB)=38,則P(A)C.某射擊選手射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X服從兩點(diǎn)分布D.E(2X+3)=2EX+3,D(2X+3)=2DX+311.一盒中有8個乒乓球,其中6個未使用過,2個已使用過.現(xiàn)從盒子中任取3個球來用,用完后再裝回盒中.記盒中已使用過的球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()A.X的所有可能取值是3,4,5B.X最有可能的取值是5C.X等于3的概率為3D.X的均值是1712.甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球、3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機(jī)取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下列結(jié)論中正確的是()A.P(B)=2B.P(B|A1)=5C.事件B與事件A1相互獨(dú)立D.A1,A2,A3是兩兩互斥的事件三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.某同學(xué)罰籃一次的得分X服從參數(shù)為0.85的兩點(diǎn)分布,則P(X=0)=.

14.已知X~B3,35,且Y=5X+2,則Y的方差為.

15.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽,如果每局比賽甲獲勝的概率是35,乙獲勝的概率是25,采用5局3勝制,則恰好打了4局比賽結(jié)束的概率為16.5張彩票中僅有1張中獎彩票,5個人依次摸獎,則第二個人摸到中獎彩票的概率為,第三個人摸到中獎彩票的概率為.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識競賽,有A,B兩類問題,每位參加比賽的學(xué)生先在兩類問題中選擇一類,然后從所選類別的問題中隨機(jī)抽取一個問題回答,若回答錯誤則比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答,無論回答正確與否,比賽結(jié)束.A類問題回答正確得30分,否則得0分;B類問題回答正確得10分,否則得0分.已知小明同學(xué)能正確回答A類中的每一個問題的概率均為0.5,能正確回答B(yǎng)類中的每一個問題的概率均為0.8,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列和均值EX.(2)為使累計得分的均值最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.18.(12分)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為12,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為710,若前兩次均未打破,第三次落下時打破的概率為919.(12分)某企業(yè)準(zhǔn)備招聘一批大學(xué)生到本單位就業(yè),但在簽約前要對他們的某項(xiàng)專業(yè)技能進(jìn)行測試.在待測試的某一個小組中有男、女生共10人(其中女生人數(shù)多于男生人數(shù)),從中隨機(jī)選2人參加測試,其中恰為一男一女的概率為815(1)求該小組中女生的人數(shù);(2)假設(shè)此項(xiàng)專業(yè)技能測試對該小組的學(xué)生而言,每個女生通過的概率均為34,每個男生通過的概率均為23;現(xiàn)對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進(jìn)行測試,記這3人中通過測試的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ20.(12分)甲、乙兩人參加某種選拔測試,在備選的10道題中,甲答對其中每道題的概率都是45,乙能答對其中的8道題.(1)求甲恰有2道題目答對的概率;(2)求乙答對的題目數(shù)X的分布列;(3)試比較甲、乙兩人平均答對的題目數(shù)的大小,并說明理由.21.(12分)某市對高三期末考試中的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果顯示,全市10000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(120,25).在某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析,這50名學(xué)生的成績?nèi)拷橛?5分到145分之間,將結(jié)果按如下方式分為6組,第一組[85,95),第二組[95,105),…,第六組[135,145],得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)試估計此次考試該校數(shù)學(xué)的平均成績(用各組的組中值代替實(shí)際數(shù)據(jù));(2)從這50名學(xué)生中成績在125分及以上的學(xué)生中任意抽取3人,把這3人中在全市數(shù)學(xué)成績排名前13的人數(shù)記為Y,求Y的分布列和均值.附:若X~N(μ,σ2),則P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.22.(12分)在某市舉辦的“中華文化藝術(shù)節(jié)”知識大賽中,大賽分預(yù)賽與復(fù)賽兩個環(huán)節(jié),預(yù)賽有4000人參賽.先從預(yù)賽學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的成績得到如下頻率分布直方圖.(1)若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求至少1人成績不低于80分的概率;(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽的學(xué)生成績Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可以近似為100名學(xué)生的預(yù)賽平均成績,σ2=362,試估計全市參加預(yù)賽學(xué)生中成績不低于91分的人數(shù);(3)預(yù)賽成績不低于91分的學(xué)生可以參加復(fù)賽,復(fù)賽規(guī)則如下:①每人復(fù)賽初始分均為100分;②參賽學(xué)生可在開始答題前自行選擇答題數(shù)量n(n>1),每答一題需要扣掉一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格,規(guī)定回答第k(k=1,2,…,n)題時扣掉0.2k分;③每答對一題加2分,答錯既不加分也不扣分;④答完n題后參賽學(xué)生最后分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽分?jǐn)?shù).已知學(xué)生甲答對每題的概率為0.75,且各題答對與否相互獨(dú)立,若甲期望得到最佳復(fù)賽成績,則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少?參考數(shù)據(jù):362≈19,若Z~N(μ,σ2),則P(μσ<Z≤μ+σ)≈0.6826,P(μ2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9974,1+2+3+…+n=n(n

參考答案第六章測評1.D2.C由已知可得EX=-a+b=13,a+b+13=1,解得a=16,b=12,所以DX=13.B記事件A1為取出的一個零件是第一臺機(jī)床加工的,事件A2為取出的一個零件是第二臺機(jī)床加工的,事件B為取出的一個零件是合格品,則P(A1)=23,P(A2)=13,P(B|A1)=10.03=0.97,P(B|A2)=10.02=0.98,故P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=0.97×23+0.98×4.D由題意可得甲最終獲勝有兩種情況:一是前兩局甲獲勝,概率為0.6×0.6=0.36,二是前兩局甲一勝一負(fù),第三局甲勝,概率為C21×0.6×0.4×0.6=0.288,這兩種情況互斥,故甲最終獲勝的概率為0.36+0.288=0.648.5.A6.C甲、乙、丙三人通過考試的概率分別為45則三人中恰有兩人通過的概率為45×34×134+45×134×34+145故選C.7.B8.D根據(jù)題意得P(X=2)=C42p2(1p)2=即p2(1p)2=132×232,解得p=13或p=2故P(X=1)=C41p(1p)3=故選D.9.ABD因?yàn)閄~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),由圖可知,兩圖象分別關(guān)于直線x=μ1,x=μ2對稱,顯然μ因?yàn)閄的正態(tài)曲線“高瘦”,Y的正態(tài)曲線“矮胖”,故σ1<σ2.故P(Y≥μ1)>P(Y≥μ2),P(X≤σ2)>P(X≤σ1),所以A,B錯誤;對任意的正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t),則P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正確,D錯誤.故選ABD.10.BC對于A,設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B6,12,則P(X=2)=C62122×1124=1564,錯誤;對于B,由條件概率的公式知,P(B|A)=P(AB)P(A),得P(A)=34,正確;對于C,某射擊選手射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X服從兩點(diǎn)分布,正確;對于D,E(2X+3)=2EX+3,正確,D(2X+3)=2DX+3錯誤,應(yīng)該為D11.ACD記未使用過的乒乓球?yàn)锳,已使用過的為B,任取3個球的所有可能是:1A2B,2A1B,3A.A使用后成為B,故X的所有可能取值是3,4,5.P(X=3)=C61C22C83=656=328,所以X最有可能的取值是4,EX=3×328+4×1528+5×故選ACD.12.BD由題意A1,A2,A3是兩兩互斥的事件,P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(B|A1)=511,由此知,B正確P(B|A2)=411,P(B|A3)=4而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922,又因?yàn)镻(A1B)=522,P(A1)P(B)A1,A2,A3是兩兩互斥的事件,由此知D正確.故答案為BD.13.0.15∵罰籃一次的得分X服從參數(shù)為0.85的兩點(diǎn)分布,∴P(X=0)=10.85=0.15.14.18∵DX=3×35∴DY=(5)2×1825=1815.234625甲3∶1獲勝的概率P1=C32×352×25×35=162625,乙3∶1獲勝的概率P2=C32×25216.1515記“第i個人抽中中獎彩票”為事件Ai,顯然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2(A1∪A1)]=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,P(A3)=P[A3(A1A2∪A1A2∪A1A2∪A1A2)]=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=17.解(1)得分情況有三種可能性,X的可能取值為0,30,40,P(X=0)=10.5=0.5,P(X=30)=0.5×(10.8)=0.1,P(X=40)=0.5×0.8=0.4,∴X的分布列為X03040P0.50.10.4EX=0×0.5+30×0.1+40×0.4=19.(2)由(1)知,若小明先回答A類問題,則EX=19.若小明先回答B(yǎng)類問題,記Y為小明的累計得分,則Y的可能取值為0,10,40,P(Y=0)=10.8=0.2,P(Y=30)=0.8×(10.5)=0.4,P(Y=40)=0.8×0.5=0.4,∴EY=0×0.2+10×0.4+40×0.4=20.∵19<20,即EX<EY,∴小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.18.解以Ai,i=1,2,3表示事件“當(dāng)透鏡落下第i次時打破”,以B表示事件“透鏡落下三次未打破”,因?yàn)锽=A1所以P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=119.解(1)設(shè)該小組中有n名女生,根據(jù)題意,得Cn1C解得n=6或n=4(舍去),∴該小組中有6名女生.(2)由題意,ξ的取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=13P(ξ=1)=C21×23×13P(ξ=2)=C21×23×13P(ξ=3)=232×34=∴ξ的分布列為ξ0123P1741Eξ=0×136+1×736+2×49+20.解(1)∵甲、乙兩人參加某種選拔測試,在備選的10道題中,甲答對其中每道題的概率都是45∴選中的4道題目甲恰有2道題目答對的概率P=C42452152=(2)由題意知乙答對的題目數(shù)X的可能取值為2,3,4,P(X=2)=C2P(X=3)=C2P(X=4)=C8∴X的分布列如表所示.X234P281(3)∵乙平均答對的題目數(shù)EX=2×215+3×815+4×13=165,甲答對題目數(shù)Y~B4,45∴甲平均答對的題目數(shù)等于乙平均答對的題目數(shù).21.解(1)由題中頻率分布直方圖,可知成績在[125,135)內(nèi)的頻率為1(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12,所以a=0.012.所以估計此次考試該校數(shù)學(xué)的平均成績?yōu)?0×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).(2)由題意,得P(1203×5<X≤120+3×5)≈0.9974,故P(X≥135)≈1-0.99742=0.0013,則0根據(jù)題中頻率分布直方圖,可知這50人中成績在135分及以上的有50×0.08=4(人),而成績在[125,145]內(nèi)