貴州省黔西南州興義市第六中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源-2023學(xué)年度興義六中第二學(xué)期期中檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】求得，進(jìn)而可得.【詳解】，，.故選：A．2已知集合，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再利用集合間的包含關(guān)系列出不等式組，求出的取值范圍即可．【詳解】解：由，，解得，所以，集合，因?yàn)?，所以，解得．故選：C．3.隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且，則()01230.10.1A. B.0.4 C.0.2 D.0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分布列總概率為1列出方程，和已知方程聯(lián)立即可求得m和n的值，從而求得m－n的值.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，即m＋n＝0.8，又∵，∴聯(lián)立方程解得，m＝n＝0.4，∴m－n＝0.故選：D.4.在中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)由，可得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】在中，，由，可得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B到y(tǒng)軸的距離之和為，則p的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程消去y，根據(jù)題意結(jié)合利用韋達(dá)定理可求p.【詳解】設(shè)，由題意可得：直線的斜率，拋物線的焦點(diǎn)，故直線的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，則，可知異號(hào)，由題意可得：，解得.故選：B.6.新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號(hào)新能源汽車的耗電量（單位：kW·h/100km）情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本，據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號(hào)新能源汽車的耗電量，若，則樣本中耗電量不小于的汽車大約有（）A.180輛 B.360輛 C.600輛 D.840輛【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，求得的值，再由樣本容量求得頻數(shù)，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以樣本中耗電量不小于汽車大約（輛）.故選：A.7.學(xué)校食堂分設(shè)有一?二餐廳，學(xué)生小吳第一天隨機(jī)選擇了某餐廳就餐，根據(jù)統(tǒng)計(jì)：第一天選擇一餐廳就餐第二天還選擇一餐廳就餐的概率為0.6，第一天選擇二餐廳就餐第二天選擇一餐廳就餐的概率為0.7，那么學(xué)生小吳第二天選擇一餐廳就餐的概率為（）A.0.18 B.0.28 C.0.42 D.0.65【答案】D【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)為“第一天去一餐廳用餐”，為“第一天去二餐廳用餐”，為“第二天去一餐廳就餐”；則,,,由全概率公式可知,故選：D.8.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，由已知可得，故可設(shè)，利用可得，，解不等式即可.【詳解】令，則，可設(shè)，，，所以，解不等式，即，所以，解得，所以不等式的解集為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查構(gòu)造法解不等式，考查學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于的展開式，下列結(jié)論正確的是（）A.二項(xiàng)式系數(shù)和為64 B.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為2C.第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.項(xiàng)的系數(shù)為240【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可判斷選項(xiàng)A、C；用賦值法求出所有系數(shù)的和，可判斷選項(xiàng)B；利用展開式的通項(xiàng)求解，可判斷選項(xiàng)D.【詳解】的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，選項(xiàng)A正確；中，令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，選項(xiàng)B不正確；的展開式的第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，選項(xiàng)C不正確；的展開式的通項(xiàng)為：，令，得，此時(shí)，所以項(xiàng)的系數(shù)為240，選項(xiàng)D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)中，，的幾何意義，求得的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，逐一分析選項(xiàng)即可．【詳解】由圖可知，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；由，知，因?yàn)?，所以，所以，，即，，又，所以，所以，?duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確．故選：ACD．11.已知是兩個(gè)隨機(jī)事件，，下列命題正確的是（）A.若相互獨(dú)立， B.若事件，則C.若是對(duì)立事件，則 D.若是互斥事件，則【答案】ABD【解析】【分析】利用條件概率、相互獨(dú)立事件判斷A；利用條件概率的定義判斷B；利用條件概率及對(duì)立、互斥事件的意義判斷C，D作答.【詳解】對(duì)于A，隨機(jī)事件相互獨(dú)立，則，，A正確；對(duì)于B，事件，，，B正確；對(duì)于C，因是對(duì)立事件，則，，C不正確；對(duì)于D，因是互斥事件，則，，D正確.故選：ABD12.若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)的取值可以是（）A.0 B. C. D.1【答案】BC【解析】【分析】將“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”轉(zhuǎn)化為“直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像，即可求解.【詳解】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，即直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又時(shí)，，時(shí)，，若直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______．【答案】－60【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，設(shè)該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈拇螖?shù)為，所以令，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：14.從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】【分析】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數(shù)，再根據(jù)從人中任選人的選法種數(shù)減去沒有女生的選法種數(shù)，即可解出.【詳解】［方法一］：反面考慮沒有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種．故答案為：.［方法二］：正面考慮若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有種；若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有種，則不同的選法共有種．故答案：.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)“正難則反”，先考慮“至少有位女生入選”的反面種數(shù)，再利用沒有限制的選法種數(shù)減去反面種數(shù)即可求出，對(duì)于正面分類較多的問題是不錯(cuò)的方法；方法二：正面分類較少，直接根據(jù)女生的人數(shù)分類討論求出．15.過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為______．【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，進(jìn)而由切點(diǎn)的位置得出，從而得出切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，.則切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以，即又，所以，令，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點(diǎn)坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.故答案為：16.在三棱錐中，兩兩垂直，，為棱上一點(diǎn)，于點(diǎn)，則面積的最大值為______；此時(shí)，三棱錐的外接球表面積為______．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，求得，結(jié)合，求得，進(jìn)而求得和，根據(jù)，求得面積的最大值，再根據(jù)正方體的性質(zhì)求得三棱錐的外接球的半徑為，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)，且，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以，所以，可得，因?yàn)榍遥云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)榍?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，，成等差數(shù)列以及求出首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出即可；（2）由（1）將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中化簡(jiǎn)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，解得或，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，由，得，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，則，所以，兩式相減可得，整理可得．18.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求證：；（2）若的角平分線交BC于，且，求面積的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得又，所以因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，又在上單調(diào)遞增，所以，即；【小問2詳解】由（1）可知，，所以在中，，由正弦定理得：，所以，所以．又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，解得，所以，即面積的取值范圍為．19.彭老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某同學(xué)只能背誦其中的7篇，求：（1）抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列；（2）他能及格的概率．【答案】（1）分布列見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出隨機(jī)變量的取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得出隨機(jī)變量的分布列；（2）根據(jù)已知條件及隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由題意可知，的可能取值為，則,,.所以的分布列為【小問2詳解】該同學(xué)能及格，表示他能背誦篇或篇，由（1）知，該同學(xué)能及格的概率為.20.如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，四邊形為梯形，，.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若直線與平面所成角正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，可證得四邊形為平行四邊形，從而得到，由線面平行的判定可證得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得的值；由面面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，，，，又，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，，，四邊形為平行四邊形，又，，即；為等邊三角形，，又平面平面，平面平面，平面，平面；則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，解得：，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合已知進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓弦長(zhǎng)公式、對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)，由題意，因?yàn)?，所以，即，兩邊平方并整理得．故點(diǎn)的軌跡的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消并整理得，，顯然，設(shè)，，則，，又，可得線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段中垂線的方程為，令，可得，對(duì)于直線，令，可得，所以又，所以，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定