北京市房山區(qū)北師大燕化附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源-2023學(xué)年北京師范大學(xué)燕化附中高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】整理解析式得，用計算整理．【詳解】∵則故選：D．2.甲?乙?丙?丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中間,甲同學(xué)不與老師相鄰,乙同學(xué)與老師相鄰,則不同站法種數(shù)為A.24 B.12 C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先考慮原則，先排乙，再排甲，結(jié)合左右對稱原則求解.【詳解】由題：老師站中間，第一步：排乙，乙與老師相鄰，2種排法；第二步：排甲，此時甲有兩個位置可以站，2種排法；第三步：排剩下兩位同學(xué)，2種排法，所以共8種.故選：C【點睛】此題考查計數(shù)原理，關(guān)鍵在于弄清計數(shù)方法，根據(jù)分步和分類計數(shù)原理解決實際問題.3.某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率是，刮風(fēng)的概率為，在下雨天里，刮風(fēng)的概率為，則既刮風(fēng)又下雨的概率為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率的定義即可求得兩事件同時發(fā)生的概率.【詳解】解析：記“該地區(qū)下雨”為事件A，“刮風(fēng)”為事件B，則P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.故選：C.4.數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知分析數(shù)列的周期性，可得答案．【詳解】∵數(shù)列滿足，，∴，，，，故數(shù)列以4為周期呈現(xiàn)周期性變化，由，故，故選:D．【點睛】本題考查的知識點是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性．5.從甲地到乙地共有A?B?C三條路線可走，走路線A堵車的概率為0.1，走路線B堵車的概率為0.3，走路線C堵車的概率為0.2，若李先生從這三條路線中等可能的任選一條開車自駕游，則不堵車的概率為（）A.0.2 B.0.398 C.0.994 D.0.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全概率公式即可得出答案.【詳解】解：由題意可知，李先生走每條路線的概率均為，走路線A不堵車的概率為0.9，走路線B不堵車的概率為0.7，走路線C不堵車的概率為0.8，由全概率公式得，李先生不堵車的概率.故選：D.6.若曲線在點處的切線方程為，則（）A.2 B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，將代入后，可得，將代入后可得，進而得到．【詳解】由得，又曲線在點處的切線方程為，故當(dāng)時，又點在上，則，故．故選：A．7.某統(tǒng)計部門對四組成對樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)的比較，其中正確的是（）

A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)散點圖的特征，數(shù)據(jù)大致呈增長趨勢的是正相關(guān)，數(shù)據(jù)呈遞減趨勢的是負(fù)相關(guān)；數(shù)據(jù)越集中在一條直線附近，說明相關(guān)性越強；逐項分析判斷.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可知：（1）（3）為正相關(guān)，（2）（4）為負(fù)相關(guān)，故；又因為（1）與（2）中散點圖更接近于一條直線，故，所以.故選：C.8.為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某?；@球運動員進行投籃練習(xí)．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，由全概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，，，，由全概率公式可得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用全概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是弄清第球與第球投進與否之間的關(guān)系，結(jié)合全概率公式進行計算.9.在某一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從備選題中一次性隨機抽取10道題，并獨立完成所抽取的10道題，每道題答對得10分，答錯不得分．甲答對每道題的概率為，且每道題答對與否互不影響．記甲最后的得分為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項分布方差公式求解，再由結(jié)合方差的性質(zhì)求解.【詳解】由題意甲答對的題目數(shù)，所以．因為，所以．故選：D10.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)無最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的極小值大于且解不等式組可得結(jié)果.【詳解】由得，令,得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極小值，為，因為無最小值，所以，解得.故選：A二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.在的二項展開式中，常數(shù)項等于_______.【答案】-20【解析】【詳解】展開式通項，令6-2r=0，得r=3，故常數(shù)項為.12.已知等差數(shù)列的公差，且，則的前5項和__________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)分析運算.【詳解】由題意可得：，所以.故答案為：0.13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【答案】【解析】【分析】求定義域，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0解不等式，求出遞增區(qū)間.【詳解】的定義域為，，令，解得：或，因為定義域為，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：14.等比數(shù)列滿足如下條件:①；②數(shù)列的前項和.試寫出滿足上述所有條件的一個數(shù)列的通項公式__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，，進而令，再求和檢驗即可.【詳解】解：由題知，故令,所以，，滿足題意，所以，，故答案為：.15.函數(shù)（其中，e為自然常數(shù)）．關(guān)于函數(shù)有四個結(jié)論：①，函數(shù)總存在零點．②，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．③，使函數(shù)存在2個零點．④，使得直線為函數(shù)一條切線．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】②③④【解析】【分析】對①，舉出反例判斷即可；對②，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可；對③，令，參變分離得到，再根據(jù)函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合分析即可對④，設(shè)切點，再根據(jù)切點在函數(shù)、切線上，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析即可【詳解】對①，當(dāng)時，，不存在零點，故①錯誤；對②，當(dāng)時，在定義域上恒成立，故函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故②正確；對③，顯然不為零點，令，即，設(shè)函數(shù)，則，令可得，易得為增函數(shù)，且，，故存在使得成立，又當(dāng)時，當(dāng)時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故當(dāng)時有極小值，故當(dāng)時有兩個零點.故③正確；對④，若，使得直線為函數(shù)的一條切線，則設(shè)切點為，因為，故，即，故，當(dāng)時，當(dāng)時，故存在使得成立，故有解，此時滿足條件，故④正確故答案為：②③④【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的零點、單調(diào)性問題，同時也考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析切線的問題，屬于難題三、解答題：本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．16.已知等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列中，＝，求數(shù)列的前n項和．【答案】16.17.【解析】【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為d，再根據(jù)題干已知條件列出關(guān)于首項與公差d的方程組，解出與d的值，即可計算出數(shù)列的通項公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列的通項公式并進行轉(zhuǎn)化即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可計算出前n項和．【小問1詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則，解得，∴．【小問2詳解】由（1）可得，＝＝＝＝，故數(shù)列是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，∴．17.某企業(yè)有7個分行業(yè)，2020年這7個分行業(yè)的營業(yè)收入及營業(yè)成本情況統(tǒng)計如下表：營業(yè)情況分行業(yè)營業(yè)收入單位（億元）營業(yè)成本單位（億元）分行業(yè)14138分行業(yè)2129分行業(yè)382分行業(yè)465分行業(yè)532分行業(yè)621分行業(yè)70.80.4（一般地，行業(yè)收益率．）（1）任選一個分行業(yè)，求行業(yè)收益率不低于50%的概率；（2）從7個分行業(yè)中任選3個，設(shè)選出的收益率高于50%的行業(yè)個數(shù)為X，求X的分布列及期望；（3）設(shè)7個分行業(yè)營業(yè)收入的方差為，營業(yè)成本的方差為，寫出與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）；（2）分布列見解析；；（3）.【解析】【分析】（1）求出7個分行業(yè)的行業(yè)收益率即可求出所需概率；（2）根據(jù)X的取值，利用超幾何分布即可計算求出分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)方程公式計算即可求出方差比較大小.【小問1詳解】分行業(yè)1行業(yè)收益率：，分行業(yè)2行業(yè)收益率：，分行業(yè)3行業(yè)收益率：，分行業(yè)4行業(yè)收益率：，分行業(yè)5行業(yè)收益率：，分行業(yè)6行業(yè)收益率：，分行業(yè)7行業(yè)收益率：，行業(yè)收益率不低于50%的有4個行業(yè)，故任選一個分行業(yè)，求行業(yè)收益率不低于50%的概率為.小問2詳解】有（1）可知X的取值有0、1、2、3，，，，，分布列如下：X0123P【小問3詳解】7個分行業(yè)營業(yè)收入的平均值為：，7個分行業(yè)營業(yè)成本的平均值為：，故.18.北京市某區(qū)針對高三年級一次測試做調(diào)研分析，隨機抽取同時選考物理?化學(xué)的學(xué)生330名，下表是物理?化學(xué)成績等級和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：物理成績等級化學(xué)成績等級人數(shù)（名）11053255701531210（1）從該區(qū)高三年級同時選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機抽取1人，已知該生的物理成績等級為，估計該生的化學(xué)成績等級為的概率；（2）從該區(qū)高三年級同時選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機抽取2人，以表示這2人中物理?化學(xué)成績等級均為的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（以上表中物理?化學(xué)成績等級均為的頻率作為每名學(xué)生物理?化學(xué)成績等級均為的概率）；（3）記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績（滿分150分）的方差為，排名前的成績方差為，排名后的成績方差為，則不可能同時大于和，這種判斷是否正確.（直接寫出結(jié)論）.【答案】（1）（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為（3）不正確【解析】【分析】（1）由表可知，樣本中物理成績等級為的人數(shù)為，在該群體中化學(xué)成績等級為的人數(shù)為110，即可估計該生的化學(xué)成績等級為的概率；（2）從該區(qū)高三年級同時選考物理?化學(xué)的學(xué)生隨機選取一名，物理?化學(xué)成績等級均為的概率估計為，可知隨機變量的取值范圍，分別求出相應(yīng)概率即可得到分布列及其數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)排名前的成績均為分，排名后的成績均為分，即可判斷.【小問1詳解】設(shè)事件為“該生物理成績等級為的情況下，化學(xué)成績等級為”，樣本中物理成績等級為的人數(shù)為，在該群體中化學(xué)成績等級為的人數(shù)為110，所以頻率為，由樣本估計總體可得，故該生物理成績等級為，估計該生化學(xué)成績等級為的概率為.【小問2詳解】從該區(qū)高三年級同時選考物理?化學(xué)的學(xué)生隨機選取一名，物理?化學(xué)成績等級均為的概率估計為.由題意隨機變量的取值范圍是則的分布列：012【小問3詳解】不正確；舉例：，排名前的成績均為分，方差為，排名后的成績均為分，方差為，顯然，所以，，故同時大于和.【點睛】（1）概率統(tǒng)計問題關(guān)鍵在于審題，建議大家在考試過程中審題不少于兩遍，同時把重要信息標(biāo)注出來，這樣不容易丟掉關(guān)鍵信息；（2）分布列問題類型判斷是關(guān)鍵，建議結(jié)合做過的典型問題放在一起對比感悟；（3）第三問這種問題是北京命題特色，圍繞一些概念深入考查，具有較高的區(qū)分度，建議把一些典型的第三問加以整理并思考命題的邏輯.19.已知函數(shù)，（）．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，請判斷的單調(diào)性．【答案】（1）（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增【解析】【分析】（1）由題意，對函數(shù)進行求導(dǎo)，得到和，求出切線方程；（2）先得到函數(shù)的解析式，對函數(shù)進行求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)最小值，從而得到答案．【小問1詳解】已知，函數(shù)定義域為，可得，此時，又，所以曲線在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】若，函數(shù)定義域為，可得，不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，可得，當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則當(dāng)時，存在恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．20.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若已知，且的圖象與相切，求b的值；（3）在（2）的條件下，的圖象與有三個公共點，求m的取值范圍（不寫過程）．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）3（3）【解析】【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出求出方程，得到關(guān)于的方程，解出即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為，求出函數(shù)的單調(diào)性和極值，寫出的范圍即可．【小問1詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問2詳解】因，則，設(shè)函數(shù)與直線相切的切點是，因為，所以，所以有，可得，又，相減得，所以，所以，解得：；【小問3詳解】時，，的圖象與有三個公共點，即方程有三個實數(shù)根，設(shè)函數(shù)，則，時，或；時，，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時取極大值，時取極小值，所以的取值范圍為．【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．21.設(shè)數(shù)列，為的滿足下列性質(zhì)的排列的個數(shù)，性質(zhì)T：排列中僅存在一個，使得．（1）求的值，并寫出時其中一種排列的情形．（2）若，求滿足性質(zhì)的所有排列的情形．（3）求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）；從中任選一個即可（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）由題意直接得出的值，當(dāng)時，寫出所有的排列，再找到滿足的排列有寫出其中一種即可；（2