2025初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)突破：四邊形中的新定義問題（含答案及解析）

專題四邊形中的新定義問題

O

例題精講

【例1].定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形，如圖，在對余四邊形ABC。中,

AB=BC,AD=2后,CD=5,ZABC=60°,則線段.

A變式訓(xùn)練

【變定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的

線段叫做這個(gè)損矩形的直徑，即損矩形外接圓的直徑.如圖，△ABC中，ZABC=90°,

以AC為一邊向形外作菱形ACER點(diǎn)。是菱形ACEF對角線的交點(diǎn)，連接BD若NDBC

=60°,ZACB=15°,3D=2?,則菱形ACE尸的面積為.

【變1-2].定義：有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做“對補(bǔ)四邊形”，例如：四邊形ABC。中,

若/A+NC=180°或/2+/。=180°,則四邊形ABC。是“對補(bǔ)四邊形”.

【概念理解】（1）如圖1,四邊形是“對補(bǔ)四邊形”.

①若NA：/B：ZC=3：2：1,則NQ=度.

②若NB=90°.且AB=3,4。=2時(shí).貝！ICZ^一。F二

【類比應(yīng)用】（2）如圖2,在四邊形ABC。中，AB=CB,2。平分/AOC.求證：四邊

形ABC。是“對補(bǔ)四邊形”.

【例2].定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形.如圖，在RtZxABC中，Z

ABC=9Q°,AB=2,BC=\,將△ABC沿/ABC的平分線88的方向平移，得到A8C,

連接AC,CC,若四邊形A8CC是等鄰邊四邊形，則平移距離88的長度是.

A變式訓(xùn)練

【變2-1].已知在RtZsABC中，ZC=90°,AC=6,BC=3.我們定義：“四個(gè)頂點(diǎn)都在

三角形邊上的正方形是三角形的內(nèi)接正方形”.

（1）如圖1,四邊形COEE是AABC的內(nèi)接正方形，則正方形CDEF的邊長m等于；

（2）如圖2,四邊形。是（1）中△ED4的內(nèi)接正方形，那么第2個(gè)正方形。G8/

的邊長記為。2；繼續(xù)在圖2中的△HGA中按上述方法作第3個(gè)內(nèi)接正方形，依此類推,……

則第〃個(gè)內(nèi)接正方形的邊長的=.（"為正整數(shù)）

[變2-2],定義：若四邊形有一組對角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，

像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形.

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

(1)如圖1,正方形ABC。中E是CZ)上的點(diǎn)，將繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與A4重

合，此時(shí)點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)F在D4的延長線上，則四邊形8EOF(填“是”或“不是”)

“直等補(bǔ)”四邊形；

(2)如圖2,已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=10,CD=2,AD>AB,

過點(diǎn)B作BE±AD于E.

①過C作CF_LB/于點(diǎn)尸，試證明：BE=DE,并求BE的長；

②若M是邊上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值.

n實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，四邊形ACZJE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a,b,cMRtAABCRtABED

邊長，易知AE=MC,這時(shí)我們把關(guān)于x的形如a*+、ncx+b=Q的一元二次方程稱為

“勾系一元二次方程”.

請解決下列問題:

（1）判斷下列方程是否是“勾系一元二次方程”：

①2?+^x+l=O—（填"是”或“不是”

②3/+5&x+4=0（填“是”或“不是”）

（2）求證：關(guān)于尤的“勾系一元二次方程+我M+b=O必有實(shí)數(shù)根；

（3）若尤=-1是“勾系一元二次方程”蘇+加B+6=0的一個(gè)根，且四邊形ACDE的

周長是12,求△ABC面積.

2.我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則

稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊.

(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱；

(2)如圖1,己知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))0(0,0),A(3,0),B(0,4),請你畫出

以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA,08為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAM5

(3)如圖2,將△ABC繞頂點(diǎn)8按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到連接A。，DC,

/DCB=30；求證：DC2+BC2=AC2,即四邊形48c。是勾股四邊形.

3.定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線.

(1)如圖/,在△ABC中，AB^AC,是△ABC的角平分線，E,尸分別是BD,AD

上的點(diǎn).求證：四邊形A3所是鄰余四邊形；

(2)如圖2,在5X4的方格紙中，A,8在格點(diǎn)上，請畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形

ABEF,使A2是鄰余線，E,尸在格點(diǎn)上；

(3)如圖3,已知四邊形A8C。是以A8為鄰余線的鄰余四邊形，AB=15,AD=6,BC

=3,ZAZ)C=135°,求。的長度.

A

4.定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形.

【性質(zhì)初探】如圖1,已知，I3ABCD,/8=80°,點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連結(jié)CE,四

邊形4BCE恰為等腰梯形.求NBCE的度數(shù)；

【性質(zhì)再探】如圖2,已知四邊形ABC。是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCERBF

=CE,連結(jié)BE、CF.求證：BE=CF；

【拓展應(yīng)用】如圖3,回的對角線AC、8。交于點(diǎn)。，AB=2,ZABC=45°,過

點(diǎn)。作AC的垂線交BC的延長線于點(diǎn)G,連結(jié)。G.若NCDG=90°,求BC的長.

5.給出如下定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為“鄰余四邊形”，這兩個(gè)角的夾邊稱為

“鄰余線”.

(1)如圖1,格點(diǎn)四邊形A8C。是“鄰余四邊形”，指出它的“鄰余線”;

(2)如圖2,在△48C中，AB=AC,是△ABC的角平分線，E,尸分別是8。，AD

上的點(diǎn).求證：四邊形ABE尸是“鄰余四邊形”;

(3)如圖3,四邊形ABC。是“鄰余四邊形”，AB為“鄰余線”，E,尸分別是AB,CD

的中點(diǎn)，連接ERAD=4,BC=6.求的長.

圖1

6.定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三

角形相似(不全等)，我們就把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對角線”.

(1)如圖1,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，若四邊形A8C。是以AC

為“相似對角線”的四邊形，請只用無刻度的直尺，就可以在網(wǎng)格中畫出點(diǎn)D,請你在

圖1中找出滿足條件的點(diǎn)。，保留畫圖痕跡(找出2個(gè)即可)

(2)①如圖2,在四邊形ABC。中，/DAB=90°,/DCB=135°,對角線AC平分/

D48.請問AC是四邊形A3。的“相似對角線”嗎？請說明理由；

②若求4。乂8的值.

(3)如圖3,在(2)的條件下，若NO=/ACB=90°時(shí)，將△AOC以A為位似中心，

位似比為灰：&縮小得到連接CE、BF,在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)

CE所在的直線垂直于A尸時(shí)，請你直接寫出8尸的長.

7.我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”

(1)概念理解：

請你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；

(2)問題探究：

如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中，ZDAB=AABC,AD,8C的中垂線恰好交于A8邊

上一點(diǎn)尸，連接AC,BD,試探究AC與8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)應(yīng)用拓展：

如圖2,在與RtZvlB。中，NC=/Z)=90°,BC=BD=3,AB=5,將RtA

A3。繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0°</a</BAC)得到D'(如圖3),當(dāng)凸

四邊形A。'2C為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積.

8.定義：長寬比為五：1（“為正整數(shù)）的矩形稱為g矩形.下面，我們通過折疊的方式

折出一個(gè)正矩形，如圖①所示

操作1：將正方形A3。沿過點(diǎn)8的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)C落在對角線8。上的點(diǎn)

G處，折痕為88.

操作2：將AD沿過點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)A,點(diǎn)。分別落在邊AB,CD上，折痕為EF.

可以證明四邊形BCEF為圾矩形.

（I）在圖①中，地的值為；

FG一

（II）已知四邊形8CEP為正矩形，仿照上述操作，得到四邊形8cMM如圖②，可以

證明四邊形BCMN為底矩形,則n的值是.

9.我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做''等鄰角四邊形”，例如：如圖1,NB=NC,

則四邊形ABCD為等鄰角四邊形.

(1)定義理解：已知四邊形ABC。為等鄰角四邊形，且/A=130°,ZB=120°,則

ND=度.

(2)變式應(yīng)用：如圖2,在五邊形ABCOE中，ED//BC,對角線8。平分/4BC.

①求證：四邊形ABOE為等鄰角四邊形；

②若乙4+/C+NE=300°,NBDC=NC,請判斷△BCD的形狀，并明理由.

(3)深入探究：如圖3,在等鄰角四邊形ABC。中，/B=NBCD,CE±AB,垂足為E,

點(diǎn)尸為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PNLCD,垂足分別為N.在點(diǎn)P的

運(yùn)動(dòng)過程中，判斷尸M+PN與CE的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(4)遷移拓展：如圖4,是一個(gè)航模的截面示意圖.四邊形A3。是等鄰角四邊形，Z

A^ZABC,E為AB邊上的一點(diǎn)，ED±AD,ECLCB,垂足分別為。、C,42=2，石而z,

AD=3dm,BD=y]37dm.M.N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接QAf、CN,求ADEM與

△CEN的周長之和.

MEN

M7

圖1圖2圖3圖4

10.問題情景：如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”，按照此定義，

我們學(xué)過的平行四邊形中的菱形、正方形等都是“垂美四邊形”，“箏形”也是“垂美四

邊形”.

概念理解：

(1)如圖2,已知等腰梯形4BC。是“垂美四邊形"，AB=6,CD=8,求的長.

性質(zhì)探究：

(2)如圖3,已知四邊形A8CD是“垂美四邊形”，試探究其兩組對邊AB,CD與BC,

之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

問題解決：

(3)如圖4,分別以的直角邊AC和斜邊為邊向外作正方形ACFG與正方

ABDE,連接CE,BG,GE,CE與3G交于點(diǎn)。，已知AC=3,AB=5,求△OGE的

中線08的長.

圖3圖4

11.定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”.

特例感知：

(1)如圖1,四邊形是“垂美四邊形，如果OA=OD=*^OB，08=2,60°,

3

貝!]4。2+8。2=,AB2+CD2=.

猜想論證

(2)如圖1,如果四邊形ABCZ)是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB,CD馬BC,

AO之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明.

拓展應(yīng)用：

(3)如圖2,分別以RtZXACB的直角邊AC和斜邊為邊向外作正方形ACFG和正方

ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,ZBAC=60°,求GE長.

(4)如圖3,ZAOB^ZCOD=90°,NC￡>0=30°,/BOC=120°,OA=

OD,0C=V3>連接AC,BC,BD,請直接寫出8C的長.

圖1圖2圖3

12.點(diǎn)P(xi,yi),Q(無2,>2)是平面直角坐標(biāo)系中不同的兩個(gè)點(diǎn)，且xiWx2,若存在一

個(gè)正數(shù)公使點(diǎn)P,。的坐標(biāo)滿足”->2|=蛆1-X2|,則稱P,。為一對“限斜點(diǎn)”，人叫

做點(diǎn)產(chǎn)，。的''限斜系數(shù)”，記作左(P,。).由定義可知，k(P,Q)=左(。，P).

例：若尸(1,0),Q(3,-1),有|0-工|=工|1-3],所以點(diǎn)尸，。為一對“限斜點(diǎn)”，且

224

“限斜系數(shù)”為工.

4

已知點(diǎn)A(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,』).

2

(1)在點(diǎn)A,bC,。中,找出一對“限斜點(diǎn)”:,它們的“限斜系數(shù)”為；

(2)若存在點(diǎn)E,使得點(diǎn)E,A是一對“限斜點(diǎn)”，點(diǎn)E,B也是一對“限斜點(diǎn)”，且它

們的“限斜系數(shù)”均為1.求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)正方形對角線的交點(diǎn)叫做中心，已知正方形EFGH的各邊與坐標(biāo)軸平行，邊長為2,

中心為點(diǎn)M(0,m).點(diǎn)T為正方形上任意一點(diǎn)，若所有點(diǎn)T都與點(diǎn)C是一對“限斜點(diǎn)”，

且都滿足左(T,C)21,直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)機(jī)的取值范圍.

叫叫

5-5-

44

33

22

1

-5-4-3-2-1,°12345”-5-4-3-2-1,°12345H

-1-1

-2-2

-3-3

-4-4

-5-5

備用圖

13.定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的

“中點(diǎn)四邊形”.如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中

方四邊形”.

概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是—.

A.平行四邊形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

性質(zhì)探究：如圖1,四邊形A8CZ)是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形A8CD

的兩條結(jié)論：

問題解決：如圖2,以銳角△ABC的兩邊AB,AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形A5DE

和正方形ACFG,連結(jié)BE,EG,GC.求證：四邊形8CGE是“中方四邊形”；

拓展應(yīng)用：如圖3,已知四邊形A8CD是“中方四邊形”，M,N分別是AB,CQ的中點(diǎn)，

(1)試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)若AC=2,求AB+C。的最小值.

圖1圖2圖3

14.對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和圖形W2.給出如下定義：在圖形W1上存在兩

點(diǎn)A,B(點(diǎn)A,B可以重合)，在圖形卬2上存在兩點(diǎn)N(點(diǎn)、M、N可以重合)使得

AM=2BN,則稱圖形M和圖形卬2滿足限距關(guān)系.

(1)如圖1,點(diǎn)C(1,0),0(-1,0),E(0,如),點(diǎn)尸在CE上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P可以

與C,E重合)，連接OF,DF.

①線段。尸的最小值為,最大值為;線段。尸的取值范圍是.

②在點(diǎn)O,。中，點(diǎn)與線段CE滿足限距關(guān)系.

(2)如圖2,正方形A8MN的邊長為2,直線PQ分別與x軸，y軸交于點(diǎn)。，P,且與

x軸正方向的夾角始終是30°,若線段尸。與正方形A8MN滿足限距關(guān)系，求點(diǎn)尸的縱

坐標(biāo)a(a>0)的取值范圍；

(3)如圖3,正方形A2MN的頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，A(0,b)(b>0),G,X是正方形

邊上兩點(diǎn),分別以G,H為中心作邊長為1的正方形，與正方形的四邊分別平行.若

對于任意的點(diǎn)G,H,以G,X為中心的正方形都滿足限距關(guān)系，直接寫出b的取值范圍.

圖1圖2圖3

15.定義：長寬比為石：1（〃為正整數(shù)）的矩形稱為《矩形.

下面，我們通過折疊的方式折出一個(gè)正矩形，如圖①所示.

操作1：將正方形A3。沿過點(diǎn)8的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)C落在對角線8。上的點(diǎn)

G處，折痕為

操作2：將AO沿過點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)A,點(diǎn)。分別落在邊AB,CD上，折痕為EE

則四邊形BCEF為&矩形.

證明：設(shè)正方形ABC。的邊長為1,則22）=412+12=加.

由折疊性質(zhì)可知BG=8C=1,NAFE=/BFE=90°,則四邊形8CEF為矩形.

/A=NBFE.

J.EF//AD.

.BG=BF即1_BF

,?麗而‘42T,

V2

：.BC：BF=1：3=加：1.

V2

四邊形BCEF為如矩形.

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：

（1）在圖①中，所有與CH相等的線段是,tan/HBC的值是；

（2）己知四邊形BCEB為加矩形，模仿上述操作，得到四邊形BCMV,如圖②，求證：

四邊形BCMN是我矩形；

（3）將圖②中的?矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個(gè)“聲矩形”，

16.定義:長寬比為石：1為正整數(shù)）的矩形稱為《矩形.下面，我們通過折疊的方

式折出一個(gè)近矩形，如圖a所示.

操作1：將正方形A8EF沿過點(diǎn)A的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)2落在對角線AE上的點(diǎn)G

處，折痕為AH.

操作2：將尸E沿過點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)R點(diǎn)E分別落在邊ARBE上,折痕為CD.則

四邊形ABC。為&矩形.

(1)證明：四邊形ABCD為迎矩形；

(2)點(diǎn)〃是邊48上一動(dòng)點(diǎn).

①如圖b,。是對角線AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)N在邊BC上，OMLON,連接MN.求tan/

OMN的值；

②若AM=A。，點(diǎn)N在邊8C上，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求型的值；

NB

③連接CM,作垂足為R.若A2=2讓,則。R的最小值=.

17.定義：有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.

(1)如圖1,在半對角四邊形ABCD中，NB=1/D,ZC=—ZA,則/B+/C

22

(2)如圖2,銳角△ABC內(nèi)接于O。，若邊AB上存在一點(diǎn)￡>,使得8D=B。，在0A上

取點(diǎn)E,使得DE=OE,連接。E并延長交AC于點(diǎn)凡ZAED=3ZEAF.求證：四邊形

BCfD是半對角四邊形；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)。作。G,08于點(diǎn)H,交8c于點(diǎn)G,OH=2,

DH=6.

①連接OC,若將扇形08C圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為

②求△ABC的面積.

18.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)A在直線/上，以A為圓心，。4為半徑的圓與y軸的另

一個(gè)交點(diǎn)為E.給出如下定義：若線段OE,OA和直線/上分別存在點(diǎn)2,點(diǎn)C和點(diǎn)。，

使得四邊形是矩形(點(diǎn)A,B,C,。順時(shí)針排列)，則稱矩形A8CZ)為直線/的“理

想矩形”.

例如，下圖中的矩形48C。為直線/的“理想矩形”.

(1)若點(diǎn)A(-1,2),四邊形A3。為直線x=-1的“理想矩形”，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為—；

(2)若點(diǎn)A(3,4),求直線y=fcc+l(GW0)的“理想矩形”的面積；

(3)若點(diǎn)A(1,-3),直線/的“理想矩形”面積的最大值為一,此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)

為.

專題四邊形中的新定義問題

例題精講

【例1].定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形，如圖，在對余四邊形ABC。中,

AB=BC,AD=2后,CD=5,ZABC=60°,則線段3A.

解：：對余四邊形ABC。中，ZABC=60°,

AZADC=30°,

'：AB^BC,

...將△BCD繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BAR連接如，如圖所示,

:.△BCD^XBAF,NFBD=60°

：.BF=BD,AF=CD,ZBDC=ZBFA,

...△8尸。是等邊三角形，

:.BF=BD=DF,

VZADC=30°,

：.ZADB+ZBDC=30°,

：.ZBFA+ZADB=30°,

ZFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF^180°,

.?.60°+30°+ZAFD+ZADF=1SO0,

AZAFD+ZADF^90°,

ZFAD=90°,

：.AD2+AF2=DF2,

：.AEr+cb2=BD1,

C.BD1^(275)2+52=45,

'：BD>0,

:.BD=3炳,

故答案為：3A/E.

A變式訓(xùn)練

【變171定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的

線段叫做這個(gè)損矩形的直徑，即損矩形外接圓的直徑.如圖，△ABC中，ZABC=90°,

以AC為一邊向形外作菱形ACEF,點(diǎn)。是菱形ACEF對角線的交點(diǎn)，連接80.若NDBC

解：如圖1,取AC的中點(diǎn)G,連接BG、DG,圖1

?..四邊形ACE尸是菱形，

：.AE±CF,

：.ZADC=90°,

XVZABC=90°,

；.A、B、C、。四點(diǎn)共圓，點(diǎn)G是圓心，

AZACD=ZABD=90°-ZDBC=90°-60°=30°,

VZAGB=15°X2=30°,NAGO=30°X2=60°,

ZBGD=30°+60°=90°,

ABGD是等腰直角三角形，

：?BG=DG=^-BD^^~x2V3=V6,

；.AC=2企，

??.AD=2加Xsin30。=276Xy=V6-

?,-CD=2V6XCos300=2V^X除=3VL

菱形ACE尸的面積為：

3&X&+2X4

=6734-2X4

=1273

故答案為：12我.

【變1-2].定義：有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做“對補(bǔ)四邊形”，例如：四邊形A8C。中，

若/A+/C=180°或/3+/。=180°,則四邊形ABC。是''對補(bǔ)四邊形”.

【概念理解】（1）如圖1,四邊形A2CD是“對補(bǔ)四邊形”.

①若NA：ZB：NC=3：2：1,則/￡>=90度.

②若N8=90°.且AB=3,A￡）=2時(shí).貝！jCD?-cM=5.

【類比應(yīng)用】（2）如圖2,在四邊形ABCZ）中，AB=CB,8。平分NAZJC.求證：四邊

形ABC。是“對補(bǔ)四邊形”.

.?.設(shè)NA=3x°,則/B=2x°,ZC=x°,

???四邊形ABC。是“對補(bǔ)四邊形”，

；./A+NC=180°,

3x+x=180,

???x=45°.

：.ZB=2x=90°.

?..四邊形ABC。是“對補(bǔ)四邊形”,

.".ZB+ZD=180°,

/.Z￡)=90°.

故答案為：90；

:.AB2+BC2^AC2.

:四邊形A8CD是“對補(bǔ)四邊形”，

.?.ZB+ZD=180°.

-90°.

：.AD2+CD2=AC2.

:.AB2+BC2=AD2+CD2,

：.CD1-CB2=AB2-AD2,

'：AB=3,AD=2,

：.CD1-CB2=32-22=5.

故答案為：5；

(2)證明：在。C上截取。E=D4,連接BE,如圖,

平分/AOC,

/ADB=ZEDB.

在△A￡>2和△即8中,

'AD=ED

-ZADB=ZEDB,

DB=DB

；.AADBg/\EDB(SAS),

/.ZA=ZDEB,AB=BE,

,CAB^CB,

：.BE=BC,

：.4BEC=NC.

"：ZDEB+ZBEC=ISQO,

：.ZDEB+ZC=ISO°,

ZA+ZC=180°,

四邊形ABC。是“對補(bǔ)四邊形”.

【例2].定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形.如圖，在Rt^ABC中，/

ABC^90°,AB=2,BC=1,將△ABC沿NABC的平分線的方向平移，得到ABC,

連接AC,CC,若四邊形A8CC是等鄰邊四邊形，則平移距離88的長度是1或幺，.

解:「將RtzXABC平移得到AVB'C,

：.BB'=CC',A'B'//AB,B'=AB=2,B'C=BC=l,A'C=AC=45>

①如圖1,當(dāng)CC'=BC時(shí)，BB'=CC'=BC=1；

②如圖1,當(dāng)AC'=AB=2時(shí)，

-：ZABC=9Q°,BB'是/ABC的角平分線，

：.ZB'84=45°,

延長C'B'交AB于H,

'：A'B'//AB,ZA'B'C=90°,

/.ZAHC1=ZA'B'C=90°,

=90°,

設(shè)BH=B，H=x,

：.BB'=&x,AH^2-x,CH^l+x,

"：AC'2=AH2+C'H2,

22—(2-x)2+(1+x)2,

整理方程為：2/-2x+l=0,

VA=4-8=-4<0,

此方程無實(shí)數(shù)根，故這種情況不存在;

③如圖2,當(dāng)AC'=CC時(shí)，則AC'=BB',

延長C'B'交AB于H,

VA,B'//AB,ZA'B'C=90°,

：.ZAHC=NA'B'C=90°,

=90°,

設(shè),BH=B'H=x,

：.BB'=AC'=V2X,AH=2-x,CH=l+x,

'：AC2=AH2+CH2,

2=(2-x)2+(1+x)2,

解得：尸立，

2

：.BB'=?弧,

2

綜上所述，若四邊形4BCC是等鄰邊四邊形，則平移距離瓦T的長度是1

【變2-1].已知在Rt^ABC中，NC=90°,AC=6,BC=3.我們定義：“四個(gè)頂點(diǎn)都在

三角形邊上的正方形是三角形的內(nèi)接正方形”.

(1)如圖1,四邊形CZ5EF是△ABC的內(nèi)接正方形，則正方形CD所的邊長m等于2；

(2)如圖2,四邊形DGHI是(1)中的內(nèi)接正方形，那么第2個(gè)正方形DGHI

的邊長記為。2；繼續(xù)在圖2中的△8G4中按上述方法作第3個(gè)內(nèi)接正方形，依此類推,……

9n

則第n個(gè)內(nèi)接正方形的邊長an上丁.(w為正整數(shù))

3n-1-

BB

解：（1）四邊形CZ）E尸是正方形，

:.EF=FC,EF//FC,

:.△BFES^BCA,

.BF=EF

"BCAC"

.3-al_al

??11,

36

??cii=2,

故答案是：2；

（2）如圖（2）四邊形。GH/是正方形，

：.IH=ID,1H//AD,

：./\EIH^/\EDA,

.IE=IH

"DEAD"

.2-a_a

??22,

24

3

Q93

如圖3中，由以上同樣的方法可以求得正方形PGQS的邊長為：色

932

第4的個(gè)正方形的邊長為：K=4，

3

273

2n

第n個(gè)內(nèi)接正方形的邊長麗=J

3n-1

故答案為：=/丁2n.

3n-1

B

圖1

[變2-2],定義：若四邊形有一組對角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角,

像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形.

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

（1）如圖1,正方形ABC。中E是上的點(diǎn)，將△BCE繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使8C與重

合，此時(shí)點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)F在D4的延長線上，則四邊形BEDF是（填“是”或“不

是”）“直等補(bǔ)”四邊形；

（2）如圖2,已知四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=10,CD=2,AD>AB,

過點(diǎn)B作BELAD于E.

①過C作CFLBF于點(diǎn)F,試證明：BE=DE,并求BE的長；

②若M是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值.

解：（1）,?將△BCE繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，BC與54重合，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)尸在OA的延長線上,

圖1

???NABF=/CBE,BF=BE,

??,四邊形ABC。是正方形，

ZABC=ZD=90°,

/.ZABE+ZCBE=90°,

AZABE+ZABF=90°,即NEB/=NO=90°,

：.ZEBF+ZD=1SO°,

VZEBF=90°,BF=BE,

???四邊形5瓦正是“直等補(bǔ)”四邊形.

故答案為：是；

(2)①證明：??,四邊形A3CD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=IO,CD=2,AD>ABf

：.ZABC=90°,ZABC+ZZ)=180°,

：.ZD=90°,

9：BELAD,CF±BE,

：.ZDEF=90°,NCFE=9U°,

J四邊形CD所是矩形，

：.DE=CF,EF=CD=2,

VZABE+ZA=90°,ZABE+ZCBE=90°,

???/A=/CBF,

VZAEB=ZBFC=90°,AB=BC,

:?△ABE/ABCF(A4S),

；.BE=CF,AE=BF,

?；DE=CF,

：.BE=DE；

??,四邊形COE尸是矩形，

：.EF=CD=2,

AABE^ABCF,

：.AE=BF,

：.AE=BE-2,

設(shè)BE—x,則AE—x-2,

在RtZiABE中，/+(x-2)2=1()2,

解得：x=8或x=-6(舍去)，

BE的長是8；

②ABCM周長=BC+BM+CM,

：.當(dāng)BM+CM的值最小時(shí)，叢BCM的周長最小，

如圖，延長CD到點(diǎn)G,使DG=C。，連接2G交AD于點(diǎn)AT,過點(diǎn)G作GHL2C,

交BC的延長線于點(diǎn)”，

.,.點(diǎn)C與點(diǎn)G關(guān)于對稱，

ABM+CM=BM+MG^BG,即BM+CM^BM'+M'C,

當(dāng)點(diǎn)M與重合時(shí)，BM'+M'C的值最小，即△BCM的周長最小,

在中，

RtZXABEAE=^AB2_BE2=^1Q2_g2=6,

???四邊形ABC。是“直等補(bǔ)”四邊形，

ZA+ZBCZ）=180°,

VZBC￡>+ZGCH=180°,

???ZA=ZGCH.

VZAEB=ZH=90°,

AABEsACGH,

.BEAEAB105日口88-25

GHCHCG42GHCH2

：.GH=^-,CH=^,

55

BC+CH=10+—=—,

55

=22

BG7BH+GH=J（■）?+（手）2=2Vli>

.,.△BCM周長的最小值為2al+10.

n實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，四邊形ACZJE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a,b,cMRtAABCRtABED

邊長，易知AE=MC,這時(shí)我們把關(guān)于x的形如a*+、ncx+b=Q的一元二次方程稱為

“勾系一元二次方程”.

請解決下列問題：

(1)判斷下列方程是否是“勾系一元二次方程”：

①2?+^x+l=O不是(填“是”或“不是”)；

②3/+5&x+4=0是(填"是”或“不是”)

(2)求證：關(guān)于尤的“勾系一元二次方程+我M+b=O必有實(shí)數(shù)根；

(3)若尤=-1是“勾系一元二次方程”蘇+加B+6=0的一個(gè)根，且四邊形ACDE的

周長是12,求△ABC面積.

(1)解：2/+返x+l=0不是“勾系一元二次方程”,

理由：：&c=F，

.疝

2

?."=2,b=l,

tZ2+Z?27^C2,

???以〃、b、。為三邊長的三角形是不是直角三角形，且。為斜邊的長,

；.2?+返x+l=0不是“勾系一元二次方程”，

37+5&.計(jì)4=0是“勾系一元二次方程”，

理由：,:近c(diǎn)=5瓜

??c=5，

b=4,

a2+b2=c2,

...以。、b、C為三邊長的三角形是直角三角形，且C為斜邊的長，

.?.3/+5&x+4=0是“勾系一元二次方程”，

故答案為：不是，是；

(2)證明：：ax2+&cx+b=0是”勾系一元二次方程”，

??.〃、b、c為同一直角三角形的三邊長，且c為斜邊的長，

/.c2=a2+Z?2,

：A=(>/2c)2-4ab=2c2-4-ab=2((r+b2)-4ab=2(a-b)2^0,

關(guān)于x的“勾系一元二次方程”—+&cx+b=O必有實(shí)數(shù)根.

(3)解：：尤=-1是“勾系一元二次方程”依2+&cx+b=O的一個(gè)根，

'.a-J^c+6=0,

.'.a+b—y[2c,

:四邊形ACDE的周長是12,

2(。+6)+，*^c=12,

：.2近c(diǎn)+近c(diǎn)=12,

；.c=2&,

:.a+b=?X2近=4,

Ca+b~)2=16,

(r+2ab+b2=16,

Va2+Z72=c2=(2V2)2=8,

2a6+8=16,

??cib'―4,

.*.SAABC=—aZ?=—X4=2.

22

AABC面積是2.

2.我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則

稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊.

(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱；

(2)如圖1,已知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))O(0,0),A(3,0),B(0,4),請你畫出

以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA,02為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形0AM&

(3)如圖2,將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到連接A。，DC,

NDC8=30°.求證：DC1+BC1=AC1,即四邊形ABCD是勾股四邊形.

(1)解：正方形、長方形、直角梯形.(任選兩個(gè)均可)

(2)解：答案如圖所示.M(3,4)或(4,3).

(3)證明：連接EC,

：.AC=DE,BC=BE,

VZCB￡=60°,

：.EC=BC=BE,NBCE=6Q°,

VZr)CB=30°,

AZDCE=90°,

:.DC2+EC2=D呼,

J.D^+B^^AC2.

即四邊形ABCD是勾股四邊形.

3.定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線.

(1)如圖/,在△ABC中，AB=AC,是△ABC的角平分線，E,尸分別是BD,AD

上的點(diǎn).求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形；

(2)如圖2,在5X4的方格紙中，A,B在格點(diǎn)上，請畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形

ABEF,使A8是鄰余線，E,尸在格點(diǎn)上；

(3)如圖3,已知四邊形ABC。是以4B為鄰余線的鄰余四邊形，AB=15,4。=6,BC

=3,NAOC=135°,求CD的長度.

(1)證明：'：AB^AC,A￡＞是△ABC的角平分線,

：.ADLBC,

：.ZADB=90°,

：.ZDAB+ZDBA^90°,

胡8與/EBA互余，

四邊形ABEF是鄰余四邊形；

(2)解：如圖所示(答案不唯一)，

(圖2)

(3)解：如圖3,延長A￡),CB交于點(diǎn)H,

,/四邊形ABCD是以AB為鄰余線的鄰余四邊形,

ZA+ZB=90°,

VZADC=135°,

：.ZHDC=45°,

ZHDC=ZHCD=45

:.CH=DH,

'：AB2=AH2+BH2,

；.225=C6+DH)2+(3+DH)2,

：.DH=6(負(fù)值舍去)，

:.CD=6?

4.定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形.

【性質(zhì)初探】如圖1,已知，^ABCD,/B=80°,點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連結(jié)CE,四

邊形ABCE恰為等腰梯形.求N8CE的度數(shù)；

【性質(zhì)再探】如圖2,已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF,BF

=CE,連結(jié)BE、CF.求證：BE=CF；

【拓展應(yīng)用】如圖3,回ABC。的對角線AC、BD交于點(diǎn)0,42=2,45°,過

點(diǎn)。作AC的垂線交2C的延長線于點(diǎn)G,連結(jié)。G.若NCr>G=90°,求BC的長.

【性質(zhì)初探】解：過點(diǎn)A作AGLBC交于G,過點(diǎn)E作EX,3c交于入

VSiABCD,

：.AE//BC,

：.AG=EH,

...四邊形ABCE恰為等腰梯形，

'：AB=EC,

.?.RtAABG^RtAECG(HL),

；./B=NECH,

VZB=80°,

：.ZBCE^SQ°；

【性質(zhì)再探】證明：：四邊形ABC。是矩形，

.,.AE//BC,

?.?四邊形BCEF是等腰梯形，

：.BF=CE,

由(1)可知，ZFBC=ZECB,

:.△BFC出ACEB(SAS),

:.BE=CF；

【拓展應(yīng)用】解：連接AC,過G點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

二。是AC的中點(diǎn)，

GO±AC,

：.AC=CG,

'：AB//CD,ZABC=45°,

：.ZDCG=45°,

AZCDG=90°,

CD=DG,

.?.a4=OG=2,

'：ZCDG=90°,

:.CG=2?

；.AG=2&,

VZADC=Z￡>CG=45",

：.ZCDM=135°,

：.ZGDM=45a,

：.GM=DM=42>

在RtZkAGM中，（2圾）2=（AD+如）2+（企）2,

:.AD=4i-近,

：.BC=4i-&.

5.給出如下定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為“鄰余四邊形”，這兩個(gè)角的夾邊稱為

“鄰余線”.

(1)如圖1,格點(diǎn)四邊形A8CO是“鄰余四邊形”，指出它的“鄰余線”；

(2)如圖2,在△ABC中，AB=AC,是△ABC的角平分線，E,尸分別是8。，AD

上的點(diǎn).求